高等代数(全部)

称为基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵(Gram矩阵)。 注: (1) 度量矩阵A是实对称矩阵。 (2) 度量矩阵A是正定矩阵。
(3) 确定一组基后，向量的内积可由度量矩阵A完全确定。
(4) 不同基的度量矩阵是合同的。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
例5 设 1 , 2 , , m 是n维欧氏空间V中的一组向量，令
欧氏空间
§5 子空间
§5 子空间
一、子空间正交的定义和性质
定义1 设V1，V2是欧氏空间 V 的两个子空间，若对 V1 , V 2 恒有 ( , ) 0 , 则称V1与V2正交，记为 V1 V 2 .
定理1 对于欧氏空间V中的任意向量 , 恒有
| ( , ) | | | | |
当且仅当 , 线性相关时，等号成立。
定义3 设 , 是欧氏空间的两个非零向量， , 的夹角为：
arccos
( , ) | || | , 0
例3 在R3中，向量 (1, 0 , 0 ), (1, 1, 0 ) 求 , 的夹角。
欧氏空间
第八章
欧氏空间
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
§1 欧氏空间的定义和性质
一、欧氏空间的定义
定义1 设V实数域R上的线性空间，在V上定义一个二元函数，
( 称为内积，记为： , )
它满足以下四个条件：
(1) ( , ) ( , )
(2) ( k , ) k ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0 ,当且仅当 0 时有 ( , ) 0 这里 , , 是V中任意的向量，k为实数，这样的线性空间V
同构。
欧氏空间 定理1 同构是欧氏空间之间的等价关系。
§3 同构
定理2 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相等。 推论 任意 n 维欧氏空间均与 Rn 同构。
例1 设 1 , 2 , , m 与 1 , 2 , , m 为欧氏空间V的两组向量，
如果
( i , j ) ( i , j ), i , j 1, 2 , , m
(3) ( , ) 1 1 2 2 1 (4) ( , ) 1 1 2 2 (5) ( , ) 3 1 1 5 2 2
例2 设 ( x1 , x 2 , , x n ), ( y1 , y 2 , , y n ) 为Rn中的任意两个
欧氏空间
§2 标准正交基
定义2 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为 正交基，由n个标准正交向量组成的正交基称为标准正交基。 性质2 设 1 , 2 , , n 是n维欧氏空间V中的一组标准正交基，则 (1)
1 ( i , j ) 0 i j i j
行列式等于-1的正交变换称为第二类正交变换。 例1 设 A 为欧氏空间V的一个线性变换，证明：A 是正交变换 的充要条件是 A 保持任意两个向量 与 的距离保持不变，
即
| A A | | |
例2 无限维欧氏空间V中的正交变换不一定是可逆变换。
例3 设 A 是n维欧氏空间V的一个正交变换， 1 , 2 , , n 为V
n
(2) V , 若
k , 则k
i i i 1
i
( , i ), i 1, 2 , , n
(3) , V , 若
k
i i 1
n
i
,
l 则
i i i 1
n
( , )
kl
i 1
n
i i
(4) 一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为 单位矩阵。
欧氏空间
§2 标准正交基
二、标准正交基的求法
例1 把
1 (1, 1, 0 , 0 ), 2 (1, 0 , 1, 0 ), 3 ( 1, 0 , 0 , 1)
化为单位正交的向量组。 例2 设 1 , 2 , , 5 是五维欧氏空间V的一组标准正交基，令
W L ( 1 , 2 , 3 )
( A , A ) ( , )
那么称线性变换 A 为正交变换。
例如：
( x, y, z ) R , A ( x, y, z ) ( x, y, z )
3
是R3上的一个正交变换。
欧氏空间
§4 正交变换
定理1 设 A 是n维欧氏空间 V 中的一个线性变换，则下面 四个命题等价： (1) A 是正交变换； (2) A 保持向量的长度不变； (3) 如果 1 , 2 , , n 是标准正交基，那么 A 1 , A 2 , , A n 也是标准正交基； (4) A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
三、向量的正交
定义4 对欧氏空间V中的两个向量 , , 若内积 ( , ) 0 , 则称
与 正交或垂直，记为：
注意： 零向量与任一向量正交。 例4 在R4中求一单位与下面三个向量
(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), ( 2 , 1, 1, 3 )
( 向量，A=(aij)为n阶实矩阵。证明： , ) A 为Rn的内积
的充要条件是A为正定矩阵。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
内积的简单性质
性质1 ( 0 , ) 0
性质2 ( , ) ( , ) ( , )
性质3 ( , k ) k ( , ) 性质4 1 , 2 , , n , 1 , 2 , , n V
欧氏空间 例4 正交矩阵的特征值为± 1。
§2 标准正交基
例5 奇数阶的正交矩阵A满足|A|>0，则A一定有特征值1。
例6 证明上三角矩阵A必为对角矩阵，且对角线上元素为1或-1。
例7 设A为n阶实非奇异矩阵，证明：A可以分解为A=QR， 其中Q为正交矩阵，R为对角线上全为正实数的上三角矩阵， 并且这种分解是唯一的。
欧氏空间
§2 标准正交基
二、标准正交基的求法
定理1 n维欧氏空间V中任一个正交向量组都可以扩充为一组 正交基。 定理2 对于n维欧氏空间V中任意一组基 1 , 2 , , n 都可以找 一组标准正交基 1 , 2 , , n , 使得
L ( 1 , 2 , , i ) L ( 1 , 2 , , i ), i 1, 2 , , n
的一组基，此基下的Gram矩阵为G，A 在这组基下的矩阵是 A，
则 A'GA=G 。
欧氏空间
A 2 ( , )
§4 正交变换
例4 设 是欧氏空间V中的一个单位向量，定义变换： 证明：1) A 是正交变换(这样的正交变换称为镜面反射)；
2) 当V是有限维空间时，A 是第二类的；
( 1 , 1 ) ( 2 , 1 ) ( , ) m 1 ( 1 , 2 ) ( 2 , 2 ) ( m , 2 ) ( 1 , m ) ( 2 , m ) ( m , m )
称为欧几里得空间，简称为欧氏空间。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
例1 设 ( 1 , 2 ), ( 1 , 2 ) 为二维实空间R2中的任意两个 向量，问：R2对以下规定的内积是否构成欧氏空间？
(1) ( , ) 1 2 2 1
(2) ( , ) ( 1 2 ) 1 ( 1 2 2 ) 2
证明：当且仅当 | | 0 时， 1 , 2 , , m 线性无关。
欧氏空间
§2 标准正交基
§2 标准正交基
一、标准正交基的定义与性质
定义1 欧氏空间V中一组两两正交的非零向量称为V的一个
正交向量组。
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，则这样的向 量组称为标准正交向量组。 性质1 欧氏空间V中的正交向量组必定线性无关。 注： (1) 单个非零向量也称为一个正交向量组。 (2) 线性无关的向量组不一定是正交向量组。
欧氏空间 正交变换的性质： (Hale Waihona Puke Baidu) 正交变换保持向量夹角不变；
§4 正交变换
(2) 正交变换是欧氏空间到自身的一个同构映射； (3) 正交变换的乘积仍是正交变换；
(4) 正交变换是可逆的，其逆变换仍是正交变换；
欧氏空间
§4 正交变换
二、正交变换的分类
行列式等于1的正交变换称为第一类正交变换或旋转变换；
正交。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
四、度量矩阵
矩阵
A ( a ij ) n n ( 1 , 1 ) ( 2 , 1 ) ( , ) n 1 ( 1 , 2 ) ( 2 , 2 ) ( n , 2 ) ( 1 , n ) ( 2 , n ) ( n , n )
3) 设V为n维欧氏空间，正交变换 A 有特征值1，且属于特征 值1的特征子空间V1的维数为n-1，则 A 为镜面反射。 例5 1) 设 , 是欧氏空间V中的两个不同的单位向量，证明： 存在一个镜面反射 A 使得 A 2) 证明：n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表示为一系列
镜面反射的乘积。
欧氏空间
§3 同构
§3 同 构
定义1 设V与W都是实数域R上的欧氏空间，如果存在V到W 的双射 , 对 , V , k R , 满足 (1) ( ) ( ) ( ) (2) ( k ) k ( ) (3) ( ( ), ( )) ( , ) 则称映射 是欧氏空间V到W的同构映射，称欧氏空间V与W
定义3 n阶实矩阵 A 满足 A'A=E，则称 A 为正交矩阵。
定理3 在欧氏空间V中，标准正交基到标准正交基的过渡矩阵 是正交矩阵。反之，若第一组是标准正交基，过渡矩阵是正
交矩阵，则第二组基也是标准正交基。
欧氏空间
§2 标准正交基
定理4 设A=(aij)是n阶实矩阵，则下列几个结论等价： (1) A是正交矩阵，即 A'A=E； (2) AA'=E； (3) A的列向量组是标准正交向量组； (4) A的行向量组是标准正交向量组； (5) A-1=A。
则子空间V1 L ( 1 , 2 , , m ) 与 V 2 L ( 1 , 2 , , m ) 同构。
欧氏空间
§4 正交变换
§4 正交变换
一、正交变换的定义与性质
定义1 设 A 是欧氏空间 V 中的线性变换，如果它保持向量的
内积不变，即对 , V , 都有
其中
1 1 5 , 2 1 2 4 , 3 2 1 2 3
求W的一组标准正交基。
欧氏空间 例3 在R[x]4中定义内积为：
( f , g)
§2 标准正交基

1
1
f ( x ) g ( x ) dx
求R[x]4的一组标准正交基。
k 1 , k 2 , , k n , l1 , l 2 , , l n R
有
( k i i ,
i 1
n
l
i 1
n
j
j)
kl
i 1 j 1
n
n
i j
( i , j )
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
二、向量的长度与夹角
| 定义2 对 V , 向量 的长度定义为： | ( , )