椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版

焦点坐标 F1 (c,0) ， F2 (c,0)
F1 (0,c) ， F2 (0, c)
焦距
F1F2 2c
F1F2 2c
范围
x a，yR
性质 对 称 性 顶点坐标
关于 x 轴、 y 轴和原点对称 ( a,0)
y a，xR (0,a) ，
实轴、虚轴 实轴长= 2a ，虚轴长= 2b ；实半轴长= a ,虚半轴长= b
将定义中的常数记为 2a ，则：①.当 2a F1F2 时，点的轨迹是 双曲线 ②.当 2a F1F2 时，点的轨迹是 两条射线 ③.当 2a F1F2 时，点的轨迹 不存在
标准方程 图形
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y
b
o ax
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
ya y ab o o xx
a、b、c关系 c2 a2 b2
离心率
e c (e 1) a
渐近线方程
ybx a
yax b
2b2
通径
a
焦点位置不确定的双曲线方程可设为： mx2 ny2 1mn 0
与双曲线 x2 a2
y2 b2
1共焦点的双曲线系方程可设为：
x2 a2
k
b
y2 2
k
1
b2
k
a2
与双曲线
x2 a2
物线）的弦长公式：
AB x1 x2 1 k 2 x1 x2 2 4x1x2 1 k 2
(0, 0)
关于 y 轴
焦半径
M x0, y0
离心率
通径
MF
x0
p 2
MF
x0
p 2
MF
y0
p 2
e 1
2p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MF
y0
p 2
直线与抛物线相交于 A(x1, y1), B x2, y2 ，且直线过抛物线的焦点，则过焦点的弦长公式：
AB
x1
x2
p
2p sin2
(为弦AB的倾斜角）
直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于 A(x1, y1), B x2, y2 ，则椭圆（或双曲线、抛
y2 b2
1共渐近线的双曲线系方程可设为：
x2 a2
y2 b2
0
三、 抛物线的标准方程及其几何性质
抛物线的定义：我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （ l 不经过点 F）距离相等 的点的轨迹叫做抛物线。点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结
一、 椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨
迹叫做椭圆。符号语言： MF1 MF2 2a2a 2c
将定义中的常数记为 2a ，则：①.当 2a F1F2 时，点的轨迹是 椭圆
②.当 2a F1F2 时，点的轨迹是 线段
性质
对称性 顶点坐标
关于 x 轴、 y 轴和原点对称 (a,0) ， (0,b)
x b， y a (0,a) ， (b,0)
轴 长 长轴长= 2a ，短轴长= 2b ；长半轴长= a ,短半轴长= b
a、b、c关系 a2 b2 c2
离心率
e c (0 e 1) a
2b2
通径
a
焦点位置不确定的椭圆方程可设为： mx2 ny2 1m 0, n 0, m n
图形
焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点坐标
y l
y l
y F
OF
x
F
O
x
O
x
l
( p , 0) 2
x p 2
( p , 0) 2
x p 2
(0, p ) 2
y p 2
x 0, y R
x 0, y R
y 0, x R
y l
O F
x
(0, p) 2
y p 2
y 0, x R
关于 x 轴
与椭圆 x2 a2
y2 b2
1
共焦点的椭圆系方程可设为：
x2 a2
k
y2 b2 k
1
k
b2
二、 双曲线的标准方程及其几何性质
双曲线的定义：我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线。符号语言： MF1 - MF2 2a2a 2c
③.当 2a F1F2 时，点的轨迹 不存在
标准方程
x 2 y 2 1 (a b 0) a2 b2
y 2 x 2 1 (a b 0) a2 b2
图形
焦点坐标 F1 (c,0) ， F2 (c,0)
F1 (0,c) ， F2 (0, c)
焦距
F1F2 2c
F1F2 2c
范 围 x a， y b