清华大学随机过程作业1

清华大学电子工程系版权所有
参考文献
[1] 陆大纟金. 随机过程及其应用. 清华大学出版社, 1986. [2] 陆大纟金，张灏. 随机过程及其应用（第二版）. 清华大学出版社,
1 概率论与随机过程 (2) ，homework1_intro © 清华大学电子工程系 1. 袋中装有 m 只正品硬币， n 只次品硬币（次品硬币两面都有国徽） 。在袋中任取一只， 将 它掷 r 次。已知每次都得到国徽，问取得的硬币是正品的概率。 2. 考虑一个如下定义的离散时间随机过程 X (n) , n = 1, 2, · · · 。无限次抛掷一枚硬币，对 n = 1, 2, · · · ，如果第 n 次抛掷结果为正面，则 X (n) = (−1) ；如果第 n 次抛掷结果为 反面，则 X (n) = (−1)
n+1 n
。
(1) 试画出随机过程 {X (n)} 的典型样本轨道。 (2) 求随机过程 {X (n)} 的一维概率分布列。 (3) 对两时刻 n, n + k ，求 X (n) 和 X (n + k ) 的两维联合分布列，n = 1, 2, · · · , k = 1, 2, · · · 。 3. 质点在直线上做随机运动，即在 t = 1, 2, 3, · · · 时质点可以在 x 轴上往右或往左做一个 单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为 p，往左移动一个单位距离的 概率为 q ，即 P {ξ (i) = +1} = p，P {ξ (i) = −1} = q ，p + q = 1，且各次游动是相互统 ∑n 计独立的。经过 n 次游走，质点所处的位置为 ηn = η (n) = i=1 ξi 。 (1) 求 {η (n)} 的均值函数。 (2) 求 {η (n)} 的自相关函数 Rηη (n1 , n2 )。 (3) 给定时刻 n1 , n2 ，求随机过程 {ξ (n)} 的二维概率密度函数及相关函数。 4. ([1] 第一章习题 7) 设有随机过程 {ξ (t) , −∞ < t < ∞}，ξ (t) = η cos (t)，其中 η 为均匀 分布于 （0,1） 间的随机变量， 求 {ξ (t)} 的自相关函数 Rξ (t1 , t2 )， 自协方差函数 Cξ (t1 , t2 )。 5. ([1] 第一章习题 3) 设有一随机过程 ξ (t)，它的样本函数为周期性的锯齿波。图 1 画出了 两个样本函数图。各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不
x

W
$
W
D
t
x

7
W
$
W
t
E
7
图1 同。设在 t = 0 后的第一个零值点位于 τ0 ，τ0 是一个随机变量，它在 (0, T ) 内均匀分布，
清华大学电子工程系版权所有
2 即 1/T fτ0 (t) = 0 (0 ≤ t ≤ T ) (其他值)
若锯齿波的幅度为 A，求随机过程 ξ (t) 的一维概率密度。 6. 设有随机过程 ξ (t) = A cos(ωt + Θ)，其中相位 Θ 是一个均匀分布于 (−π, π ) 间的随机 变量，判断 ξ (t) 是否为严平稳过程。 7.（[2] 第一章习题 1) 设随机过程 ξ (t) = V sin ωt，其中 ω 为常数，V 为服从 (0, a) 内均匀 分布的随机变量。 (1) 画出 ξ (t) 的某一条样本轨道。 ( ) ( ) ( 5π ) (2) 求 ξ (0)，ξ 4π ，ξ 2π ，ξ 4 的概率密度。 ω ω ω