抛物线—教案

如图，把一根直尺固定在图板内直线l 的位置，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘．再把一条绳子的一端固定于三角板的另一条直角边上的点A ，截取绳子的长等于A 到直线l 的距离AC ，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F ；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔描出一条曲线．

问题1：笔尖(设为动点M )在运动过程中满足的条件是什么？ 提示：|MC |＝|MF |.

问题2：|MC |是点M 到直线l 的距离吗？ 提示：因为AC ⊥l ，所以|MC |是M 到l 的距离．

问题3：此曲线是否为椭圆或一支双曲线？如果不是，猜想它是什么？ 提示：不是椭圆，也不是一支双曲线，而是抛物线．

平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．

抛物线标准方程的几种形式

图形

标准方程 焦点坐标

准线方程

y 2＝2px

(p >0) ⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2

y 2＝－2px

(p >0)

⎝⎛⎭

⎫－p 2，0 x ＝p 2

x2＝2py

(p>0)⎝

⎛

⎭

⎫

0，

p

2y＝－

p

2

x2＝－2py

(p>0)⎝

⎛

⎭

⎫

0，－

p

2y＝

p

2

1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线．

2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点决定于一次项，开口决定于正负号，即标准方程中，如果含的是x的一次项，则焦点就在x轴上，并且焦点的横坐标为

2p

4⎝

⎛

⎭

⎫

或－

2p

4，相应的准线是x＝－

2p

4(或x＝

2p

4)，如果含的是y的一次项，有类似的结论．

3．抛物线标准方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离．

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．

(1)准线方程为2y＋4＝0；

(2)过点(3，－4)；

(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．

[思路点拨]

确定抛物线的类型→设出标准方程→确定参数→写出方程

[精解详析](1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，又

p

2＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x2＝8y.

(2)∵点(3，－4)在第四象限，

∴设抛物线的标准方程为

y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．

把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，

即2p＝

16

3，2p1＝

9

4.

∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－9

4y .

(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为 x 2＝－20y 或y 2＝－60x .

[一点通] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．

1．以双曲线x 216－y 2

9＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )

A ．y 2＝16x

B ．y 2＝－16x

C ．y 2＝8x

D ．y 2＝－8x

解析：由双曲线方程x 216－y 2

9＝1，可知其焦点在x 轴上，由a 2＝16，得a ＝4，∴该双曲线右顶点的坐标

是(4,0)，∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p

2＝4，得p ＝8，故所求抛物

线的标准方程为y 2＝16x .

答案：A

根据下列条件写出抛物线的标准方程：

(1)准线方程为y ＝－1；

(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.

解：(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p

2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为

x 2＝4y .

(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)， 则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2， 则焦点到准线的距离是－p 2－p

2＝p ＝3，

因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .

例题3

1．求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形”(确定焦点位置)→定量(参数p 的值)的程序求解．

2．应用定义可以解决两类问题：①求抛物线的方程；②涉及抛物线的最值问题，通常将到焦点的距离转化为到准线的距离，充分利用直角梯形的性质解题．

1、 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|P A |的值最小．

[思路点拨] 把|PF |转化为点P 到准线的距离→画出草图→数形结合→求出点P 的坐标

[精解详析] ∵(－2)2<8×4，

∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部．

如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB

⊥l 于点B ，

由抛物线的定义可知：|PF |＋|P A |＝|PQ |＋|P A |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|P A |取得最小值，即为|AB |.此时P 的横坐标为－2，代入x 2＝8y 得y P ＝1

2

.

故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝

⎛⎭⎫－2，12. [一点通] 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等．

2、点P 为抛物线y 2＝2px 上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴( ) A ．相交 B ．相切

C ．相离

D ．位置由F 确定

解析：