解答金榜图书武忠祥 高等数学辅导讲义 练习题详解
武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第四章解答
其特征方程为 (r 1)2 (r 1) r3 r2 r 1 0 ，故应选（B）.
4.【解】应选(A). 特征方程为 r 2 1 0, 则 r1,2 i, 则特解形式为 y ax2 bx c x( Asin x B cos x).
5.【解】应选(D).由 y C1ex C2e2x xex 为方程的解知, r1 1, r2 2 为两个特征根, 特 征方程为 (r 1)(r 2) r 2 r 2 0 ,正确选项只可能是(C)或(D),将 y xex 代入(D)中的
（5）
联立（5）式和（4）式消去 C1 得
(2x x2) y (x2 2) y 2(1 x) y 6(1 x)
20.【解】将 y 与 x 对调, y
1 x
,
y
(
x x ) 2
1 x
(
x x)
3
代入原方程得 x x e2 y ，则其通解为
又已知有公共切线，得 y 1, y 1，
x0
x0
即 C1 C2 1, C1 2C2 1. 解得 C1 1, C2 0 . 所以 y (1 2x)ex .
19.【解】 y2 y1 x2, y3 y1 ex 为齐次方程的两个线性无关的特解，则所求方程通解为
y C1x2 C2ex 3 。
y C1x2 C2ex 3
（1）
（1）式求导得 y 2C1x C2ex
（2）
再求导得
y 2C1 C2ex
（3）
(3) (2) 得 y y 2C1(1 x)
（4）
(1) (2) 得 y y C1(x2 2x) 3
武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第一章解答
lim
ln(1 x) ln( x 1 x 2 ) x 0 x2
(ln( x 1 x 2 ) ~ x )
1 1 2 1 x 1 x2 1 x 1 1 x lim lim x 0 x 0 2x 2x 2
【解】由以上结论得 当 x 1 时， f ( x) lim
0, x 1 , x 1 n lim x . n 1 , x 1 不存在， x 1
2e( n 1) x 1 0 n e nx x n 1 2e ( n 1) x 1 1 n e nx x n 1
x 0
lim f ( x)
a2 , e
x0
lim f ( x) 0.
3
主编：武忠祥
2016 高等数学辅导讲义练习题解答
lim f ( x) lim
x 1
( x 2 a 2 )( x 1) e e
1 x
x 1
(1 a 2 ) lim
( x 1) e e
故 x 0 和 x 1 为可去间断点. 17.【解】 应选（C）.
由函数 f ( x)
( x 2 a 2 )( x 1) e b
1 x
在 (,) 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点可
知， b 0 ，否则 f ( x ) 只有一个间断点 x 0. 显然 x 0 是 f ( x ) 的一个间断点，而另一个间断点只能是 x 1. 而 b e.
1 1 1 sin sin e x 1 x x lim lim lim ( 1) x x x 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 ( 1) x x x x
海天武忠祥强化数学讲义第三章
第三章一元函数积分学第一节不定积分1．两个概念:1）原函数：)()(x f x F =′2）不定积分：∫+=Cx F x x f )(d )(2．基本积分公式：∫∫∫∫∫x x x x x x x x x x x e nnnxd arcsin )(p ,d tan arc )(p ,d ln )(p ,d cos βα4．三类常见可积函数积分1）有理函数积分∫xx R d )(（1）部分分式法（一般方法）；（2）简单方法（凑微分绛幂）；2)三角有理式积分∫xx x R d )cos ,(sin（1）万能代换（一般方法）令t x =2tan（2）简单方法（三角变形，换元，分部）3)简单无理函数积分x dcx bax x R nd ),(∫++令t dcx bax n=++例一基本题例3.1∫−=)4(x x dx I 解法1∫∫+−=−−=−=c x x dxx x dxI 22arcsin)2(4422解法2∫+=−=c x xx d I 2arcsin24)(2例3.2cos ∫=xx dxI 解∫∫∫∫−=−===xx d x x x d xx xdx x x dx I 222sin 1sin 2)sin 1(sin sin cos cos sin cos dt t t t t dt t dt t x 1111()1)(1(212 sin 22224++−=+−=−=∫∫∫令例3.3∫+=dxxx I 25解法1令，则 tan t x =tdtdx 2sec =∫∫∫=⋅⋅=⋅=)(sec tan )sec (tan tan sec sec tan 4425t td dt t t t ttdtt I )sec ( )1()(sec )1(sec 2222t u du u t d t =−=−=∫∫=c u u u ++−253251=c x x x +++−242)348(151解法2∫∫+=+=)(2124224x d x x dx x I =dxx x x x ∫+−+23244=)1(]1)1[(222224x d x x x x ++−+−+∫=cx x x x ++++−+2224)1(34)1(54例3.4e xe I xx ∫−=1解I121212∫∫−−−=−=dx e e x e xd x x x （令）dt t t dx e x∫∫+=−22121t e x =−1=Ct t +−arctan 22则I c e e e x x x x +−+−−−=1arctan 41412例3.5∫+xxx d ln 解法1原式=∫+xxd ln 2=xxx x ∫+−+2ln 2dt t t t x dx x x ∫∫−=++121122=∫∫−+1222t dtdt =C t t t ++−+11ln2原式=Cx x x x x +++−+−+−+11ln 24ln 2解法2令，则t x =+1原式=dt t tdt tt ∫∫−=−)1ln(22)1ln(22=t t t t ∫−−−122)1ln(2222=Cx x x x x +++−+−+−+11ln 24ln 2例3.6∫xe e x xd arctan 2解法1原式=∫−−xx de e 2arctan 21=ee e e xx xx ∫++−−−22121arctan 21=∫++−−)1(21arctan 21222x xx xx e e de e e =Ce e e e x x x x +++−−−]arctan arctan [212解法2令，则t e x =原式=∫∫−=231arctan 21arctan t tdt t =∫++−dt t t t t )1(1212arctan 222=c t t t t +−−−arctan 21212arctan 2=Ce e e e x x x x +++−−−]arctan arctan [212例3.7∫+=dx xx I 91解法1（令）∫∫∫+=+=+= )1(81)1()1(8878u u dux x dx x x x dx I u x =8解法2∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=++=dx x x x x x dx x x I 8788811)1()1(解法3c x x dx xx dx I ++−=+−=+=∫∫−−−|1|ln 81181)11(88889例3.8∫∫∫∫+++=++−+=++=63262246413111111x dx x dxdx x x x x dx x x I例3.9∫+=xdx I sin 1解法1∫∫∫+=−=x x d x x x I 222cos cos cos 1cos sin 1解法2C x x dx x dx I +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=∫∫42tan 24cos 22cos 12πππ解法3令2212sin 12 2tant t x t dt dx t x+=+==C x C t t dt t t t dt I ++−=++−=+=++⋅+=∫∫2tan 1212)1(2121112222例3.10∫++x x xcos sin 1d 解令，则t x=2tan 原式=∫+−+++2222211212t t t t dt =∫++=+C t tdt)1ln(1=Cx++)2tan 1ln(例3.11∫⋅=xx dxI 4cos sin 解法1（令）I ∫∫∫−−=−=⋅= )1(cos )cos 1(cos cos sin sin 424242u u duxx x d x x xdx u x =cos ∫−+−−=4244)1()1(u u u u 解法2∫∫∫∫⋅++=+=⋅+=cos sin cos sin 3cos 1cos sin cos sin cos sin cos sin 222324422dx xx x x x x x dx dx x x x x x x I ∫∫++=xdxx xdx x sin cos sin cos 3123例3.12∫+=dxxb x a I 2222cos sin 1解1）若∫+−===≠c x ax a dx I b a ctg 1sin 0 ,02222)若∫+==≠=cx b dx x b I b a tg 1cos 1 0 ,02223）若（令）)tg (cos 0 ,02222222∫∫+=+=≠≠u a b dux a b x dx I b a u x =tan 例3.13。
武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第八章解答
（2）令 f ( x, y ) g ( x, y ) 5 x 5 y 8 xy. 由题意，只需求 f ( x, y ) 在约束条件 75 x y xy 0 下的最大值点. 令 L( x, y , ) 5 x 5 y 8 xy (75 x y xy ) ，则
21.【解】应填1. 22.【解】在点 (0,0,1) 沿方向 0,0 2和点 (0,0,1) 沿方向 0,02 的方向导数最大，其最大 值为 4. 23.【解】
x y z a , x ay 0. a a2 0
24.【解】设经过 l 且垂直于 的平面方程为 1 : A( x 1) By C ( z 1) 0 ，则由条件可 知
n {2,2,3}.
14.【解】应填
1 0, 2 , 3 . 5
2
15.【解】应填 x z 1 y . 设点 M ( x, y, z ) 是旋转曲面上的任一点，设它在直线上的对 应 点 M ( x, y , z ) ， 由 于 M 在 直 线 上 ， 所 以 有 x 1, y z ， 由 题 意 有
z z x y {dx, dy} // , , x y x2 y2 x2 y2 4 1 9 1 16 36 16 36
4
dx dy 即 , 这就是投影曲线应满足的微分方程，解之得 y Cx 9 . x y 4 9
主编：武忠祥
2016 高等数学辅导讲义练习题解答
《高等数学辅导讲义》 练习题解答
第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分在几何上的应用
1.【解】应选（C）. L1 和 L2 的方向向量分别为 s1 {1,2,1} 和 s2 {1,1,2} ，
数学强化班(武忠祥)-高数第一章 函数、极限、连续
第 函数 极限 连续第一节 函 数1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性定义：单调增： ).()(2121x f x f x x <⇒< 单调不减： ).()(2121x f x f x x ≤⇒< 判定：（1）定义：(2）导数：设)(x f 在区间I 上可导，则 a) )(0)(x f x f ⇔≥'单调不减； b) )(0)(x f x f ⇒>'单调增； 2)奇偶性定义：偶函数 );()(x f x f =- 奇函数 ).()(x f x f -=- 判定：(1）定义：(2）设)(x f 可导，则：a))(x f 是奇函数⇒ )(x f '是偶函数；b))(x f 是偶函数⇒ )(x f '是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；连续的偶函数其原函数之一是奇函数。
3)周期性定义：)()(x f T x f =+ 判定：(1)定义；(2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性定义：若;)(,,0M x f I x M ≤∈∀>∃则称)(x f 在I 上有界。
判定：（1）定义：（2）)(x f 在],[b a 上连续)(x f ⇒在],[b a 上有界；（3）)(x f 在),(b a 上连续，且)0()0(-+b f a f 和存在)(x f ⇒在）（b a ,上有界；（4）)(x f '在区间I （有限）上有界)(x f ⇒在I 上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本初等函数与初等函数 基本初等函数:常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。
了解它们定义域,性质,图形. 初等函数:由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数.题型一 复合函数例1．1已知)1(+x f 的定义域为),0(],,0[>a a ，则)(x f 的定义域为 (A) ]1,1[--a (B) ]1,1[+a(C) ]1,[+a a (D) ],1[a a - 解 应选 (B)例1．2已知,1)]([,)(2x x f e x f x -==ϕ且,0)(≥x ϕ求)(x ϕ及其定义域。
2020高等数学辅导讲义练习题参考答案
《高等数学辅导讲义》练习题解答第一章 函数、极限、连续 1. 【解】应选（D）.由于+∞=−→xx xe x tan lim 2π，则)(x f 无界.2. 【解】应选（B）. 由于x x x x sin ,1sin都在),0(+∞上连续.且01sin lim 0=→x x x ，;11sin lim =+∞→xx x 1sin lim 0=→x x x ，0sin lim =+∞→x x x .故xxx x sin ,1sin 都在),0(+∞上有界. 3. 【解】应选（D）.由于)]()([t f t f t −+是奇函数，则∫−+xt t f t f t 0d )]()([是偶函数.4. 【解】应选（D）.反证：否则，若n x 和n y 都有界，则n n y x 有界，与题设矛盾。
（A）的反例：L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y （B）的反例：L ,1,3,1,1:n x ；.,4,1,2,1:L n y （C）的反例: L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y 5. 【解】应选（A）.反例见上题.6. 【解】应选（C）.若}{n a 收敛，由 1+≤≤n n n a b a 及夹逼原理知}{n b ；反之若}{n b 收敛，则}{n b 上有界，由 1+≤≤n n n a b a 知}{n a 单调增且上有界，故}{n a 收敛.7.【解】选（A）.若附加条件,0)(≠x ϕ则应选（D）. 8.【解】选（B）.)1(1)1(1lim 1)11(1sinlim )11()11(1lim11sin≠−=−+=+−+−∞→−∞→∞→ααααxxx x x x e x x xx9.【解1】选（C）.20)()21ln(lim xx xf x x ++→2220)()](2)2(2[lim x x xf x x x x ++−=→ο,12)(2lim0=−+=→x x f x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x【解2】20)()21ln(lim x x xf x x ++→20)](2[2)21ln(lim xx xf x x x x ++−+=→ ,1)(2lim 2)21ln(lim 020=++−+=→→xx f x x x x x 又.2)2(21lim 2)21ln(lim 22020−=−=−+→→xx x x x x x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x 10.【解1】应选（D）.直接法: 由2cos 1)(lim 0=−→x x f x 知 221)(lim20=→x x f x .即2~)(x x f n x n xx n x x x x x dt t x t t f 60sin 020sin 00sin 31lim lim d )(lim 22→→→==∫∫.0≠=a 则6=n . 【解2】 排除法：由2cos 1)(lim 0=−→xx f x 知，取2)(x x f =显然符合题设条件，此时∫∫==x x x x t t t t f 22sin 0sin 0662.31~sin 31d d )( 则（A）（B）（C）均不正确，故应选（D） 11. 【解】应选（D）.若,2=a 则bx xx x g x f x x 22ln 2sin arctan lim )()(lim−=→→2ln 222ln 2limb bx x x x −=−=→，显然（B）不正确，则,1=a 且 3002sin arctan lim )()(lim x b x x x g x f x x −=→→302][sin ][arctan lim x b x x x x x −−−=→ 33302]61[]31[lim x b x x x −−−=→,131261lim 330=−=−=→b xb x x 故应选（D）. 12. 【解】应选（C）. k x x cx x x x g x f 3sin sin 3lim )()(lim00−=→→k x cxx x x x ]33[sin ]3sin 3[lim 0−−−=→ k x kx cx x cx x x 303304lim 6)3([)]61(3[lim →→=−−−=13. 【解】应选（D）（A）)(21)](21[)](211[1222244242x x x x x x ex x οοο+−=++−++=−+ （2阶）或]1[]11[1242422−−−+=−+x x ex ex 22~24x x −2~2x −（B）221~)cos 1(tan sin tan x x x x x x −=− （3阶） （C）3sin 02sin 02)(sin 31~sin x dt t dt t xx =∫∫ （3阶）（D）25cos 1023cos 1023)cos 1(52~sin x dt t tdt xx −=∫∫−−252)21(52~x （5阶）14.【解】应选（A）. 验证知2,1π±==x x 为)(x f 的无穷间断点，而1)(lim ,1)(lim 00−==−+→→x f x f x x .15.【解】应选（D）.)(x f 在1,0±=x 处可能间断，验证可知1−=x 为无穷间断点.16.【解】应选（C）. xx x x x f xln )1(1)(+−=在1,0,1−=x 处没定义，x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=−→−→−→=∞=+=+−→−→11lim ln )1(ln lim 11x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 000+−=+−=→→→111lim ln )1(ln lim 00=+=+=→→x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=→→→=2111lim ln )1(ln lim 11=+=+→→x x x x x x x x 故0=x 和1=x 为可去间断点. 17.【解】 应选（C）. 由函数be x a x xf x+−+=122)1)(()(在),(+∞−∞上有一个可去间断点和一个跳跃间断点可知，0<b ，否则)(x f 只有一个间断点.0=x显然0=x 是)(x f 的一个间断点，而另一个间断点只能是.1=x 而.e b −=,)(lim 20ea x f x =−→ .0)(lim 0=+→x f x ee x a x xf xx x −−+=→→12211)1)((lim)(lim e e x a x x −−+=→112)1(lim )1(e a e xa xx 21212111lim )1(+−=−+=→则1=x 为可去间断点，而0≠a 时，0=x 为跳跃间断点。
武忠祥高等数学辅导讲义第25页第一题
武忠祥高等数学辅导讲义第25页第一题
【实用版】
目录
1.题目概述
2.题目解析
3.题目解答
正文
一、题目概述
本文将以武忠祥高等数学辅导讲义第 25 页第一题为例，详细解析该题的解题过程。
该题属于高等数学中的典型题目，可以帮助学生巩固和提高数学知识，培养解题能力。
二、题目解析
1.题目类型：该题属于高等数学中的微分方程题目，主要考察学生对微分方程基本概念和解法掌握程度。
2.题目难点：该题的难点在于如何正确地建立微分方程模型，并运用适当的解法求解。
三、题目解答
1.建立微分方程模型：首先，根据题目所给条件，我们可以得到微分方程的一般形式。
2.选择适当的解法：根据微分方程的性质和形式，我们可以选择恰当的解法，如分离变量法、常数变易法等。
3.求解微分方程：将所选解法应用于该题，逐步求解微分方程，得到方程的解。
4.检验解的正确性：将求得的解代入原方程进行检验，确保解的正确
性。
5.解答完毕：得出题目的解答，并对解答进行简要总结，指出解题过程中需要注意的问题。
通过以上步骤，我们可以得出武忠祥高等数学辅导讲义第 25 页第一题的完整解答。
数学强化班(武忠祥)-高数第四章 多元函数微分学
第四章 多元函数微分学第一节 重极限、连续、偏导数、全微分（概念，理论）1．重极限 A y x f y y x x =→→),(lim 00 ),(),(00y x y x →是以“任意方式”题型一：求极限常用方法：1） 利用极限性质（四则运算法则，夹逼原理）；2） 消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）； 3） 利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量. 例4.1求下列极限1. .||||lim2200y x y x y x ++→→ 2. 22220011limyx y x y x +-+→→3. 42200)sin(lim y x xy xy y x +→→ 解：1。
由于y x yy x x y x y y x x y x y x +=+≤+++=++≤2222220， 而0)(lim 0=+→→y x y x ，由夹逼原理知0lim2200=++→→y x y x y x . 2．方法1 将分子有理化原式.0)(2lim )11)((lim22220022222200=+=+++=→→→→y x y x y x y x y x y x y x . 方法2 当0→x ，0→y 时，222221~11y x y x -+，则 原式0)(21lim 222200=+=→→y x y x y x . 3．方法1 由于21422≤+y x xy ，即为有界量，而0s i n l i m 0=→xy x ，即为无穷小量，则原式0=.方法2 由于0s i n 21s i n 0422→≤+≤xy y x xy xy （当0→x ，0→y 时）， 由夹逼原理知0sin lim 42200=+→→y x xyxy y x . 题型二 证明重极限不存在常用方法:沿两种不同路径极限不同（通常可取过点),(00y x 的直线） 例4.2 证明下列重极限不存在1) ;lim 2200y x xyy x +→→ 2) ;lim 42200y x xy y x +→→ 证明：1）取直线kx y =，让点),(y x 沿直线kx y =趋于)0,0(点，此时有2222202201lim lim k kx k x kx y x xy x x kx y +=+=+→→=. 则重极限2200limyx xyy x +→→不存在. 注：本题中的方法是证明重极限不存在的常用方法. 2）取直线kx y =，则01lim lim lim 24204423204220=+=+=+→→→=x k x k x k x x k y x xy x x x kx y . 若沿过原点的抛物线2y x =趋于)0,0(点时，就有21lim lim 444042202=+=+→→=y y y y x xy y y y x . 故 极限4220lim y x xy y x +→→不存在.2.连续 ),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→例4.3 判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),()0,0(),(),(22y x a y x y x xy y x f 的连续性.解 因为 y yx xy ≤+≤220，则.0lim22=+→→yx xy y x若),(,0y x f a =处处连续；若),(,0y x f a ≠除点)0,0(外处处连续。
武忠祥教授高等数学考研第二三章
x
lim
______.
x0 f ( x02x) f ( x0 x)
【1】
【例 2】(2011年2,3）已知 f ( x) 在 x 0 处可导，且 f (0) 0,
则
lim
x0
x2
f
(
x) 2 x3
f
(
x3
)
（A） 2 f (0).
（B） f (0).
（C） f (0).
（D） 0.
【例3】（2013年，1）设函数 y f ( x) 由方程 y x e x(1 y)
2） ( x ) x 1
3） (a x ) a x ln a
5） (loga
x)
1 x lna
7) (sin x) cos x
4） (e x ) e x 6) (ln x ) 1
x 8) (cos x) sin x
9) (tan x) sec2 x
10) (cot x) csc2 x
第二章 导 数 与 微 分
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考试内容概要
（一）导数与微分的概念
1. 导数的概念
定义1(导数)
f ( x0 )
lim y lim x0 x x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) x0
f ( x0 ) 0 定理9（极值的第一充分条件）
设 f ( x) 在 U( x0 , ) 内可导,且 f ( x0 ) 0（或 f ( x) 在 x0 处连续）
（1）若 x x0 时， f ( x) 0; x x0 时， f ( x) 0, 则 f 在 x0 处取极大值.
武忠祥高数基础篇和辅导讲义
武忠祥高数基础篇和辅导讲义一、高数基础篇概述1.1 高数基础篇介绍高等数学是理工类专业中一门重要的基础课程，对于学生的数学素养和综合能力的培养有着至关重要的作用。
而武忠祥的高数基础篇和辅导讲义是一本备受推崇的教材，为学生提供了深入理解高等数学的工具和方法。
1.2 武忠祥教授简介武忠祥教授是中国知名数学家，拥有丰富的高等数学教学经验。
他在高等数学领域做出了突出的贡献，并对高等数学的教学方法进行了深入研究和探索。
1.3 本教材的特点武忠祥高数基础篇和辅导讲义有以下几个显著的特点：•题型全面：本教材中包含了各种经典的高等数学题型，涵盖了微积分、线性代数、概率论等多个知识点，使学生能够全面了解和掌握各个领域的数学知识。
•理论详尽：教材中对于各个概念和定理都进行了详细的解释和推导，让学生能够深入理解数学的本质和内涵。
•习题分类：教材中的习题按照难度和类型进行了分类，有助于学生分阶段、有针对性地进行习题练习，提高解题能力和应用能力。
•实例讲解：教材中还提供了大量的实例，通过实际问题的解答，帮助学生将抽象的数学理论与实际问题相结合，提高应用能力。
二、高数基础篇内容概述2.1 微积分部分微积分是高等数学的核心内容之一，而本教材对微积分部分进行了详细的讲解和归纳。
主要包括以下内容：1.极限与连续：教材从极限的定义出发，逐步引入了连续的概念，并重点介绍了一些重要的极限定理。
2.导数与微分：教材详细介绍了导数的概念和计算方法，并对微分进行了深入讲解。
并通过实例，将导数与实际问题相结合，强化学生的应用能力。
3.积分与定积分：教材对积分和定积分进行了系统的讲解，包括基本性质、计算方法以及应用。
通过大量的实例，帮助学生理解积分的含义和应用。
2.2 线性代数部分线性代数是高等数学的另一个重要分支，本教材对线性代数的内容进行了全面的介绍。
主要包括以下内容：1.行列式与矩阵：教材从行列式的概念出发，介绍了行列式的计算方法和性质，并进一步引入了矩阵的概念和运算规则。
武忠祥高数辅导讲义第71页
武忠祥高数辅导讲义第71页摘要：1.武忠祥高数辅导讲义第71 页概述2.例2 的题目和条件3.例2 的解题过程4.例2 的结论和应用正文：【武忠祥高数辅导讲义第71 页概述】本文根据武忠祥高数辅导讲义第71 页的内容，介绍一个与指数函数相关的例子。
这个例子涉及到指数函数的性质和应用，以及如何利用极限的概念来求解实际问题。
【例2 的题目和条件】题目：求解下列极限：lim (x→0) [1 + (x^2)e^x] / x条件：x 趋近于0【例2 的解题过程】1.将分子中的(x^2)e^x 展开，得到：(x^2)e^x = x^2 * e^x2.将原式转化为：lim (x→0) [1 + x^2 * e^x] / x3.对分子中的1 和x^2 * e^x 分别求极限：- 1 的极限为1- x^2 * e^x 的极限需要利用泰勒公式，将e^x 展开到二阶，得到：x^2 * (1 + x + x^2/2!)4.将求得的极限代入原式，得到：lim (x→0) [1 + x^2 * (1 + x +x^2/2!)] / x5.将分子中的1 和x^2 * (1 + x + x^2/2!) 合并，得到：lim (x→0) [1 + x + x^2/2! + x^3/2! +...] / x6.利用等比数列求和公式，化简分子：lim (x→0) [1 + x + x^2/2! +x^3/2! +...] = ∑(k=0,∞) (x^k)/k!7.将求和公式代入原式，得到：lim (x→0) ∑(k=0,∞) (x^k)/k! / x8.对∑(k=0,∞) (x^k)/k! 求极限，得到：e^x9.将求得的极限代入原式，得到：lim (x→0) e^x / x10.利用洛必达法则，求解极限：lim (x→0) e^x / x = 1【例2 的结论和应用】通过以上步骤，我们求解了题目中的极限，并得到了结果：lim (x→0) [1 + (x^2)e^x] / x = 1。
2022武忠祥高等数学辅导讲义注的答案
2022武忠祥高等数学辅导讲义注的答案1、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（1）的值为（）。
[单选题] *12283(正确答案)2、8. 下列事件中，不可能发生的事件是(? ? )．[单选题] *A．明天气温为30℃B．学校新调进一位女教师C．大伟身长丈八(正确答案)D．打开电视机，就看到广告3、已知a+b=3,则代数式(a+b)(a-b)+6b的值是(? ????) [单选题] *A. -3B. 3C. -9D. 9(正确答案)4、21.|x|>3表示的区间是（）[单选题] *A.（-∞，3）B.(-3,3)C. [-3,3]D. （-∞，-3）∪（3，+ ∞）(正确答案)5、12．下列说法正确的是（）[单选题] *A．一个数前面加上“–”号这个数就是负数B．非负数就是正数C．0既不是正数，也不是负数(正确答案)D．正数和负数统称为有理数6、抛物线y2=-8x的焦点坐标为（）[单选题] *A、（-2，0）(正确答案)B、（-2，1）C、（0，-2）D、（0，2）7、11、在第二、四象限内两条坐标轴夹角平分线上的点，它们的横坐标与纵坐标是（）[单选题] *A.相等B.互为相反数(正确答案)C.零D.以上结论都不对8、已知10?＝5，则100?的值为( ) [单选题] *A. 25(正确答案)B. 50C. 250D. 5009、46、在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（）[单选题] *A．8.4B．9.4(正确答案)C．10.4D．11.10、8．一个面积为120的矩形苗圃，它的长比宽多2米，苗圃长是（）[单选题] *A 10B 12(正确答案)C 13D 1411、2005°角是（）[单选题] *A、第二象限角B、第二象限角(正确答案)C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角12、二次函数y=3x2-4x+5的一次项系数是（）。
[单选题] * 34(正确答案)5113、18．下列各对数中，互为相反数的是（）[单选题] * A．﹣（+1）和+（﹣1）B．﹣（﹣1）和+（﹣1）(正确答案)C．﹣（+1）和﹣1D．+（﹣1）和﹣114、二次函数y=3x2-4x+5的常数项是（）。
6.第六章解答金榜图书武忠祥 209高等数学辅导讲义 练习题详解
0 −π
dθ
−θ 2a2 (1 − cos 2t) d t
0
4
∫ = 2a2
0 −π
4
⎜⎛ − θ ⎝
+
1 sin 2
2θ
⎟⎞d t ⎠
=
a
2
⎜⎜⎝⎛
π2 16
−
1 2
⎟⎟⎠⎞.
32.【解】区域 D 如图所示.
∫∫ 原式 = (x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3) d x d y D
∫∫ ∫ ∫ =
1
dx
x
x2 − y2 dy = π
1 x2dx
0
0
40
= 1. 12
∫a
(几何意义
a2 − x2 dx = π a2 )
0
4
∫∫ ∫∫ 18．【解】 原式 = [x2 + 2x +1+ 2 y 2 ]dσ = π + （x2 + 2 y 2 )dσ
x 2 + y 2 ≤1
x 2 + y 2 ≤1
∫∫ = π + 3
I2 = I4 = 0 ，而 I1 > 0 ， I3 < 0 ，故应选（A）.
11.【解】应选（B）.由变量对称性知 I1 = I3 = 0, 在 D2 上 y − x > 0, 则 I2 > 0,
在 D4 上 y − x < 0, 则 I4 < 0,
12.【解】应选（C）.
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t dx
y
∫ ∫ ∫ ∫ 1
1
15.【解】 dx
xy
1
y
dy = dy
武忠祥高等数学辅导讲义注里面的题目讲解
武忠祥高等数学辅导讲义注里面的题目讲解
“武忠祥高等数学辅导讲义”可以说是高校教学中的一份非常有效的辅导书，它为学生们提供了多种题型的练习，让他们能够更好地提升自身数学水平。
最近《武忠祥高等数学辅导讲义》中出现了一道几何问题：若AB是矩形一边长为$a$，另一边长为$b$，CD是该矩形直径，求CD的长度。
解：由于AB是矩形一边长为$a$，另一边长为$b$，所以其对角线CD的长度可以使用勾股定理求得。
即CD的长度为$\sqrt{a^2+b^2}$。
因此，若AB是矩形一边长为$a$，另一边长为$b$，CD是该矩形直径，其长度为$\sqrt{a^2+b^2}$。
从上述例题可以看出，《武忠祥高等数学辅导讲义》不仅基础满足了学生的数学学习需求，还为学生们提供了实践性的技能训练课程，它能够有效帮助学生们掌握和提升数学知识。
此外，书中数学题目考查学生们的推理能力和抽象思维，从而促进学生们学习好原理，后了解和深入发展数学。
在总结来看，《武忠祥高等数学辅导讲义》真正做到了让数学知识可以更贴近学生的实际有效的付出，为学生们的高等数学之路添加了许多课外的知识点，对学生们提升自身数学水平有着重要作用，让学生们在学习中发挥才华，充分挖掘自身潜能。
9.第九章解答金榜图书武忠祥 2019高等数学辅导讲义 练习题详解
2 2 2 4πa 3 2 2 2 ∫Γ ( x + y )ds = 3 ∫Γ ( x + y + z )ds = 3 ∫Γa ds = 3
2
∫ (4 x − 6 y)ds = −2∫
Γ
Γ
yds = −
2 2 ( x + y + z )ds = − ∫ 0ds = 0 ∫ 3 Γ 3 Γ
∫13ds = 26πa
14.【解】应填
为沿外法线方向的方向导数 . 2 ∂n
∫
∂u ∂u ∂u ds = ∫ [ cos(n, x)ds + cos(n, y )ds ] L ∂n L ∂x ∂y =∫ [
L
∂u ∂u cos(τ , y )ds − cos(τ , x)ds] ∂x ∂y
2
=∫ [
L
∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u dy − dx] = ∫∫ [ 2 + 2 ]dσ ∂x ∂y ∂x ∂y D
Σ Ω 0 0 0 2π
π
R
18.【解】应填 8. 记 Γ 为圆周 ( x − 1) + y = 1 ，则所求面积为 S = zds
2 2 Γ
∫
=∫
Γ
x 2 + y 2 ds = ∫ 2 3
2π
0
4 cos 2 θ 4 cos 2 θ + 4 sin 2 θ dθ = 8∫ 2 cosθdθ = 8
（格林公式）
= ∫∫ ( x 2 + y 2 )dσ =
D
π
2
（其中 D 为单位圆域 x + y ≤ 1. ）
2 2
15.【解】应填
2 8π 4 R . 原式 = ∫∫ ( x 2 + z 2 )dS = ∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dS 3 3Σ Σ
武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第二章解答
在 x 0 的某邻域内曲线 y f (x) 是凸的，且在其左邻域内曲线 y f (x) 在 x 轴下方，在
其右邻域内曲线 y f (x) 在 x 轴上方.先画 y f (x) 的图形，再画 y f (x) 的图形，由图
可知选（C）.
15.【解】 应选（C）. 由 f (x) [ f (x)]3 x2 知, f (x) 3[ f (x)]2 f (x) 2x,
lim
x
x2 x2 1
1 2x2
0 ,则
y
x
为一条斜渐近线，由于该函数
为偶函数，则 y x 为一条斜渐近线.
17.【解】
应选（C）.
lim
x
x2 x2
x 1
1, 则
y
1
为一条水平渐近线.
lim
x1
x2 x2
x 1
,
则
x
1 为一条垂直渐近线.
18.【解】 应填 2.
x0 ln(1 x)
x0
得 lim[ f (x) a] 0, 又由 f (x) 二阶可导知 f (x) 连续， x0
所以 lim f (x) f (0) a x0
3
主编：武忠祥
2016 高等数学辅导讲义练习题解答
f (x) a
f (x) f (0)
lim
lim
8.【解】应选（C）.
x
f (x)
lim
n 1 | x |n
enx
max(1,
x ,ex)
1
n
ex
x 1 1 x 0
x0
f (x) 在 x 1和 x 0 不可导，选（C）
武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第三章解答
25.【解】 应填
. 4
原式 lim
1 1 1 ( 1 )2 1 ( 2 )2 1 ( n 1)2 1 x 2 dx 0 n n n n n 4
26.【解】 应填
2 2 1 2 x 2 2 .原式 1 cos x d x sin d x . 0 0 2
7.【解】应选(B).
c 3 x ,故 c 90 3
3 n 2 1 n 1 1 ， n n 1
an
3 2n
n n 1 0
(1 x ) d(1 x n )
e t 偶函数，则 e t dt 奇函数.
0
原式 2
π 2 0
π
cos 2 x sin 2 xdx 2 2 (1 sin 2 x ) sin 2 xdx
0
π . 8
21.【解】
原式
π π π π 2 4 cos x cos x d x | cos x | sin xdx 0 0 2 2 2
1 1 x x e sin nx d x cos nx 0 0 e d n 1
1
27.【解】 应填 0.
1 1 1 1 1 1 x e x cos nx e x cos nx d x 1 e cos n 0 e cos nx d x 0 n n n 0
1 n 2
1 (1 x ) n
n 3 n 1 n 2 0
3 n 2 3 n 1 2 故 lim nan lim 1 1 ( 1 e ) 1. n n n 1
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《高等数学辅导讲义》练习题解答 第五章 多元函数微分学1.应选（B）.,)0,(xe xf =该函数在0=x 处不可导，则)0,0(x f ′不存在；,),0(2y e y f =该函数在0=y 处不可导，则)0,0(y f ′存在；2.应选（D）. 由b y x f a y x f y x =′=′),(,),(0000知，一元函数),(),,(00y x f y x f 分别在00,y y x x ==处连续，则),,(),(lim 0000y x f y x f x x =→).,(),(lim 0000y x f y x f y y =→3.应选（B）. ,000lim)0,0(0=Δ−=′→Δx f x x ,000lim )0,0(0=Δ−=′→Δxf y y220000)()(lim ])0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔΔ=Δ′+Δ′−−ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ不存在， 则),(y x f 在点)0,0(处不可微，故应选（B）. 4.应选（D）.,00)(1sin)(lim)0,0(220=Δ−ΔΔ=′→Δxx x f x x ,00)(1sin)(lim )0,0(220=Δ−ΔΔ=′→Δy y y f y y22222200)()()()(1sin ))()((lim])0,0()0,0([)]0,0(),([limy x y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔ+ΔΔ+Δ=Δ′+Δ′−−ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ,0=则),(y x f 在点)0,0(处可微.当)0,0(),(≠y x 时， 2222221cos 21sin2),(y x y x x y x x y x f x ++−+= ,01sin2lim 22)0,0(),(=+→yx x y x 2222)0,0(),(1cos 2lim y x y x x y x ++→不存在， 则),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在，即偏导数),(y x f x 在点)0,0(处不连续，故应选（D）.5.应选（D）.由0),(,0),(<∂∂>∂∂yy x f x y x f 可知,),(y x f 关于变量x 是增函数,而关于变量y 是减函数,当 2121,y y x x ><时, ).,(),(),(112122y x f y x f y x f >>6.应选（D）. )0,0()1,0()1,0()1,1()0,0()1,1()1,1(f f f f f f f −−+−−−=−−=−.211)1(),0()1,(=+>−⋅+−=ηξy x f f 故应选(D).也可用排除法:取.1.11.1),(y x y x f −=则,0)1,1(,2.2)1,1(,0)1,1(=−−−=−=f f f 则(A)(B)(C)都不对，故应选（D）.7.应选（C）. )0,0()0,1()0,1()1,1()0,0()1,1(f f f f f f −−+−−−=−−.101)1()0,(),1(=+>−⋅+−=ηξx y f f 即1)0,0()1,1(+>−f f .8. 应选（B）【解1】 直接法 由于22)0,0(),(22)0,0(),(2222)0,0(),(lim),(lim)(),(limy x y x y x f y x y x y x f y x y x y x +−+=++−→→→1),(lim22)0,0(),(=+=→yx y x f y x则0),(lim )0,0(),(=→y x f y x ，若0)0,0(=f ，),(y x f 在)0,0(点连续，否则不连续。
故(A）不正确。
1）若0)0,0(=f ，则1)0,0(),(lim22)0,0(),(=+−→yx f y x f y x .在上式中令0,0→=x y ，则1)0,0()0,(lim=−→x f x f x ,从而1)0,0()0,(lim 0=−+→x f x f x ,1)0,0()0,(lim 0−=−−→xf x f x 则)0,0(x f 不存在，由对称性知)0,0(y f 不存在。
2）若0)0,0(≠f ，则∞=−+→xf x f x )0,0()0,(lim 0，从而)0,0(x f 不存在，由对称性知)0,0(y f 不存在。
故应选（B）.【解法2】（排除法）：令,,0,10,),(222222⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=y x y x y x y x f 显然),(y x f 满足题设条件，但在)0,0(点不连续，且⎩⎨⎧=≠=,0,1,0,)0,(x x x x f 在0=x 不可导，则)0,0(x f 不存在。
同理)0,0(y f 不存在。
从而，（A）（C）（D）都不正确，故应选（B）。
9.【解】应选（D）. 由02),(lim2222)0,0(),(=+++−+→y x y x y x y x f y x 知，,0)0,0(=f 且02),(lim22)0,0(),(=+−+→yx yx y x f y x ，则,0]2[)0,0(),(lim22)0,0(),(=++−−−→yx y x f y x f y x 即)(2)0,0(),(ρο++−=−y x f y x f ，由微分的定义知，),(y x f 在)0,0(点可微，且 ,1)0,0(,2)0,0(=−=y x f f 故应选（D）.10.【解】应选（B）.验证法：（A）(C)（D）都不满足x x f y =′)0,(，故应选（B）.本题若是填空题上面的方法就不好用了. 222=∂∂yz知，),(22x y dy y z ϕ+==∂∂∫ 由x x f y =′)0,(知,)(x x =ϕ则,2x y yz+=∂∂∫++=+=),()2(2x xy y dy x y z ψ 由1)0,(=x f 知,1)(=x ψ则.12++=xy y z 11.【解】应选（C）.由 0)(),(lim222200>=++−→→αyx y x y x f y x 可知，0),(lim220>=+→→αyx y x f y x ，且,0)0,0(=f 由极限的保号性知，在)0,0(点某去心邻域内,0),(22>+yx y x f 即.0),(>y x f即点(0,0)是),(y x f 的极小值点，又由0),(lim220>=+→→αyx y x f y x 知，0)0,0()0,(lim>=−→αx f x f x ，则,0)0,0()0,(lim 0>=−+→αxf x f x ,0)0,0()0,(lim 0<−=−−→αxf x f x 从而)0,0(x f 不存在，点(0,0)不是),(y x f 的驻点.12.【解】应选（D）.由 y y x x z d d d +=知，,)(2122C y x z ++=显然，)0,0(点是),(y x f 的极小值点.13.【解】应选（A）. )(ln )(y f x f x z ′=∂∂，)()()(y f y f x f y z ′=∂∂，)(ln )(22y f x f x z ′′=∂∂， y x z ∂∂∂2)()()(y f y f x f ′′=，)()]([)()()(2222y f y f y f y f x f y z ′−′′⋅=∂∂.在)0,0(处，),0(ln )0(22f f x z ′′=∂∂ ).0(ln )]0([2222222f f y x z y z x z ′′=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂−∂∂⋅∂∂ 当0)0(ln )0(>′′f f ，0)0(ln )]0([2>′′f f ，即1)0(>f ，0)0(>′′f 时，)(ln )(y f x f z =在点)0,0(处取得极小值，故选（A）.14.【解】应选（A）. )()(y g x f xz ′=∂∂，)()(y g x f y z ′=∂∂，)()(22y g x f x z′′=∂∂，)()(2y g x f y x z ′′=∂∂∂，)()(22y g x f yz′′=∂∂. 在)0,0(处,),0()0(22g f xz′′=∂∂2222222)]0()0([)0()0()0()0(g f g f g f y x z y z x z ′′−′′⋅′′=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂−∂∂⋅∂∂ ).0()0()0()0(g f g f ′′′′=当0)0()0(>′′g f 且0)0()0()0()0(>′′′′g f g f 时，)()(y g x f z =在点)0,0(处取得极小值. 又由0)0(>f ，0)0(<g 知0)0(<′′f ，0)0(>′′g ，故选（A）. 15.【解】 应选(B).yx F F x y ′′−=′)(，0)(0=′x y 2)(][][)(y x yy yx y xy xxF F y F F F y F F x y ′′′′′+′′−′′′′+′′−=′′ ),(),()(00000y x F y x F x y y xx′′′−=′′16.【解】应选(A). B yx uC y u A x u =∂∂∂=∂∂=∂∂22222,, 由题设,02≠∂∂∂y x u,02222=∂∂+∂∂yu x u 可知,,0,0=+≠C A B 则 02<−B AC故函数),(y x u 在区域D 内无极值点,因此, ),(y x u 的最大值和最小值都在D 的边界上取得.故应选（A）.17.【解】应填.1−),()1sin(1)1(),0(y y y y z ϕ=−+−−=由导数定义知,1)1(−=′ϕ则.1)1,0(−=∂∂y z18.【解】应填.2,1422y x y x z +=∂∂则,),0(2y y z x =.221)1,0(2==∂∂∂=y y x y z 19.【解】应填2ln 21+. )e ln(ln yx x z +=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∂∂y y x x x z x z e )e ln(，故 .2ln 21)0,1(+=∂∂x z20.【解】应填).(2ln 21dy dx −+ ,)(1ln 11⎦⎤⎢⎣⎡++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=∂∂y x y xy x y y x x z yx ,)(1ln 1222⎦⎤⎢⎣⎡++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∂∂y x y x y x y x y x y z yx ,2ln 21)1,1(+=∂∂x z ),2ln 21()1,1(+−=∂∂y z故).d )(d 2ln 21(d )1,1(y x z −+=21.【解】应填).2ln 1(2−由xy y z x=+)(得，2,1==y x 时，.0=z ,ln ln )ln(y x y z x +=+ ,1)ln(xy z xz y z x =+++将0,2,1===z y x 代入得).2ln 1(2−=x z 22.【解】应填.25dy dx −−由03333=−++xyz z y x 知，当0,1=−=y x 时，.1=z,0333333222=−−−++xydz xzdy yzdx dz z dy y dx x 将0,1=−=y x ,1=z 代入得, ;0333=++dy dz dx 由32z e x u y =知,,3222323dz z e x dy z e x dx z xe du y y y ++=将0,1=−=y x ,1=z 代入得,.32dz dy dx du ++−=.25)33(2dy dx dy dx dy dx du −−=−−++−=23.【解】应填2222121y x xy y x +++.由x x f =)0,(知，.1)0,(=x f x 由y x y x z +=∂∂∂2知， ),(21)(2x y xy dy y x x z ϕ++=+=∂∂∫又,1)0,(=x f x 则,1)(=x ϕ ,1212++=∂∂y xy x z ),(2121)121(222y x xy y x dx y xy z ψ+++=++=∫又2),0(y y f =，则.)(2y y =ψ24.【解】应填.34x −由21)2,(x x x u =知x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=+ （1）由x x x u =)2,(知. 1)2,(2)2,(21=+x x u x x u0)2,(4)2,(2)2,(2)2,(22211211=+++x x u x x u x x u x x u即: 0)2,(4)2,(51211=+x x u x x u （2） 由（1）和（2）可知 .34)2,(11x x x u −= 25.【解】应填.xy z −,11)(21221F x F y x z F F x z +−⋅+−=∂∂,11)(21221F xF y F y z F y z ++−⋅−=∂∂ 则=∂∂+∂∂yzy x z x)(xy z −. 26．【解】应填.5tt y x f y t x f t ),(),2(lim00000−−+→t y x f t y x f y x f y t x f t )],(),([)],(),2([lim000000000−−−−+=→ ),(),(20000y x f y x f y x ′+′=5122=+×=27．【解】应填.5由0)1(22),(lim221=+−++−→→yx y x y x f y x 知，,2)0,1(,1)0,1(−==y x f ftf t f f t f t t f t f t t )0,1()2,1[]0,1()0,1([lim)2,1()0,1(lim00−−−+=−+→→ .5)0,1(2)0,1(=−=y x f f28．【解】应填).()(222xy f y x +∫∫∫−+−=−=11)()()()()(xyxy dt t f xy t dt t f t xy dt t f t xy z∫∫∫∫−+−11)()()()(xyxyxyxydt t f xy dt t tf dt t tf dt t f xy ,∫∫−+−−+=122220)()()()()()(xyxy x dt t f y xy f xy xy f xy xy f xy xy f xy t f y z∫∫−=1)()(xyxy dt t f y dt t f y ,)(2)()(222xy f y xy f y xy f y z xx =+=由对称性知, )(22xy f x z xx =,则).()(222xy f y x z z yy xx +=+29．【解】;2231y x x f f x u +′+′=∂∂;)()(222222322223322131122y x x y f y x x f y x x f f x z +−′++′′++′′+′′=∂∂ 30．【解】应填.51,1)1,1())1,1(,1()1(===f f f ϕ1213d )(d )(3)(d d ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x x x x x x x ϕϕϕ 121212))],(),())(,(,()),(,()[(3=′+′′+′=x x x f x x f x x f x f x x f x f x ϕ.51)]32(32[13=++⋅⋅=31．【解】.d d d d d d xzz f x y y f x f x u ∂∂+∂∂+∂∂= (*) 由2e =−xy xy两边对x 求导，得,0d d d d e =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x y x y x y xy xy即.d d x yx y −=又由∫==z x x t tt 0d sin e 两边对x 求导，得,d d 1)sin(e ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−−=x z z x z x x即.)sin()(e 1d d z x z x x z x −−−= 将其代入(*)式，得.)sin()(e 1d d zfz x z x y f x y x f x u x ∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−+∂∂−∂∂= 32.【解1】 ,vz u z x z ∂∂+∂∂=∂∂ ,2v za u z y z ∂∂+∂∂−=∂∂ ,22222222v z v u z u z x z ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂ ,4422222222v z a v u z a u z y z ∂∂+∂∂∂−∂∂=∂∂ .)2(2222222v z a v u z a u z y x z ∂∂+∂∂∂−+∂∂−=∂∂∂ 将上述结果代入原方程，经整理后得.0)6()510(2222=∂∂−++∂∂∂+vz a a v u z a 依题意a 应满足062=−+a a 且 ,0510≠+a 解之得 .3=a 【解2】 将z 视为以y x ,为中间变量的v u ,二元复合函数，由题设可解得.2,22++−=++=a v u y a v au x从而 ,2+=∂∂a a u x ,2+=∂∂a a v x ,21+−=∂∂a u y ,21+=∂∂a v y,212yz a x z a a u y y z u x x z u z ∂∂+−∂∂⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+=∂∂∂v y y z v x x y z a v y y x z u x x z a a v u z 2222222212 .21)2(2)2(22222222y za y x z a a x z a a ∂∂+−∂∂∂+−+∂∂+= 依题意 0622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y zy x z x z ，即 .622222y x z x z y z ∂∂∂+∂∂=∂∂代入前式，得 .)2(3)2(62222222yx z a a x za a v u z ∂∂∂+−+∂∂+−=∂∂∂ 令02=∂∂∂vu z，得 02,03≠+=−a a ，故.3=a 33.【解】令,u xy =则)()(u f y x z +=, 由xyy z x z =∂∂+∂∂知 .2)1ln()(12)1ln(11)(.)(2)()1(2y x xyy x z C uuu u u u f u u f u f u −+−−=++−+−+−==+′− 34.【解】 由于)()(),(22y x g r g y x f +==，得r x r g y x x r g x f ⋅′=+′=∂∂)()(22，322)()(r xy r g r xy r g y x f ′−′′=∂∂∂ 3222sin cos )(sin cos )(r r r g r r r g θθθθ′−′′=， 代入02=∂∂∂y x f化简得.0)(1)(=′−′′r g rr g 可解得221)(C r C r g +=，从而.)(),(2221C y x C y x f ++= 35.【解】令22y x r +=，则,drdzr x x r dr dz x z ⋅=∂∂⋅=∂∂ ,132222222dr dz r x dr dz r dr z d r x x z ⋅−⋅+⋅=∂∂同理,132222222dr dzr y dr dz r dr z d r y y z ⋅−⋅+⋅=∂∂ 代入原方程，即得.222r z drz d =+解此二阶常系数线性非齐次微分方程，得其通解为.2sin cos 221−++=r r C r C z36.【解】 ⎪⎩⎪⎨⎧=+−=′=+−=′0)(240)(2433y x y f y x x f y x 得y x =，代入上式得驻是)0,0(),1,1(),1,1(−−； 在)1,1(),1,1(−−点.02>−B AC ，且0>A ，取极小值， 在)0,0(点，.02=−B AC ;0)0,0(=f.02),(4>=−x x x f )0(≠x .0)0,(24<−=x x x f （||x 充分小）,则)0,0(点无极值.37.【解】)2(2),(2y x y x f x +=′，.1ln 2),(2++=′y y x y x f y令⎩⎨⎧=′=′,0),(,0),(y x f y x f yx 解得唯一驻点⎟⎠⎞⎜⎝⎛e 1,0. 由于,e 122)2(2e 1,02e 1,02⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛′′=⎟⎠⎞⎜⎝⎛y f A xx ,04e 1,0e 1,0==⎟⎠⎞⎜⎝⎛′′=⎟⎠⎞⎜⎝⎛xy f B xy e,12e 1,0e 1,02=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛′′=⎟⎠⎞⎜⎝⎛y x f C yy 所以⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=−22e 12e 2AC B ，且.0>A 从而⎟⎠⎞⎜⎝⎛e 1,0f 是),(y x f 的极小值，极小值为.e 1e 1,0−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛f38.【解】 由题意0)1(=′g . 因为,)(21f x g y f y xz′′+′=∂∂].)()[()(])([22212121112f x g f x g y f x g f x g f x y f yx z′′+′′′+′′+′′+′′+′=∂∂∂ 所以).1,1()1,1()1,1(12111112f f f y x zy x ′′+′′+′=∂∂∂== 39.【解】),()),(,()),(,(121y x f y x f y x f y x f y x f xz′⋅+′++′′=∂∂)),(,(),(),()),(,()),(,(212212112y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x z+′⋅′′+′⋅+′′++′′=∂∂∂ )].,()),(,()),(,()[,(222211y x f y x f y x f y x f y x f y x f ′⋅+′′++′′′+由题意知,0)1,1(,0)1,1(21=′=′f f 从而).1,1()2,2()2,2(12211)1,1(2f f f y x z′′′+′′=∂∂∂ 40.【解】由08822222=+−+++z xz z y x 得⎩⎨⎧=′−+′+=′−++′+.0824,08824y y y x x x z xz z z y z xz z z z x 在上式中令0,0=′=′y x z z 得02=+z x ，0=y ，将02=+z x ，0=y 代入原方程得1=z 和78−=z .即驻点为)1,0,2(−和).78,0,716(−进一步用充分条件判定得点)1,0,2(−取极小值,点)78,0,716(−取极大值.41.【解】 ))1(()1(),(22y x o y x y x f +−−−−−=， 由全微分的定义知0)0,1(=f .1)0,1()0,1(−=′=′y x f f,2,22121y f x e f g x f y e f g xyyxy x ⋅′+⋅′=′⋅′+⋅′=′ 从而 .0)0,0(,0)0,0(=′=′y x g g2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x′+⋅′′+⋅′′+⋅′+⋅′′+⋅′′=′′， x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xy xy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅′′+⋅′′++⋅′+⋅′′+⋅′′=′′，2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xy xy xy xy y ′+⋅′′+⋅′′+⋅′+⋅′′+⋅′′=′′， 1)0,1()0,0(,2)0,1(2)0,0(122−=′=′′=−=′=′′=f g B f g A xy x ， 2)0,1(2)0,0(22−=′=′′=f g C y ，032>=−B AC ，且0<A ，故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.42.【解】 由⎪⎩⎪⎨⎧=−=′=−=′,024,02222y x y f xy x f yx 得D 内驻点为.2)1,2(),1,2(=±±f 在边界)22(0:1≤≤−=x y L ，记,)0,()(2x x f x g ==显见在1L 上),(y x f 的最大值为4，最小值为0.在边界)0(4:222≥=+y y x L 上，记 ).22(85)4,()(242≤≤−+−=−=x x x x x f x h由0104)(3=−=′x x x h 得驻点.25,25,0321=−==x x x .8)2,0()0(==f h .4723,2525=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛±=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛±f h 综上，),(y x f 在D 上的最大值为8，最小值为0.43.设函数),(y x z z =的微分dy y x dx y x dz )412()122(+++=，且0)0,0(=z ，求函数),(y x z z =在25422≤+y x 上的最大值。