二元一次方程组知识点及典型例题

二元一次方程组小结与复习

一、知识梳理

（一）二元一次方程组的有关概念

1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。任何一个二元一次方程都有无数个解。 3．方程组和方程组的解

（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。

（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。 4．二元一次方程组和二元一次方程组的解

（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。

（二）二元一次方程组的解法： 1．代入消元法 2．加减消元法

二、典例剖析

题型一1．二元一次方程及方程组的概念。

二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成

0=++c by ax （a,b,c 为已知数，且a ≠0，b ≠0）的形式，这种形式叫二元一次方程的一

般形式。

练习1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？

12).().(711)

(6526)(=++-=++=-y x xy D y x C y

x B x z x A

练习2、若方程的值。

的二元一次方程，求、是关于）（n n m

m y x y x

m 43195=+--

练习3、（1）若方程(2m －6)x |n |－1+(n +2)y 82

-m =1是二元一次方程，则m =_______，n =__________．

专题二：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。 （一）、代入消元法：

1、直接代入 例1 解方程组②

①y x x y ⎩⎨

⎧=--=.

134,

32

跟踪训练：解方程组：

（1）90152x y x y

+=⎧⎨=-⎩ （2）⎩⎨

⎧-==+73825x y y x

2、变形代入 例2 解方程组②

①y x y x ⎩⎨⎧=+=-.

1043,

95

跟踪训练：（1）⎩⎨⎧-=--=-.2354,

42y x y x （2）⎩⎨

⎧=+=+②

①

7

7322y x y x

(3) ⎩⎨⎧=-=+.123,

205y x y x (4) ⎩⎨

⎧=-=+②

①

5

231284y x y x

（二）、加减消元法

例题、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）．⎩⎨

⎧=+=+.

1034,

1353y x y x

跟踪训练：（1） （2） （3）

⎩⎨⎧=+=-10

237

24y x y x

(4) (5)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--9275320232y y x y x (6)11,233210;x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩

（三）、选择适当的方法解下列方程组 （1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩⎨⎧-=+---=+--23

)3(5)4(44

)3()4(2y x y x

（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-++=+3

)43(4)1(3)2(3

11y x y x （4）x 2y+2=02y+22x

536⎧⎪

⎨⎪⎩

－－－＝

题型三：代数式的变形 1、在方程

＝5中，用含的代数式表示为：＝ ，当＝3时，

＝ 。

2、在二元一次方程x+2y=11中，用含x 的式子表示y 得__________

题型四：有关二元一次方程组的解：

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+15

25110

2y x y x

⎩⎨⎧=+=+6544

32y x y x （1）二元一次方程3a +b =9在正整数范围内的解的个数是_________. （2）已知(3x －2y +1)2与|4x －3y －3|互为相反数，则x =__________，y =________ （3）若方程组⎩

⎨⎧-=-+=+1223

23m y x m y x 的解互为相反数，求

m 的值。

（4）解关于x ，y 的方程组32165410x y k

x y k +=⎧⎨

-=-⎩

，并求当解满足方程4x －3y ＝21时的k 值．

（5）：的值。

求有相同的解与方程组若方程组b a by ax y x y x by ax ,,10

22

4352123⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=-=-

（6）：若方程组 的解是方程ax-by=4的解，你能求出a 、b 的值吗？

题型五：墨渍题 练习1、已知方程组⎩⎨

⎧=-=+1

53cy x by ax ，甲正确的解得⎩⎨⎧==32

y x ，而乙粗心，把c 看错了，解得

⎩

⎨⎧==63

y x ，求a 、b 、c 的值。

练习2、一个被滴上墨水的方程组如下：⎩

⎨

⎧=-=+8

72

y

，小明回忆到：“这个方程组的

解为

⎩⎨

⎧=-=⎩⎨⎧-==2

2

23y x y x ，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中x 的系数所致”，请你根据小明的回忆，把原方程组还原出来。

练习3：小明和小华同时解方程组⎩⎨⎧=-=+1325ny x y mx ，小明看错了m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧

-==

2

27y x ，小华看错

了n ，解得⎩

⎨⎧-==73

y x ，则原方程组正确的解是多少？

题型六：方程组的解的情况

例题．已知关于x ，y 的方程组21(1)22(1)3(2)ax y a

x a y +=+⎧⎨+-=⎩

，分别求出

当a 为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．