第三章一维射影几何学

推论：设点列四点A、B、C、D的齐次坐标是 i p ui q, i 1, 2,3, 4 v u1 v2 u2 v1 u1 v2 u2 则 AB, CD 1 v3 u3 v4 u4 v4 u4 v3 u3
点列的交比与四点的排列的顺序有关，四点在一直线上有4!=24种排 列，故有24种交比。这24种交比不是彼此不同的，可以分为六种不 同的组别，每组的值是相同的。 定理3：在点列的交比中将某两点互换，同时互换其余两点，则交 比值不变。
按顺序点列的交比，用符号来记 AB, CD
§3.2点列的交比
AC BD AB CD (有向线段，而非距离） AD BC
ABC AC BD AC 1 AB CD AD AD BC BC ABD BD 交比可由简比求得
讨论三种特殊情况： 1 令 1

1 1 2
1 1 3 2 1 0 i 1 2 2 1 1 3 2 1 0 i 令 2 2
2 2 0 0或2 若 1
第三章 一维射影几何学
§3.1 点列与线束
维的概念：平面内的点与直线都有两个坐标，平面内的点几 何学和线几何学都是二维的。 定义1 点列：动点在一条直线上移动产生的图形称为点列。那 条定直线称为点列的底，设 M 1 a1 a2 a2 ，M 2 b1 b2 b2
M 为定直线上二点， x1 , x2 , x3 为点列的动点，则：
定理1 ：设取A和B为基点，将这四点的齐次坐标顺序表达为：
a, b, a 1b, a 2b
则
1 AB CD 2
定理2： 设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为P+i q i 1, 2,3, 4
则
u1 u3 u2 u4 AB, CD u1 u4 u2 u3
为线束的动直线,则
u1 a1 b1
由代数知识,必有数
u2 a2 b2
u3 a3 0 b3
, u 使得 x a ub
{
x1 a1 ub1 x 2 a 2 b2 x3 a3 b3
{
u1 a1 ub1 u 2 a 2 b2 u 3 a3 b3
定理4：只限于一对点之间的交换，则交比值转变为其倒数
定理5：交换中间两点，则交比值转变为1与原值之差
由定理3~定理5可知：24个交比一般取六个不同的数值：
（1） AB, CD BA, DC CD, AB DC , BA
（2）
AB, DC BA, CD CD, BA DC , AB
四点的交比为：AB，CD
把一线束中四直线被任一直线（不通过线束中心或顶点O）所截四 点的交比，称为四直线的交比，记为（ab,cd)
c a 1b
1 ab，cd） （ 2
1 定理1：四直线a，b，c a b，d a b 的交比为 ab,cd 1 2 2
定理2：四直线a p u1q, b p u2 q, c p u3q, d p u4q 的交比 u1 u3 u2 u4 u u , u u ab, cd 1 2 3 4 ，即线束中四直线 u1 u 4 u2 u3 的交比等于其相应参数之交比。 当 ab, cd 1 时，四直线为一调和线束，a和b称为对于c,d成一对 调和共轭直线，c和d对于a,b也是一对调和共轭直线。 例：一个角的两边被它的内角和外角平分线调和分割。 四直线交比在初等几何的意义： 取直线中心O为正交笛氏坐标原点，取一条不与四直线a,b,c,d 任一条平行的直线作为y轴，将四直线的方程写为 y ki x （i=1,2,3,4),其中取 k i 为斜 ，由于截线可任意选取，取直线 x 1 作为截线。交a,b,c,d于A，B，C，D，交x轴于M，这四
设以一直线S截此四线于点A，B，C，D，则这四点的坐标顺序为：
O
a s, b s, c s a s 1 b s d s a s 2 b s
1 2 B，C D 1 A 2
A a
A
C
D
C B
B D b d a 2b
x1 a1 b1
x2 a2 b2
x3 a3 0 b3
x =u a +v b A B
C
定义2 线束：动直线绕一个定点旋转所产生的图形称为线束。 那个定点称为线束的心。
设 L1 [a1 , a 2 , a3 ], L2 [b1 , b2 , b3 ] 为过定点的直线 L [u1 , u2 , u3 ]
sin ac sin bd ab, cd sin ad sin bc
d
a c b
b d b c a c b c 2 a d a c 2 sin a c con bc sin bc cos bc 1 ab, cd cos a c sin bc cos bc sin bc
点的纵坐标为： MA k1 , MB k2 , MC k3 , MD k4
y
d
AC BD ab, cd AB, CD AD BC MC MA MD MB MD MA MC MB
c
D b C B a
sin ac sin bd sin ad sin bc 其中 ac 表示把直线a到c的有向转角。
例1：试证一角的两边与其内外角平分线的交比等于-1。 证明：如图，设角的两边为a,b，内外角平分线分别为c,d.
例1：已知点A（1，4，1），B（0，1，1），C（2，3，-3）在一 条直线上，试求在这条直线上的第四点D的齐次坐标，使交比 （AB，CD）=－４ 解:将A,B两点取为基点,C点表为A,B两点的线性组合
1 2,3, 3 1, 4,1 1 0,1,1
2 1 1 1 0 5 1 31 4 1 1 2 , 1 2 3 1 1 1
1
（3） AC , BD BD, AC CA, DB DB, CA 1

1 （4） AC , DB BD, CA CA, BD DB, AC 1 1 （5） AD, BC BC, AD CB, DA DA, CB （6） AD, CB BC, DA CB, AD DA, BC 1
sin Q3 cos Q1 sin Q1 cos Q3 sin Q4 cos Q2 sin Q2 cos Q4 sin Q4 cos Q1 sin Q1 cos Q4 sin Q3 cos Q2 cos Q3 sin Q2 sin Q3 Q1 sin Q4 Q2 sin Q4 Q1 sin Q3 Q2
sin Q3 sin Q1 sin Q4 sin Q2 cos Q3 cos Q1 cos Q4 cos Q2 sin Q4 sin Q1 sin Q3 sin Q2 cos Q4 cos Q1 cos Q3 cos Q2
5 1 AB, CD 2 4
2
2
5 2 8
作业：
P54
1，4，5，6
§3.3线束的交比
设a,b,c,d为一线束中的四直线，取a和b作为基线，把它们的齐次坐 标依次表示为 a, b, c a 1b, d a 2b （a,b既代表直线，又代表它 们的坐标向量）
M1 若以 Q1 , Q2 , Q3 , Q4 分别表示四直线的倾角，则：
k3 k1 k4 k2 k4 k1 k3 k2
O
A x
tgQ3 tgQ1 tgQ4 tgQ2 ab, cd tgQ4 tgQ1 tgQ3 tgQ2
所以,点列上任意一点M的坐标可表为:
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(a1 ub1 , a 2 b2 , a3 b3 )
的形式,当时,
0 可表为
(a1 b1 , a 2 b2 , a3 b3 )
的形式.为
M 1 , M 2 点列的基点

u

AC BD 定义：设A、B、C、D为共线的四点，把 定义为这四点 AD BC
2
（3） 1 3 i 2 2
第一种情况
1 时 则 u u u u1 u2 u3 u4 0
1 3
2 4
u
u1 u4 u2 u3

若非点A与B重合， u1 u2 即C与D重合 u3 u4
例2：已知四直线a,b,c,d的方程为

2 x y 1 0,3x y 2 0
7 x y 0,5x 1 0 求证：这四直线共点，并求（ab,cd)
证明：
2 1 5 0
1 0 0 1
且
3 5
1 0
或者称为A，B两点所成的点偶与C，D两点所成的点偶
成调和共轭
例1：三角形的内角平分线与外角平分线 A
AB BD AC DC
AB BE AC EC
∴ D E
BC , DE 1
B C 定理6：设 AB, CD 1 0为CD的中点，则 0C 2 0 A 0 B
（1）当
1 六组交比值分别为；1，1，0， ，0，
当
（2）当
2


0， 六组交比值分别为： ，1，1，，0 1 1 2， 1 六组交比值分别为-1，-1，2，， 2 2 1 六组交比值分别为 1 ， 1 ， 1， 1 2， 2， 2 2 2
1 1 2 六组交比值分别为 2，， 1， 1，， 2 2
1, ,0
四点中也只当某两点重合时，六个交比值才能有等于
第二种情况
1
AC AD BC BD
AC BD ABC 1 AB, CD AD BC ABD
说明C点分割线段AB 的值与D点分割线段AB的值只差一个符号， 一个是内分点，一个是内外分点 定义3：当 AB, CD 1 时，则称C，D两点调和分割A，B两点