《抽样技术》第六章-不等概率抽样

j i N
ij
1 3. ij n n 1 2 i 1 j i
N
最感兴趣的是πi与单元大小Mi成比例的情形。若仍 记Zi=Mi/M0，则有： πi=nZi 这种不放回的与(单元)大小成比例的概率抽样称为 πPS抽样。 严格的πPS抽样实施起来非常复杂。事实上，只有 当n=2时，才有一些简单且实用的方法。对于n>2， 严格的πPS抽样都相当复杂。对于大的n，有时根本 不可能。除了实施方面的原因外，当n大时，πij的计 算也极其困难，而这对于方差估计是不可少的。
此时每个单元在每次抽样中的入样概率与单元大小 成比例，称这种特殊的多项抽样为(放回的)与大小 成比例的概率抽样，简称PPS抽样。
i 1
二、多项抽样的实施方法
1.代码法
2.拉希里法
1.代码法

例6.1 设某个总体有N＝10个单元，欲用多项抽样从中抽取n ＝5个单元，给定的入样概率{ Zi }。令Mi= 100Zi，则其皆为 整数，对Mi累加，赋以每个单元的代码列在下表中。
1.布鲁尔(Brewer)方法

该方法要求对每个i，都满足Zi 。两个样本单元采
用逐个抽取法抽取：第一个单元按与
Zi 1 Zi 1 2Zi
1 2
成比
例的概率抽取；第二个单元则在剩下的N−1个单元
中按与Zj成比例的概率抽取。
2.德宾(Durbin)方法

两个样本单元仍用逐个抽取法抽取。第一个样本单
在不等概率抽样中，每个单元都被赋予一个大小不 等的入样概率，而这个概率通常与某个辅助变量有 关，如表示单元规模（大小）的某种度量。 不等概率抽样的常见应用情形： 总体单元规模相差很大。 整群抽样和多阶抽样中，若初级单元相差很大。 系统抽样。 不等概率抽样的主要优点：可以大大提高估计的精 度，减少抽样误差。一个必要条件：对总体中的每 一个单元，都要已知一个辅助量用以确定其入样概 率或两个单元同时入样的概率。

二、霍维茨—汤普森估计量及其性质

对不放回的不等概率抽样，霍维茨(Horvitz)与汤普 森(Thompson)提出了以下总体总和Y的估计量：
ˆ yi Y HT
i 1 n
i
ˆ 完 对于πPS抽样，由于πi=nZi， 与相应PPS抽样的Y HH 全一致。 ˆ 是Y的无偏估计，且它的方 若πi>0, i=1,2,⋯,N，则Y HT 差为：
三、汉森—赫维茨估计量及其性质


汉森—赫维茨(Hansen-Hurwitz)提出的对总体总和Y的估计如 下： n yi 1 ˆ YHH n i 1 zi ˆ 具有如下性质：若所有的Zi>0， 汉森一赫维茨估计量 Y HH i=1,2,⋯,N，则 ˆ 1．E Y ，即它是无偏的； HH Y 2 N Yi 1 ˆ 2. V YHH Zi Y n i 1 Zi 3.若n>1，则 2 n yi ˆ 1 2 ˆ s YHH YHH n n 1 i 1 zi ˆ 的无偏估计。 是V Y HH
《抽样技术》第六章
王学民 编
第六章 不等概率抽样
§6.1
概述 §6.2 放回不等概率抽样 §6.3 不放回不等概率抽样
§6.1 概述
S2 V (y ) (1 f ) n N 2 1 2 S Yi Y N 1 i 1

当Y1,Y2, ⋯,YN之间的大小相差很大时，S2也将很大。 此时可考虑分层，但更为精细的方法是使用不等概 率抽样。

§6.2 放回不等概率抽样
一、多项抽样与PPS抽样
二、多项抽样的实施方法 三、汉森一赫维茨估计量及其性质
一、多项抽样与PPS抽样

多项抽样 总体：Y1, Y2, ⋯, YN
入样概率：Z1, Z2, ⋯, ZN
Z
i 1
N
i
1
N
放回抽样n次，共抽到n个单元。

M0 Mi ， 取Zi=Mi/M0，其中Mi是第i个单元的大小，
N Zj i Zi Zi 1 1 Z j i 1 Z j j i j N Zj Zi Zi 1 1 Z 1 Z j 1 j i N
Z j Zi
此时，πi不与Zi成正例。



例6.2

下表是某系统全部N＝36个单位上一年职工人数Xi及 当年职工人数Yi的数据。以Xi为单位大小Mi的度量 ，对单位进行PPS抽样，n＝6，估计全系统当年职 工总人数Y，并与简单随机抽样作精度比较。
§6.3 不放回不等概率抽样
一、包含概率与πPS抽样 二、霍维茨—汤普森估计量及其性质 三、n=2的严格πPS抽样

一、包含概率与πPS抽样
在不放回抽样中，每个单元Yi被包含到样本的概率 πi=P(i)及任意两个单元(Yi, Yj)都包含到样本的概率 πij=P(i,j)通称为包含概率。抽取了n个单元的样本。 包含概率πi与πij满足以下性质：

1.
2.

i 1
N
N
i
n
n 1 i

ˆ 的无偏估计。 也是 V Y HT
i j ij yi y j ˆ YHT ij i 1 j i i j
n

2
三、n=2的严格πPS抽样
1.布鲁尔(Brewer)方法
2.德宾(Durbin)方法

第一个样本单元以概率Zi抽取，设抽到的是单元i； 第二个样本单元按与Zj成比例的概率（即Zj/(1−Zi)） 抽取，则

在[1,100]内产生5个随机数：04，73，25，49，82。
2.拉希里法
* M max M i ，每次抽取一个[1, N]范围内的随 令 1i N
机数i及[1, M*]范围内的随机数m，若Mi≥m，则第i个 单元入样；否则重抽一组(i, m)。 在例6.1中，N＝10，M*＝24。设[1,10]中的一个随机 数为4，[1,24]中的随机数为9，由于M4＝6<9，故重 抽。设第二次抽到的一组随机数为(7,15)，则仍然不 满足要求，还需要抽。若再次抽到的随机数组为 (2,8)，则由于M2＝10>8，故第2个单元被抽中。如 此重复直到抽到n个单元(允许重复)为止。 拉希里法适用于N很大的情况。

ˆ V Y HT
i 1

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N
1 i
i
ij i j Yi 2 YY i j i 1 j i i j
2 N N

又有
Yi Y j ˆ V YHT i j ij i 1 j i j i
元以概率Zi抽取，设抽到的是单元i；第二个样本单
1 1 Z 元则按与 j 1 2Z 1 2Z i j 成比例的概率抽取。

德宾方法与布鲁尔方法是等价的。

N
N
2

若πi>0, πij>0(i, j=1,2,⋯,N, i≠j)，则
ˆ s Y HT
2 i 1

s
2 YGS
n
1 i
ˆ 的无偏估计。 是 V Y HT
i2
n
ij i j y 2 yi y j i 1 j i i j ij
2 i n n