备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题29常见不等式的解法

专题29 常见不等式的解法

【热点聚焦与扩展】

高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算.相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大.本专题以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路.

（一）常见不等式的代数解法

1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠

可考虑将左边视为一个二次函数()2

f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：

图象与x 轴的交点 2、高次不等式

（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >） ①求出()0f x =的根12,,x x

② 在数轴上依次标出根

③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分 ()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分

（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式

3、分式不等式

（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为

()

()

f x

g x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠ （3）对形如

()

()

0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()0

f x

g x g x ⋅>⎧⎪⎨

≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解

4、含有绝对值的不等式 （1）绝对值的属性：非负性

（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方

（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同

（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法：

（1）先讲一个不等式性质与函数的故事

在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：a b a c b c >⇒+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ），将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则

()(),a c f a b c f b +=+=，因为()f x x c =+为增函数，所以可得：()()a b f a f b >⇔>，即

a b a c b c >⇒+>+成立，再例如：0,0,c ac bc

a b c ac bc

>>⎧>⇒⎨

<<⎩ ，可设函数()f x cx =，可知0c >时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()()0,0,c f a f b a b c f a f b >>⎧⎪>⇒⎨<<⎪⎩

由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性.增函数→不变号，减函数→变号

在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：a b >，

则11,a b 的关系如何？设()1

f x x

=，可知()f x 的单调减区间为()(),0,0,-∞+∞，由此可判断出：当,a b 同号时，11

a b a b

>⇒<

（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是x

y a =还是()log 0,1a y x a a =>≠，其单调性

只与底数a 有关：当1a >时，函数均为增函数，当01a <<时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：

1a >时，x y >

log log (,0)x y

a a a a x y x y ⇔>⇔>>

01a <<时，x y >

log log (,0)

x y

a a a a x y x y ⇔<⇔<>

进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了 （3）对于对数的两个补充

① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，

()()()()()()

0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪

>⇒>⎨⎪

>⎩

② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁 6、利用换元法解不等式

（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题.

（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围.即若换元，则先考虑新元的初始范围 （3）利用换元法解不等式的步骤通常为：

①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式 ③解出新元的范围

④在根据新元的范围解x 的范围 （二）构造函数解不等式

1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则

[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，

()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）

3、导数运算法则： （1）()()()

()()()()'

'

'f x g x f x g x f x g x =+