03动量与角动量习题解答教案资料
第一册第三章动量与角动量
时 ∑ F ix = 0时 ,
m 1 v 1 x + m 2 v 2 x + L + m n v nx = 常 数
时 ∑ Fiy = 0时 ,
时 ∑ F iz = 0时 ,
m 1 v 1 y + m 2 v 2 y + L + m n v ny = 常 数
m 1 v 1 z + m 2 v 2 z + L + m n v nz = 常 数
M L
解：（1）链条在运动过程中，各部分的速度、 ）链条在运动过程中，各部分的速度、 加速度都相同。 加速度都相同。
o
x
v F
研究对象：整条链条 研究对象： 建立坐标： 建立坐标：如图 M v v (= xg ) 受力分析： 受力分析： F 运动方程： 运动方程：
M L xg dv = M dt
2
L
一段时间内，质点所受的合外力的冲量 冲量等 在t1到t2一段时间内，质点所受的合外力的冲量等 动量的增量。 于在这段时间内质点动量的增量 于在这段时间内质点动量的增量。 几点说明： 几点说明： (1)冲量的方向： (1)冲量的方向： 冲量的方向 v v 的方向， 冲量 I 的方向一般不是某一瞬时力 Fi 的方向，而是所
例子：见书 例子：见书P137例3.3
12
方向， 例1. 力 F = 3 − 2t ，沿z方向，计算 =0至t =1s 方向 计算t 至 内，力对物体的冲量。 力对物体的冲量。
解： Fz = F = 3 − 2t
I z = ∫ Fz dt = ∫ (3 − 2t )dt = 2( N ⋅ s ) t
I y = ∫ Fy dt
t1
t2
I z = ∫ Fz dt
第3章_动量与角动量
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
第3动量与角动量
写成：
t2 Fidt F外dt t2 i t1 t1
将所有的外力 共点力相加 F 2 F
c F3
1
17
t2 ( Fidt f idt ) t2 i t1 t1
(Pi Pi 0 )
i
再看内力冲量之和
I P
积分形式
6
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y I z Fz dt mv2 z mv1z
t1 t1 t2
t1 t2
说明 某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
7
讨论
I P
x
mv1
O
mv2
y
11
解
由动量定理得：
Fx t mv2 x mv1x x mv cos (mv cos ) mv2 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y y mv sin mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N t 方向与 Ox 轴正向相同． F' F
(2) ft mv mv 0 4.7 N s (设v 0 反响为正方向) 负号表示冲量方向与 相反
v0
25
2.静水中停着两条质量均为M的小船，当第一条船中的一个质量为m的人以水平速 v 度 （相对于地面）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的阻 力）． 解：以人与第一条船为系统，因水平方向合外力为零。所以水平方向动量守恒， 则有： Mv1 +mv =0 v1 =-mv/M 再以人与第二条船为系统，因水平方向合外力为零。所以水平方向动量守恒， 则有：mv = (m+M)v2 v2 =mv/(M+m)
三第3讲 动量与角动量1-2010
v v
dm
v F
m
x
11
以m和dm 为研究系统 t 时刻水平总动量为 mv +dm⋅ 0 t+dt 时刻 增量
= mv
mv + dm⋅ v = (m+ dm)v
dp = (m + dm)v − mv = dm⋅ v
Fdt = dp = dm⋅ v
根据动量定理， 根据动量定理，
dm ∴F = v = 500×3 =1.5×103 N dt
16
静止的原子核衰变时辐射出一个电子和一个中微子后成为 例1 静止的原子核衰变时辐射出一个电子和一个中微子后成为 一个新的原子核，已知电子的动量为1.2×10-23kg.m/s,中微子的 一个新的原子核，已知电子的动量为 中微子的 动量为6.4×10-23kg.m/s，且它们的运动方向相互垂直 动量为 ，且它们的运动方向相互垂直. 求:新原子核的动量的值和方向. 新原子核的动量的值和方向. 解：原子衰变前后系统动量守恒
t
t +dt
火箭体质量为M 火箭体质量为
r 速度 V
M + dM
喷出的气体 dm
r r 速度 u +V
r r V +dV
v pe
v v v pe + pν + pN = 0
v v 2 2 pe 与 pν 垂直： pN = pe + pν 垂直： 因为
v pN
θ
(
)
α
1/ 2
v pν
pe 1.2×10−23 所以： 所以： α＝ = = 61.9o arctg 6.4×10−23 pν
θ＝ o－ o =118.1o 180 61.9
《大学物理AI》作业 No.03 角动量、角动量守恒(参考解答)
为为零零。；（（bc））不不正正确确； ；角当动参量考还点与不参在考运点动的直选线择上有时关，，质只点要相参对考于点参不考选点在的运位动矢直r 是线在上变，化角动的量，就因可此能角不动
量
L
r
mv
也是会变化的；（d）不正确；作匀速率圆周运动的物体，其合外力指向圆心，属于有心
力，以圆心为参考点，质点的角动量守恒，角动量大小和方向都不改变。
端的水平轴在竖直平面内自由摆动，现将棒由水平位置静止释放，求：
（1）细棒和小球绕 A 端的水平轴的转动惯量，
A
B
（2）当下摆至 角时，细棒的角速度。
m
解：（1） J
J1
J2
ml 2
1 ml 2 3
4 ml 2 3
（2）根据转动定理： M
J
d dt
J
d d
d dt
J
d d
1、理解质点、质点系、定轴转动刚体的角动量的定义及其物理意义； 2、理解转动惯量、力矩的概念，会进行相关计算； 3、熟练掌握刚体定轴转动定律，会计算涉及转动的力学问题； 4、理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴转动刚体的角动量定理，熟练进行有关计算； 5、掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
第3章动量角动量
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
大学物理第三章动量与角动量分解
mg=Mgx/L
所以
F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
19
例2:(page72)一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下通过,每
秒钟落入车厢的煤为Δ m=500kg.如果使车厢的速率保持不
变,应用多大的牵引力拉车厢?
v
dm m F
20
例3:质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动.一质量 为m的小球水平向右飞行,以速度 v 1 (相对地面)与滑块斜 面相碰,碰后竖直向上弹起,速度为 v (相对地面).若碰撞
F 可分解为两个分量 F//
与水对船的垂直阻力相平衡 与船平行,并指向船前进的方 向 10
例4.一篮球质量m = 0.58kg,从h = 2.0m的高度下落,到达 地面后以同样速率反弹,接触地面时间 t 0.019 s 。 求：篮球对地面的平均冲力 F 球对地
解：篮球到达地面的速率为：
f f’
m1
m2
F2
碰撞后两质点的速度分别为
1和 2
相碰时的相互作用内力为 f 和f
同时受系统外其它物体的作用外力为 F1和F 2
d P1 对质点m1: F1 f dt d P2 对质点m2:F2 f dt
两式相加,得
13
f f
d P1 d P2 F1 F2 f f dt dt
p 2mv 篮球接触地面前后动量改变（大小）为：
由动量定理有： F 地对球 t p 2mv 由牛顿第三定律有： F 球对地 F 地对球
v 2 gh 2 9.80 2 6.26 m/s
2mv 2 0.58 6.26 t 0.019 3.82 10 2 N
03第三章 动量与角动量作业答案
第三次作业（第三章动量与角动量）一、选择题［A］1.（基础训练2）一质量为m0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图3-11(A) 保持静止．(B) 向右加速运动．(C) 向右匀速运动．(D) 向左加速运动．【提示】设m0相对于地面以V运动。
依题意，m静止于斜面上，跟着m0一起运动。
根据水平方向动量守恒，得：m V mV+=所以0V=，斜面保持静止。
［C］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率为v，圆半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为(A) 2m v．(B) 22)/()2(vv Rmgmπ+(C) v/Rmgπ(D) 0．【提示】22TGTI mgdt mg==⨯⎰，而vRTπ2=［C ］3．（自测提高1）质量为m的质点，以不变速率v沿图3-16正三角形ABC的水平光滑轨道运动。
质点越过A点的冲量的大小为(A) m v．(B) ．(C) ．(D) 2m v．【提示】根据动量定理2121ttI fdt mv mv==-⎰，如图。
得：21I mv mv∴=-=[ B] 4.（自测提高2）质量为20 g的子弹，以400 m/s的速率沿图3-17所示的方向射入一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆线长度不可伸缩。
子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为(A) 2 m/s．(B) 4 m/s．(C) 7 m/s ．(D) 8 m/s．【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒：2sin30()mv l M m lV︒=+其中m为子弹质量，M为摆球质量，l为摆线长度。
解得：V=4 m/s（解法二：系统水平方向动量守恒：2sin30()mv M m V︒=+)图3-11图3-17二、填空题1、（基础训练7）设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝18N s ⋅．【提示】2222(63)(33)18I Fdt t dt t t N s ==+=+=⋅⎰⎰2．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船。
3 动量与角动量
∵ ∆rc =
即
∑ m ∆r
i i
i
m
∴ ∆ xc =
∑ m ∆x
i i
i
m
=0
m
m∆x + M ∆X = 0
而 ∆x′ = − R
∵ ∆x = ∆x′ + ∆X
Μ
mR ∴ ∆X = ( M + m)
x
例3.3：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量 ， ：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量M， 纸被拉动时与球的摩擦力为 F，求：t 秒后球相对桌面 ， 移动多少距离？ 移动多少距离？ y 解：
第三章 动量与角动量
§3.1 冲量与动量定律 §3.2 质点系的动量 §3.3 动量守恒定理 §3.4 火箭飞行原理（自学） 3.4 火箭飞行原理（自学） §3.4 质心 §3.5 质心运动定理 §3.6 质点的角动量 §3.7 角动量守恒定理
§3.1 冲量与动量定律
——力对时间的积累效果 力对时间的积累效果 力对时间的积累， 力对时间的积累，
I x = ∫ Fx dt = mv2 cos 30 − (−mv1 cos 45 ) = Fx ∆t I y = ∫ Fy dt = mv2 sin 30 −mv1 sin 45 = Fy ∆t
∆t = 0.01s v1 = 10m/s v2 = 20m/s m = 2.5g
Fx = 6.1N F y = 0.7N
的第一颗人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动， 例 3.5 的第一颗人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，地球的 中心O为该椭圆的一个焦点 已知地球的平均半径R=6378km， 为该椭圆的一个焦点。 中心 为该椭圆的一个焦点。已知地球的平均半径 =6378 ， 卫星距地面最近距离l 439km， 最远距离l 卫星距地面最近距离 1=439 ， 最远距离 2=2384km。 若卫星 。 在近地点速率v 求远地点速率v 在近地点速率 1=8.10 km⋅s-1，求远地点速率 2 。 ⋅
3.2第三章-动量与角动量讲义
若
F i = 0 则有 P末 = P初
动量守恒
i
dL =M= rF
角动量守恒
dt
若 M = 0 则有 L = r mv =常数
例：一个力学系统由两个质点组成，他们之间只有引力 作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则系统：
动量守恒？ 机械能守恒？角动量守恒？
质点在有心力作用下运动，角动
量守恒。
L = pr = mvr = 常量
r F
五、质点系的角动量
质元 i ：质量 mi
Fi mi ri • fi
外力Fi 内力 fi
o
L = Li = ri pi = ri mvi
rj
fj •
Fj
mj
i
i
i
由质点的角动量定理 r F = M = dL
dt
mv0 (l0 + ) = ml0v sin( − )
1 2
mv02
+
1 2
k2
=
1 2
mv2
则有
v=
v02
+
k m
2
= arcsin v0 (l0 + )
l0v
A外+A内 = Ek末- Ek初
A外+A非保内 = E末- E初
复习
若 A外+A非保内=0
则有 E末=E初 机械能守恒定律
( ) 末
( ) 末
初 F2 + F1 dt = P末 − P初
或 注意：
I
=
P末
−
P初
……质点系的动量定理
a、外力可改变系统的动量，也可改变某一个质点的动
第3章 动角动量习题解答
第3章 动量 角动量3-1一架飞机以300m/s 的速率水平飞行，与一只身长0.20m 、质量0.50kg 的飞鸟相撞，设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率很小，可以忽略不计。
试估计飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算)。
根据本题计算结果,谈谈高速运动的物体(如飞机、汽车)与通常情况下不足以引起危害的物体(如飞鸟、小石子)相碰撞后会产生什么后果？解 飞鸟碰撞前速度可以忽略,碰撞过程中冲量的大小为:I m Ft υ==考虑到碰撞时间可估算为 lt υ=即得飞鸟对飞机的冲击力2250.5300 2.2510(N)0.2m F l υ⨯===⨯由此可见飞机所受冲击力是相当大的，足以导致机毁人亡，后果很严重。
3-2 水力采煤,是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。
如图，设水柱直径30mm D =，水速56m/s υ=，水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后的速度为零，求水柱对煤的平均冲力。
解 △t 时间内射向煤层的水柱质量为21π4m V D x ρρ∆=∆=∆ 煤层对水柱的平均冲击力（如图以向右为正方向）为211x x x m m m F t t υυυ∆-∆∆==-∆∆211π4x xD t ρυ∆=-∆3322311.010π(3010)562.2210(N)4-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯水柱对煤层的平均冲力为'32.2210N F F =-=⨯，方向向右。
习题3-2图3-3 质量10kg m =的物体沿x 轴无摩擦地运动，设0t =时，物体位于原点，速率为零。
如果物体在作用力()34N Ft =+的作用下运动了3秒，计算3秒末物体的速度和加速度各为多少？（题中F 作用线沿着x 轴方向）解 力F 在3秒内的冲量33d (34)d 27N s I F t t t ==+=⋅⎰⎰根据质点的动量定理 ()30m I υ-=得()3 2.7m/s Imυ== 加速度()()223153m/s 1.5m/s 10F a m === 3-4 质量为m 的物体，开始时静止，在时间间隔T t 20≤≤内，受力()2021t T F F T ⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦作用，试证明，在2t T =时物体的速率为043F Tm。
03动量和角动量
r ο
意义：相当于绕 作圆周运动 意义：相当于绕O作圆周运动 的角动量（动量矩） 的角动量（动量矩）
3.7 角动量守恒定律
dL 对角动量定理 M = dt
M =0
dL =0 dt
L=C
合外力矩为零时,质点角动量为恒量。 合外力矩为零时,质点角动量为恒量。
一质量2200kg的汽车以60km/h 2200kg的汽车以60km/h的速度 例4 一质量2200kg的汽车以60km/h的速度 沿一平直公路开行。 沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距 公路50m的一点的角动量是多大？ 50m的一点的角动量是多大 公路50m的一点的角动量是多大？对公路 上任一点的角动量又是多大？ 上任一点的角动量又是多大？
v
２、冲量的概念 １） 恒力的冲量 作用力F＝恒量，作用时间 作用力 ＝恒量，作用时间t1→t2，力对质点的冲量， ，力对质点的冲量，
I = F (t 2－t1 )
２） 变力的冲量
冲量的方向与力的方向相同。 冲量的方向与力的方向相同。
dI = Fdt
力在某一段时间间隔内的冲量
I =
∫
t
to
F dt的方向不能由某瞬时力的方向来决定。
解：篮球到达地面的速率
v − v = 2ax
2 2 0
（ ） v = 2gh = 2×9.8× 2 = 6.3 m/s）
2m v 2×0.58×6.3 2 ） F或 F = = = 3.8×10 （N） 0.019 ∆t
§1.5 匀加速直线运动
v = v0＋at
x =v0t + a t
1 2
2
v − v = 2ax
2
1
F ∆t
30o 60o m=140g
最新第三章动量和角动量教案教程文件
t2
F
F dt
t1
I
t2 t1
t
几何意义：在一维情况下，冲量是
F～t 曲线图中冲力曲线与横轴间
的面积。使
虚线下矩形面积等于曲线下的面
积，则矩形面积的高， 就是平均力。
F
F
O
t1
t
图 3-1 冲力和平均冲力
（ 3）质点动量定理的分量形式。
在直角坐标中， 对 x、y、z 轴就有 :
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t2
教学重点：
* 建立动量、角动量的概念；
* 掌握力的冲量与动量的变化
量的关系；
* 理解力矩的冲量矩与角动量
的变化量的关系；
* 掌握动量守恒定律以及适用
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条件；
* 理解角动量守恒定律及其适
用条件。
教学难点：
动量、动量定理、 动量守恒定律
的矢量性。
建立角动量的概念。
角动量、 角动量定理、 角动量守
几何上即 I 、P1、P2 构成闭合三
角形：
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讨论： (1) 冲量是矢量，其方向为 Δ p 的 方向。 (2) 平均冲力的定义： 动量定理常用于碰撞、冲击一类 问题，物体所受力叫做冲力。冲 力的量值往往 很大，作用时间则往往很短 ( 图 3１实线 )
平均冲力的定义为：
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§ 3-2 质 点 系 的 动量定理
1. 概念 : 质点系 －－若干个质点组成的系
统。 外力―― 系统外的物体对质点系
中各质点的作用力。 内力―― 质点系中各质点彼此之
间的相互作用力。 2．质点系的动量定理 ( 微分形式 ) ： 设有 n 个质点组成一质点系， 对第
第03章 动量和角动量01
第三章 动量与角动量
§3 - 1 冲量与动量定理
宁波大学理学院
韦世豪
3–1 冲量与动量定理 1
第三章 动量与角动量
一,冲量: 反映力在时间过程中的累积效应的物理量 冲量:反映力在时间过程中的累积效应 力在时间过程中的累积效应的物理量 1,恒力的冲量(复 习) 恒力的冲量( 定义: 定义 力和作用时间的乘积 公式: 公式: I = F(t t0 ) = Ft
本题目的: 本题目的 掌握动量守恒定律的应用. 掌握动量守恒定律的应用. 动量守恒定律的应用
解: 选(M+m)为系统 ) 水平方向合外力= , 水平方向合外力 0,水平方向动量守恒
宁波大学理学院
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3–3 动量守恒定律 3
第三章 动量与角动量
由于系统的初动量为零, 由于系统的初动量为零,即: 水平分量上 在水平分量上,有:
宁波大学理学院 韦世豪
3–1 冲量与动量定理 1
第三章 动量与角动量
四,质点动量定理 牛顿运动定律: 牛顿运动定律:
F = ma
d(mv) dp F= = dt dt
在dt 时间内外力作用 的总效果的关系式
动量定理的微分式: 动量定理的微分式: dp = F dt 的微分式 如果力的作用时间从 t0
I =
∫
3
0
Fdt =
2
∫
3
3
0
(18 t 6 t 2 )dt = 27 ( N s )
x1
= 9t 2t
(
)
3 0
∫
x1 x0
m x x 1m + 1 x0 +1 m x dx = +C = +C +C m +1 m +1 m +1 x0 m +1
03-动量 角动量
d F i dt Pi i i
F
以F和P表示系统的合外力和总动量，上式 可写为： dP
dt
质点系的动量定理：
Fdt＝d P
微分形式
P2
t2
t1
F dt＝
P1
d P P 积分形式
14
2、动量守恒定律
dP F 0 0 dt
i i i i
P 常矢量
i
p m v
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
Fx 6.1N Fy 0.7 N
F F F 6.14N
2 x
2 y
7
I x 0.061Ns
I
2 x 2 y
I y 0.007Ns
2
I I 6.1410 Ns
Iy Ix 0.1148
tan
6.54
为I与x方向的夹角。
此题也可用矢量法解， 作矢量图用余弦定理和 正弦定理，可得：
F
v1
t
v2
v1
8
I＝Fdt m v m v 2m v1v2 cos105
2 2 1 2 2 2 2
6.1410 Ns
2
I F 6.14N t
m v2 F t sin sin 105
F
v1
t
v2
x
v1
sin 0.7866 51.86
51.86 45 6.86
9
例3、一质量均匀分布 的柔软细绳铅直地悬 挂着，绳的下端刚好 触到水平桌面上，如
x
03 力学：第三章 动量与角动量-课堂练习及部分习题解答
Zhang Shihui
题.设行星的质量为m，它绕太阳运动的角动量为L0，试 推导行星绕太阳运动的掠面速度（即行星的矢径单位时 间内扫过的面积）表达式 。 解：在dt的时间内，矢r 处的速度 v 同向 Δr v 与 夹角为 θ ，即 与 夹角为 θ r r Δ r r h θ Δr 顶点到 r 的距离 h = Δr sin θ 1 在dt的时间内，矢径扫过的面积 ΔS = r Δr sin θ 2 L0 1 1 dS 1 L= ΔtÆ0, dr = vdt 故 = r v sin θ = r × v = 2m 2m 2 dt 2
r
地心O
M = r ×F =0 r1 R + l1 因此，角动量守恒 r1mv1 = r2 mv2⇒ v2 = v1 = v1 r2 R + l2
v
因万有引力F始终沿地心指向卫星， 与矢径方向相同，故
学习指导·第三章 动量和角动量·典型例题第4题
Zhang Shihui
题. 匀质的柔软细绳铅直悬挂着，绳的下端刚好触到水平地 面上。如把绳的上端释放，绳将落到地面上。试证明：在 绳下落过程中，任意时刻作用于地面的压力（大小），等 于已落到地面上的绳重量的三倍。 解：设单位绳长的质量为λ。t时刻已经落到地面 的绳长为x，这部分绳子对地面的压力N0 = (λ x) g 此外，即将接触地面的质元dm对地面的冲量dp 会产生一个额外的冲力F (注：质元长dx，下落 的距离为x) 。设此瞬间质元的速度为v，则
m
解：水平方向M和m组成的系统所受合外 力为零，因此质心在水平方向不受外力作 用，质心水平方向分量保持不变，等于0
Μ
mΔx + M ΔX mx + MX ⇒ Δxc = =0 xc = m+M m+M
第03章 动量与角动量
px py
px0 py0
pz
pz0
(I x 0) (I y 0) (I z 0)
➢ 若系统在某一方向所受的合力为零，则该方向动量守恒 ➢ 外力<<内力时，动量近似守恒。例如碰撞和爆炸
.
二. 碰撞过程中的动量守恒现象
1、两个或两个以上的物体发生时间极为短暂的 相互作用过程叫碰撞。
2、碰撞的特点：作用时间极为短暂。
普遍成立
dt
.
2.2 动量定理
F d d p tF d td p tt0F d tp p 0d p
Ip p 0
质点动量的增量等于合力对质点作用的冲 量 —— 质点动量定理
I
x
I y
px py
p0x p0y
I
z
pz
p0z
➢ 动量定理反映了力对时间的积累效应
.
2.3 平均冲力
I mg(t2 t1)I反冲0
I反冲mg(t2 t1)
.
例 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链
条自由下落在地面上时
求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，地面 所受链条的作用力？
解设
ml
l
m L
l
链条在此时的速度 v 2g(lh)
Lm
h
dm
根据动量定理 fdt0(vdt)v
完全弹性对心碰撞过程中的守恒量：
动量守恒 机械能守恒
F内>>F外，且作用时间短， 外力的冲量可以忽略不计。
.
例: 在一个半径为R的固定光滑球面的顶点处有一个质量为 M的静止木块。现有一质量为m的子弹以速度v0水平射入木 块之中，然后与木块一起沿着球面下滑。试求：1、木块飞 离球面时，其连线与竖直方向的夹角；2、子弹的初速度为
03动量与角动量习题解答
第三章 动量与动量守恒定律习题一 选择题1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ）A. 必为零；B. 必不为零，合力方向与行进方向相同；C. 必不为零，合力方向与行进方向相反；D. 必不为零，合力方向是任意的。
解：答案是C 。
简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = d p = d (m v )= m d v + v d m = v d m 。
因d m <0，所以F 的方向与车行进速度v 的方向相反。
2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有： （ ）A. 地面给予两球的冲量相同；B. 地面给予弹性球的冲量较大；C. 地面给予非弹性球的冲量较大；A. 无法确定反冲量谁大谁小。
解：答案是B 。
简要提示：)(12v v -=m I3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为∆t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（ ）A ．mg t m +∆v B ．mg C ．mg t m -∆v D ．tm ∆v 解：答案是D 。
简要提示：v m t F =∆⋅4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是： （ ） 选择题4图A. 静止不动；B. 朝质量大的人行走的方向移动；C. 朝质量小的人行走的方向移动；D. 无法确定。
解：答案是B 。
简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒：02211='+-v v v M m m ，得：M m m /)(21v v --='如果m 1> m 2，则v ′< 0。
5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为： （ ）A. uB. u /2C. u /4D. 0解：答案是B 。
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第三章 动量与动量守恒定律习题一 选择题1. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有： （ ）A. 地面给予两球的冲量相同；B. 地面给予弹性球的冲量较大；C. 地面给予非弹性球的冲量较大；A. 无法确定反冲量谁大谁小。
解：答案是B 。
简要提示：)(12v v -=m I2. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为∆t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（ ）A ．mg t m +∆v B ．mg C ．mg t m -∆v D ．tm ∆v 解：答案是D 。
简要提示：v m t F =∆⋅3. 质量为20 g 的子弹沿x 轴正向以 500 m ⋅ s –1 的速率射入一木块后，与木块一起仍沿x 轴正向以50 m ⋅ s –1 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为：( )A ． 9 N·sB ．–9 N·s C. 10 N·s D.–10 N·s 解：答案是A 。
简要提示：子弹和木块组成的系统的动量守恒，所以木块受到的冲量与子弹受到的冲量大小相等，方向相反。
根据动量定理，子弹受到的冲量为： s N 9)(12⋅-=-=v v m I所以木块受到的冲量为9 N·s 。
4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相对于板相同的速率相向行走，则板的运动状况是： （ ）A. 静止不动；B. 朝质量大的人的一端移动；C. 朝质量小的人的一端移动；D. 无法确定。
解：答案是B 。
简要提示：取m 1的运动方向为正方向，板的运动速度为v '，由系统的动量守恒：0021='+'+'+v v)-v ()v (v m m m ，得：v v 02112m m m m m ++-=' 如果m 2> m 1，则v ′> 0; 如果m 1> m 2，则v ′< 0。
5. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 ( )A. 甲先到达；B. 乙先到达；C. 同时到达；D. 谁先到达不能确定．解：答案是 C.简要提示：两人作为一个系统，受到的合外力为零，所以系统的动量守恒，即两人相对地面的速度大小相同，所以两人同时到达顶点。
6. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为： （ ）A. uB. u /2C. u /4D. 0解：答案是B 。
由动量守恒：0v v =+2211m m ，u =-12v v ；得2/2u =v 。
7. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球： （ ）A.仍静止；B.匀速上升；C.匀速下降；D.匀加速上升。
解：答案是C 。
简要提示：由质点系的动量守恒，系统的总动量不变。
二 填空题1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N ⋅s ，则两船分离的相对速率为 m ⋅ s –1。
解：答案为：5/6 m ⋅ s –1简要提示：由动量定理：11v m I =，22v m I =得：11s m 2/1-⋅=v ，12s m 3/1-⋅=v所以分离速度为12112s m 6/5-⋅=+=v v v2. 一小车质量m 1 = 200 kg ，车上放一装有沙子的箱子，质量m 2 = 100 kg ，已知小车与砂箱以v 0 = 3.5 km ⋅ h –1的速率一起在光滑的直线轨道上前进，现将一质量m 3 = 50kg 的物体A 垂直落入砂箱中，如图所示，则此后小车的运动速率为 km ⋅ h –1。
解：答案为： 3.0 km ⋅ h –1简要提示：系统在水平方向上不受力的作用，所以水平方向的动量守恒： v v )()(321021m m m m m ++=+， 1h km 0.3-⋅=∴v 3. 初始质量为m 0的火箭在地面附近空间以相对于火箭的速率u 垂直向下喷射燃料，每秒钟消耗的燃料d m /d t 为常数，设火箭初始速度为0，则火箭上升的速率v 与时间函数关系为 。
解：答案为：gt mm u -=0lnv 简要提示：由动量定理得到： m u m t mg d d d +=-v 两边积分：⎰⎰⎰+=-m m t m m u t g 0d d d 00v v ，得到 0ln m m u gt +=-v ， 即 gt m m u -=0ln v ， 式中t tm m m d d 0-= 4. 机关枪每分钟发射240发子弹，每颗子弹的质量为10g ，出射速度为900 m ⋅ s –1，则机关枪受到的平均反冲力为 。
解：答案为：36 N简要提示：每个子弹受到的冲量为：v m I =3 m 2 m 1 填空题2图单位时间内子弹受到的平均冲力，即机关枪的平均反冲力：)N (366090010102403=⨯⨯⨯=∆=-∑t I F5. 乐队队长的指挥棒，是由长为l 的细杆，其两端分别附着两个质量为m 1和m 2的物体所组成，将指挥棒抛入空中，其质心的加速度为 ，质心的轨迹为 。
解：答案为：g ； 抛物线。
简要提示：根据质心运动定理。
6. 质量为m =0.2kg 的小球系于轻绳的一端，并置于光滑的平板上，绳的另一端穿过平板上的光滑小孔后下垂用手握住。
开始时，小球以速率v 1=2.0 m ⋅ s –1作半径为r 1 = 0.5m 的圆周运动；然后将手缓慢下移，直至小球运动半径变为r 2=0.1m 。
此时小球的运动速率为 。
解：答案为：10 m ⋅ s –1简要提示：由角动量守恒定律得：2211r m r m v v =，2112/r r v v =7. 哈雷彗星在椭圆轨道上绕日运行，其近日点距离太阳8.9⨯1010m ，远日点距离太阳 5.3⨯1012m ，则哈雷彗星在近日点时的速率与远日点时的速率之比为 。
解：答案为：59.55简要提示：角动量守恒定律三 计算题1. 一位高尔夫球运动员打击高尔夫球，给球以大小为50m ⋅ s –1、方向与水平面成30︒ 向上的初速度，设球的质量为0.025 kg ，棒与球接触时间为0.01s ，试求棒、球各受到的冲量大小，球受到的平均冲力大小。
解：以球为对象，由动量原理，球受到的冲量大小为I = m v - 0= m v = 0.025 ⨯ 50 = 1.25 (N.S)棒受到的冲量是I I -=′，大小为⋅==N 25.1I I ′ N)(12501.025.1 ==∆=t I F 为：球受到的平均冲力大小 2. 一股水流从水管中喷射到墙上，若水的速率为5 m ⋅ s –1，水管每秒喷出的水为3⨯10-4m 3，若水不溅散开来，其密度ρ为103 kg ⋅ m –3，试求水作用于墙上的平均冲力。
解：以质量为∆m 的水流为对象，有00)(v v v m m t F ∆-=-∆=∆00v v tV t m F ∆∆-=∆∆-=ρ 由牛顿第三定律，墙受到的冲力大小 N)(5.15110310430=⨯⨯⨯=∆∆=-=-v t V F F ρ′ 方向与水流速同向。
3. 一皮带以v =1.2 m ⋅ s –1的恒定速率沿水平方向运动，将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗以每秒20 kg 的速率落到皮带上，忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，求要维持皮带以恒定速率v 运动，需要多大的水平牵引力？所需功率为多大？解：设t 时刻落到皮带上的砂子质量为M ，速率为v ，t+d t 时刻，皮带上的砂子质量为M+d M ，速率也是v ，根据动量定理，皮带作用在砂子上的力F 的冲量为：v v v M M M M t F d )d (d =-+=所以：N 24d d ==t M F v 功率为：W8.28==v F P 4. 将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数归零。
然后从高出盒底4.9米处，将小石子流以每秒100个的速率注入盒中。
假设每一石子的质量为20克，都从同一高度落下，且落入盒内就停止运动，求石子从开始注入到10秒时秤的读数解：单位时间内石子对盒子的平均冲力为：其中 v t m F ∆∆= 其中gh 2=v 所以10秒时秤的读数为盒内石子的重量与该平均冲力的和，即： N)(6.2151966.19=+=∆∆+∆∆=+=tg t m t m Mg F F 2gh5．质量为m 0的人，手握一质量为m 的物体，此人沿与地面成α角的方向以初速率v 0跳出，当他到达最高点时，将m 以相对速率u 水平向后抛出，试求其跳出距离的增加量。
解：在最高点，抛物瞬间人和物体在水平方向上无外力作用，由水平方向的系统动量守恒αcos )(000v v v m m m m +=+′ 其中 u -=v v ′代入求得人到达最高点时的速率 u m m m 00cos ++=αv v 人的水平速度增量 u mm m +=-=∆00cos αv v v 由运动学可求出人从最高点到落地的跳跃时间 gg H t αsin 20v == 故增加距离 αsin )(00gm m mu t x +=∆=∆v v . 6．一质量为6000 kg 的火箭竖直发射，设喷气速率为1000m ⋅ s –1，试问要产生克服火箭重力所需推力和要使火箭获得最初向上的加速度20m ⋅ s –2，这两种情况下火箭每秒应分别喷出多少气体？解：设喷出的气体质量为d m '，火箭的质量变为(m -d m ')，在气体d m '喷出前后，系统的动量变化m u m m u m m m p '-=--+'++'-=d d )d )(d ()d )(d (d v v v v v v喷出的气体质量等于火箭质量的减少量即d m ' = -d m ，故m u m p d d d +=v考虑到重力作用， t mg t F d d -=由系统的动量定理，p t F d d =，得到：m u m t mg d d d +=-v ，即mg tm u t m --=d d d d v 要产生克服火箭重力所需的最小推力(无向上加速度)，可由0d d =tv 求出 )s kg (8.5810008.96000d d 1-⋅-=⨯-=-=u mg t m 要使火箭获得最初向上的加速度a ，可由a t=d d v 求出ma mg tm u=--d d )s kg (4.1761000)208.9(6000)(d d 1-⋅-=+⨯-=+-=u a g m t m 7. 一质量为m 0的杂技演员，从蹦床上笔直地以初速v 0跳起。