04.第四讲 二次插值法

a3

(x2

x3 )x2 x3 f1 ( x1
(x3 x1 )x3 x1 f2 x2 )( x2 x3 )( x3
(x1 x1 )

x2 )x1x2
f3
令 p / (x) 0 ，即 可得二次函数极小点
p / (x) a1 2a2 x 0
x
* p
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a1 2a2
，并将
x
* p
记作x4，计算
f4，若此时为第一次插值或者x2点仍为初始给定点时，显 然x2和x4不是前后两次插值函数的极小值，不能进行终止判 断，故转入步骤 4）
4）缩短搜索区间。原则是：比较f2、f4，取较小者为新的x2 点，并以此点左右邻点分别取作新的x1点和x3点，这样就 有新的搜索区间[x1, x2 ] 。
a0

(x2
x3 ) f1 ( x3 x1 ) f 2 ( x1 x2 ) f 3 ( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x1 )
a1

( x22
x32 ) f1 ( x32 x12 ) f 2 ( x12 x22 ) f 3 (x1 x2 )(x2 x3 )(x3 x1 )
其中
C1

f3 x3
f1 x1
C2

( f2

f1) /(x2 x2 x3
x1 ) C1
3.二次插值法的迭代过程
1) 给定初始搜索区间 [a, b] 和精度
2）在区间 [a, b] 内取3个插值节点 x1 ， x2 和 x3 ，并计算
f1，f2 和 f3 ；
3）计算函数的极小值点 x*p
缺点：程序较复杂，可靠性较差，适用于多维 优化的一维搜索迭代。
将a1，a2带入上式得：
x*p

x4

1 [ (x22 2 (x2
x32 ) f1 (x32 x12 ) f2 (x12 x22 ) f3 ]

x3 )
f1

( x3

x1 )
f21

( x1

x2 )
f 13
为方便计算，可将上式改写成
x
* p

0.5( x1

x3

C1 ) C2
二次插值法原理图
此二次函数可表示为： p(x) a0 a1 x a2 x 2 将上述三点带入此式
p( x1 ) p(x2 )

a0 a0
a1 x1 a2 x12
a1 x2

a2
x
2 2


p(x3 )

a0
a1 x3

a2
x32

可以求出待定系数a0，a1，a2的值为：
二次插值法
1.多项式逼近 利用目标函数在若干点的信息（包括函数值、导数值等）
构成一个与目标函数值相接近的低次插值多项式，然后用该多 项式的最优解作为函数的近似最优解，随着区间的逐步缩短， 多项式的最优解与原函数的最优点之间的距离逐步减小，直到 满足一定精度要求为止。 2.二次插值法的基本原理
设一元函数 f (x) ，在搜索区间 [a, b] 内取三点：
x3
（5）判断是否满足精度要求
当满足 x4 x2
停止迭代，将X2和X4中函数值较小的点作为最 小值，否则返回步骤（4）。
二次插值法的程序框图如下：
二次插值法的优缺点：
优点：充分利用了函数的性态，具有二次收敛 性，对于目标函数为二次函数的问题，用二次 插值法求解，理论上一次就可以达到最优点。 对于非二次函数，随着区间缩短使目标函数呈 现二次性态，因此收敛速度也比较快。故算法 的有效性好。
x1 a, x2 0.5(a b), x3 b 计算它们的函数值 f1 f (x1 ), f 2 f (x2 ), f3 f (x3 ) 并且满足 f1 f 2 f 3 （“大—小—大”）变化关系。
a)第一次迭代
b)第二次迭代
（虚线为拟合函数图像，实线为原目标函数图像）
根据原区间里X2和X4的相对位置和f2和f4的大小，区间的 收缩有四种情况：
x2 x4
f2 f4
f2 f 4
x1
x2 x4
x3
x2 x4
f2 f4
f2
f4
x1
x2
x4 x3
x2 x4
f2 f4
f4
f2
x1
x4 x2
x3
x2 x4 f2 f4
f4
f2
x1 x4
x2