反函数例题讲解

反函数例题讲解

例1．下列函数中，没有反函数的是 ( )

(A) y = x 2－1（x <2

1-） (B) y = x 3+1（x ∈R ）

(C) 1

-=

x x

y （x ∈R ，x ≠1） (D) ⎩

⎨

⎧<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ，

分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定．

判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数．

本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ⎩

⎨

⎧≥=-2422x x ，

得 x = 3．

由 ⎩

⎨

⎧<=-144x x ，

得 x = －1．

∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ⎩

⎨

⎧<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ，

的图像（如图），依图

更易判断它没有反函数．

例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ．

∴ 1－x 2 = (1－y )2，

x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ．

∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）．

由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )．

② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域；

③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y =

φ ( x )．

例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________．

分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）．

依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f －

1

(2 )的值会简捷些．

令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ．

又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x )

的图像是

( )

（A （（B （C

分析：作为选择题，当然不必由f ( x )求出f －1 ( x )，再作出f －1 ( x )图像，予以比较、判断．

由241)(x x f +=（x ≤0）易得函数f ( x )的定义域为(]0,∞-，值域为

[)∞+,1．于是有函数f

－1

( x )的定义域为[)∞+,1，值域为(]0,∞-．依此对给出

图像作检验，显然只有（D ）是正确的．

因此本题应选（D ）．

例5．给定实数a ，a ≠0，a ≠1，设函数1

1

--=

ax x y （x ∈R ，x ≠a 1）．

求证：这个函数的图像关于直线y = x 成轴对称图形． 分析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路． 证明：先求给出函数的反函数：

由 1

1

--=ax x y （x ∈R ，x ≠a 1），得y ( ax －1) = x －1 ．

∴

(ay －1)x = y －

1 ． ①

若ay －1 = 0，则ay = 1 ． 又a ≠0，故 a

y 1

=

．此时由①可有y = 1．于是a 1=1，即a = 1，

这与已知a ≠1是矛盾的，故ay －1 ≠ 0 ． 则由①得 11--=ay y x （y ∈R ，y ≠a

1

）． ∴ 函数 11--=

ax x y （x ∈R ，x ≠a 1）的反函数还是1

1

--=ax x y （x ∈R ，x

≠a

1）．

由于函数f ( x )与f －1 ( x )的图像关于直线y = x 对称，故函数1

1

--=ax x y （x ∈R 且x ≠

a

1

）的图像关于直线y = x 成轴对称图形． 本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点P （x ，y ）是函数f ( x )图像上任一点，则点P 关于直线的对称点Q （y ，x ）也在函数f ( x )的图像上（过程略）．

例题讲解（反函数）

例1．求下列函数的反函数： (1) y =3x －1 (x ∈R )； (2) y =x 3＋1 (x ∈R )； (3)1+=x y (x ≥0)； (4)1

3

2-+=

x x y (x ∈R ，且x ≠1)． 通过本例，使学生掌握求反函数的方法．求反函数时，要强调分三个步骤进行．第一步将y = f (x )看成方程，解出x = f －1 (y )，第二步将x ，y 互换，得到y = f －1

(x )，第三步求出原函数的值域，作为反函数的定义域．其中第三步容易被忽略，造成错误．

如第(3)小题，由1+=x y 解得x = (y －1)2，再将x ，y 互换，得y = (x －1)2．到此以为反函数即y = (x －1)2，这就错了．必须根据原函数的定义域x ≥0，求得值域y ≥1，得到反函数的定义域，于是所求反函数为

y = (x －1)2 (x ≥1)． 例2．求下列函数的反函数： (1) y = x 2－2x －3 (x ≤0)；

(2) =y ⎪⎩⎪

⎨⎧--111x

x

通过本例，使学生进一步掌握求反函数的方法，明确求解中三个步骤缺一不可．

解：(1) 由y = x 2－2x －3， 得y = (x －1)2－4， 即 (x －1)2 = y ＋4，

因为x ≤0，所以41+-=-y x ，所以原函数的反函数是

41+-=x y ( x ≥－3)．

(2) 当x ≤0时，得x = y ＋1且y ≤－1；

(x ≤0)， (x ＞0)．