《电路原理》第五版习题解答,邱关源,罗先觉(第七章)

先由t =0-的电路求出 uC ( 0– ) 、iL ( 0– )； 根据换路定律，求出独立变量初始值 uC( 0+) 和iL ( 0+) ； 将电容用电压源代替，其值为uC(0+)，将电感 用电流源代替，其值为iL(0+)，画出0+时刻等 效电路图; 根据0+时刻等效电路图，用线性稳态电路的 分析方法求出所需要的非独立变量初始值．
R0 6
2Ω
i1 3Ω
4Ω
iL 6Ω
uL 6H
Ro i
+
L uL
–
零输入响应为：
t
iL(t) iL(0 )e
2et A
(t 0)
uL(t)
L diL dt
12et V
(t 0)
i1 (t )
1 2
iL(t)
et A
(t 0)
u12 (t) 24 4i1(t) 24 4etV (t 0)
(t 0)
得到
uC (t) 6e20tV (t 0)
iC (t)
C
duC dt
U0 R
t
e
6 10 103
e 20t m A
0.6e20tmA (t 0)
iR(t)
3
3
6
iC (t )
1 3
0.6e 20t m A
0.2e 20t m A
RL电路的零输入响应
电路如下图
K1
iR
电容电路
(t = 0)
i
R+
Us
K
uC
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uC = 0
K接通电源后很长时间，电容 C 充电完毕，电路达到新的稳定
状态
(t →)
i
i = 0 , uC= Us
Us
R+
uC
C
uc
US
US
–
R?
i
前一个稳定状态 0
t t1 新的稳定状态
有一过渡期
过渡状态
电感电路
i1 R1 3KΩ
K
பைடு நூலகம்
i1(0+) 3KΩ
u1
iC
i2
u1(0+)
iC(0+)
i2(0+)
US
C uC R2 u2 US
uC(0+)
u2(0+)
10V 10μF
2KΩ
10V
2KΩ
uC 0
10V
u1 (0
)
US
uC
(0
)
0
0+时刻等效电路
注 : u1(0 ) 0
i1(0 ) u1(0 ) / R1 0
大
小 → 过渡过程时间短
电压初值一定：
0 小 t
C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大 R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小
放电时间长
t
uC (t ) U0 e 当 t 时
uc I0
0 t1 t2
t
uC U0e1 36.8%U0
时间常数 等于电压Uc衰减到初始值U0的
36.8%所需的时间。
iR
I0
2
iL
iL
L
R L uL
R
(a)
(b)
电感电流原来等于电流 I0，电感中储存一定的 磁场能量，在 t=0 时开关由1端倒向2端，换路后的
电路如图(b)所示。
换路后，由KVL得
RiL uL 0
代入电感VCR方程
iL L uL
uL
L
diL dt
得到以下一阶线性齐次微分方程
L R
diL dt
如图(b)所示。
R0 1 2
iR
K
U0
C uC R
C uC
R uR
由换路定理得：
uC (0 ) uC (0 ) U0
iR
C uC
R uR
电阻的电流为：iR (0 )
U0 R
由KVL得： uR (0 ) uC (0 ) 0
由KCL和VCR得：
uR
RiR
RC
duC dt
RC
duC dt
uC
0
(t 0)
这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。
其通解为:
uC (t) Ae pt
由式:
RC duC dt
uC
0
得到特征方程 :
RCp 1 0
其解为:
p － 1 RC
称为特征根(电路的固有频率)。
于是电容电压变为:
uC (t)
Ae pt
t
Ae RC
(t 0)
A是待定常数，由初始条件确定。
i1(0 ) 0
u2(0 ) uC (0 ) 10V
u2 (0 ) 0
i2(0 ) u2(0 ) / R2 5mA iC (0 ) i1(0 ) i2 (0 ) 5mA
i2 (0 ) 0 iC (0 ) 0
例2 t=0时闭合开关，试求开关转换前和转换后瞬间 的电感电流和电感电压。
iL
0
这个微分方程其通解为
Rt
iL( t ) Ke L
(t 0)
iR R uR
代入初始条件iL(0+)=I0求得
K I0 iL(0 )
令
L ，则电感电流和电感电压的表达式为 R
-t
iL(t) iL(0 )e
-t
I0e (t 0)
uL(t)
L diL dt
- Rt
RI0e L
(t 0)
例1 t=0 时将开关K闭合，t<0时电路已达稳态，试求 各元件电流、电压初始值．
i1 R1 3KΩ
u1
iC
K i2
US
C uC R2 u2
10V 10μF
2KΩ
解
t<0时电路已达稳态，电容相当于开路．
uC 0 US 10V
uC 0 uC 0 10V
t=0+的等效电路如下图(b)所示．
当t=0+时上式变为:
t
uC (0 ) Ae RC A
根据初始条件 :
uC (0 ) uC (0 ) U0
求得:
A U0
uC (t)
U 0e pt
t
U0e RC
(t 0)
电流方面：
iC (t)
C
duC dt
U0 R
-t
e RC
iR (t) iC (t)
U0
-
e
t RC
R
t
uC (t) U0e RC
动态过程时间(暂态时间)的确定
理论上认为 t 、uC 0电路达稳态 . 工程上认为 t (3~ 5) 、uC 0电容放电基本结束。
e t随时间而衰减
t
2 3 4 5 6
t
e
e1 e2 e3
e4 e5 e6
uC 0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
路瞬间储能元件的能量也不能跃变．即
WC
1 2
CuC2
,
WL
1 2
LiL2
uC，iL不能跃变．
t = 0 : 表示换路时刻 (计时起点)；
t = 0- : 表示换路前的终了瞬间；
t = 0+ :表示换路后的初始瞬间． 换路定律：换路时电容上的电压，电感上的电流不
能跃变．
uC (0 ) uC (0 )
uL
L
di dt
us（t）
R+
uL L
Ri
L
di dt
uS (t)
–
若以电感电压为变量：
R L
uLdt uL uS (t)
R L
u
L
duL dt
duS (t) dt
一阶
电路
有源 电阻 电路
一个 动态 元件
Ri uL uc uS (t)
i C duc dt
uL
L
di dt
＋
uS（t） －
2A
iL(0+)
i1 uL(0+)
R2 R1
0+时刻等效电路
二、 一阶电路的零输入响应
定义：电路的输入为零，响应是由储能元件 所储存的能量产生的，这种响应称为零输入 响应(source-free response )
主要内容： RC电路的零输入响应 RL电路的零输入响应．
RC电路的零输入响应
图(a)中的开关原来连接在1端，电压源U0通过 电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容 电压已经达到U0。在t=0时开关迅速由1端转换到2 端。已经充电的电容脱离电压源而与电阻R并联，
(t >0)
i
R+
应用KVL和电感的VCR得： us（t）
uC C
–
Ri uc uS (t)
i C duc dt
RC
duc dt
uc
uS
(t)
若以电流为变量：
Ri 1 C
idt uS (t)
R di i duS (t) dt C dt
应用KVL和电感的VCR得：
(t >0)
i
Ri uL uS (t)
2 0
电阻吸收（消耗）能量：
Ri
+
L uL
–
WR
i 2 Rdt
0
0
(
I
0e
L
t /
R
)2
Rdt
I
2 0
R
0
2t
e L/ R dt
I
2 0
1
2
R(
LI0
L
2
/ 2
R
e
2 Rt L
)
|0
例1 电路如图所示，K合于①已很久， t=0 时K由① 合
向②，求换路后的
iL( t ), uL( t )和u12( t ).
LC
d 2uc dt 2
RC
duc dt
uc
uS (t)
(t >0)
i
R+
－
uC＋
uL
–
L
C 二阶电路
结论：
描述动态电路的电路方程为微分方程； 动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数.
动态电路的分类：
一阶电路: 二阶电路:
一阶电路中只有一个动态元件,描述电 路的方程是一阶线性微分方程。
dx a1 dt a0 x e(t) t 0
解
24V
① K 2Ω
②
i1 3Ω
4Ω
iL 6Ω
换路前电路已稳定， 4Ω 由换路定律可得：
uL 6H
24
6
iL(0 ) iL(0 ) 4 2 2 3 6 2A
换路后电路为零输入响应． 从L两端视入的等效电阻为
(2 4) 6 R0 3 (2 4) 6 6
时间常数为：
L 6 1s
解 在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此
得到
uC (0 ) uC (0 ) 6V
将连接于电容两端的电阻网络等效于一个电阻，
其电阻值为
Ro
(8
6 6
3 )kΩ 3
10kΩ
得到图(b)所示电路， 其时间常数为
R0C
10103 5106
5102 0.05s
由
uC (t)
t
uC (0 )e
K 2A
L iL i1
R1=1Ω R2=1Ω
解
开关闭合前电路稳态，电感相当于短路．
iL(0 ) i1(0 ) 1A iL(0 ) iL(0 ) 1A
t=0时闭合开关， 0+时刻等效电路如下图(b)所示．
所以:
L iL
uL(0 ) R2iL (0 )
K 2A
i1
R1=1Ω
R2=1Ω
1
注： uL( 0 ) 0
电路的零输入 响应曲线
iR
C uC
R uR
iR
O
iC
uC
t
总结：
电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；
令 =RC， 具有时间的量纲，称它为RC电路的时间
常数， 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。
的物理意义
大 → 过渡过程时间长
uc
U0
第七章
一阶电路
(First-Order Circuits )
本章重点
动态电路方程的建立及初始条件的 确定
一阶电路的零输入响应、零状态响 应和全响应求解
主要内容
动态电路的方程和初始条件 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 一阶电路的阶跃响应 一阶电路的冲激响应
一、动态电路的方程和初始条件
iL (0 ) iL (0 )
4. 初始条件(initial condition) 概念：
初始条件：变量及其各阶导数在t=0+时的值
独立变量：变量及其初始值不能用其它变量 和初始值求出．如，uC和iL
非独立变量：变量及其初始值可以用独立变 量和初始值求出．指电路中除 uC和iL的其他变量．
确定初始值的方法：
二阶电路中有二个动态元件,描述电路
的方程是二阶线性微分方程。
a2
d 2x dt 2
a1
dx dt
a0 x
e(t )
t 0
高阶电路: 电路中有多个动态元件，描述电路的方
程是高阶微分方程。
an
dnx dt n
an1
d n1x dt n1
a1
dx dt
a0 x
e(t )
t0
3．换路定律
由于物体所具有的能量不能跃变，因此，在换
小结
一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t )
K未动作前，电路处于稳定状态
(t = 0)
i
i = 0 , uL = 0
Us
K
R+
K接通电源后很长时间，
uL L 电路达到新的稳定状态，电感
–
视为短路
(t →)
i
uL= 0, i=Us /R
Us
R+
uL
L
i
US
US/R
–
?
UL
有一过渡期 前一个稳定状态 0
tt11 新的稳定状态 t
过渡状态
2．动态电路的方程
能量关系
电容不断释放能量被电阻吸 收,直到全部消耗完毕.
+ uC－ C R
设uC(0+)=U0
电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：
1 2
CU
2 0
WR
i2Rdt
0
(U
0
e
t RC
)
2
Rdt
0R
U
2 0
2t
e RC dt
R0
U
2 0
R
(
RC 2
e
2t RC
) |0
1 2
CU
2 0
例1 已知电容电压uC(0-) =6V。t=0闭合开关，求t > 0的电容电压和电容电流。
1．动态电路(dynamic circuits)
定义：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
特点：当动态电路状态发生改变时（换路）需要经 历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 个变化过程称为电路的过渡过程。
内因：电路中含储能元件L，C； 产生原因：
外因：电路换路，即开关通断、电源变 化、元件参数变化等。
电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
iL I0
uL
0 2 3 t
0 2 3
t -RI0
RL放电电路的波形 响应与初始状态成线性关系，衰减快慢与τ有关；
大 → 过渡过程时间长 小 → 过渡过程时间短
能量关系：
电感不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕.
电感放出能量：
WL
1 2
LI