高等代数(北大版)第10章习题参考答案

第十章双线性函数与辛空间

1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的

一个线性函数，已知

f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3

求f (X

1ε

1

+X

2

ε

2

+X

3

ε

3

).

解因为f是V上线性函数，所以有

f (ε1)＋ f (ε3)=1

f (ε2)-2 f (ε3)=-1

f (ε1)+f (ε2)=-3

解此方程组可得

f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是

f (X

1ε

1

+X

2

ε

2

+X

3

ε

3

).＝X

1

f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3)

＝4 X

1

－7 X

2

－3 X

3

2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使

f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1

解设f为所求V上的线性函数，则由题设有

f (ε1)＋ f (ε3)=0

f (ε2)-2 f (ε3)=0

f (ε1)+f (ε2)=1

解此方程组可得

f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1

于是∀a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为

a= X

1ε

1

+X

2

ε

2

+X

3

ε

3

时，就有

f (a)=f (X

1ε

1

+X

2

ε

2

+X

3

ε

3

)

= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2

)＋X 3 f (ε

3

)

=-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε

2

，ε

3

是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令

α1＝ε1－ε

3

，α2＝ε1＋ε

2－ε

3，α3＝ε

2＋ε

3

试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设

（α1，α2，α3）＝（ε1，ε2

，ε

3

）A

由已知，得

A ＝110011111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ）1-

＝（f1,f2,f3）011112111-⎡⎤

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

因此

g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3

4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V *

中非零向量，试证：∃α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。

当s ＝1时，f1≠0,所以∃α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即∃α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。

若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定∃β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且

fi(γ)=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)

f

1

k+

(γ)＝cb≠0

即证。

5．设α1，α2，…αs是线性空间V中得非零向量，试证：

fi(αi)≠0 (i=1,2…,s)

证：因为V是数域P上得一个线性空间，V*是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量α，则可定义V*的一个线性函数α**如下：

α**(f)=f(α) (f∈V*)

且α**是V*的对偶空间（V*)*中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V*)*的映射

α→α**

是一个同构映射，又因为α1，α2，…αs是V中的非零向量，所以α1**，α2**，…αs**对偶空间V*的对偶空间（V*)*中的非零向量，从而由上题知，∃f∈V*使

f(αi)＝αi**(f) ≠0 (i=1,2…,s)

即证.

6.设V＝P[x]

3

,对P(x)=C0+C1x+C2x2∈V,定义

f

1(p(x))=

1

()

p x dx

⎰

f

2(p(x))=

2

()

p x dx

⎰

f

3(p(x))=

1

()

p x dx

-

⎰

试证f

1， f

2

， f

3

都是V上线性函数，并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使

f 1， f

2

， f

3

是它的对偶基。

证：先证是V上线性函数，即f

1

∈V*，对∀g(x),h(x) ∈V, ∀k∈P,由定义有

f

1（g(x)＋h(x)）＝

1

(()())

g x h x dx

+

⎰

＝

1

()

g x dx

⎰＋10()

h x dx

⎰

＝f

1

(g(x))+ f

1

(h(x))