VAR模型
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2016-6-1
简化型模型的特点
● 简化型模型中每个方程的解释变量全是前定变量。
● 简化型模型中的前定变量与随机误差项不相关。 避免了联立方程偏倚。简化型模型中的参数是原结 构型模型参数的函数，由估计的简化型模型参数，有 可能求解出结构型参数
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●简化式模型并不反映经济系统中变量之间的 直接关系，并不是经济系统的客观描述。 ● 简化型模型表现了前定变量对内生变量的总 影响（直接影响和间接影响），其参数表现 了前定变量对内生变量的影响乘数 ● 已知前定变量取值的条件下,可利用简化型模 型参数的估计式直接对内生变量进行预测分析
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小结：
内生变量： 一些变量是由模型体现的经济体系本身 所决定的，在模型中是随机变量,称为内生变量。 外生变量：一些变量是在模型体现的经济体系之外 给定的，在模型中是非随机的,称为外生变量。 意义：区分内生变量和外生变量对联立方程模型的 估计和应用有重要意义。
注意： 一个变量是内生变量还是外生变量，由经济
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三、向量自回归模型VAR的定义
1980年Sims提出向量自回归模型（Vector Autoregressive Model）。这种模型采用多方程联 立的形式，它不以经济理论为基础。在模型的每 一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的 滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态 关系。
外生变量一般是经济变量、政策变量、虚拟变量。 一般情况下，外生变量与随机项不相关。
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3、 前定变量（Predetermined Variables）
外生变量与滞后内生变量(Lagged Endogenous Variables)统称为前定变量。 滞后内生变量是联立方程计量经济学模型中重 要的不可缺少的一部分变量，用以反映经济系 统的动态性与连续性。 前定变量只能作为解释变量。
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因VAR模型中每个方程的右侧只含 有内生变量的滞后项，他们与ut是渐近 不相关的，所以可以用OLS法依次估计 每一个方程，得到的参数估计量都具有 一致性。
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第八章
向量自回归模型
1、内生变量与外生变量 2、结构式模型与简化式模型 3、向量自回归模型VAR的定义 4、VAR模型的特点 5、VAR模型稳定的条件 6、VAR模型的分解 7. VAR模型滞后期的选择 8. 脉冲响应函数
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一、内生变量与外生变量
商品需求与价格的模型，商品的需求量 Q 受商品 的价格 P 和消费者的收入 X 等因素的影响，可建 立需求模型：
结构型模型的标准形式：
11Y1t 12Y2t ... 1mYmt 11 X1t 12 X2t ... 1k Xkt u1t 21Y1t 22Y2t ... 2mYmt 21 X1t 22 X2t ... 2k Xkt u2t
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2.简化型模型
Reduced-Form Model 简化型模型：每个内生变量都只被表示为前定变量 及随机扰动项函数的联立方程模型，每个方程的右 端不再出现内生变量。 简化型模型的建立：直接写出简化形式 从结构型模型求解 对比结构型模型： ΒY + ΓX = u 若 Β ≠ 0 ， B -1存 在，则有：Y = -Β -1 ΓX + Β -1 u
在某个方程是内生变量，在另外的方程中与扰动项相关。 例如刚才的 Qt与Vt相关
Qt 0 1 Pt 2 X t ut * P Q P 0 1 t 2 t vt t
(需求方程) (价格方程)
• 在联立方程模型中，内生变量既作为被解释变量， 又可以在不同的方程中作为解释变量。
即
其中:
BY + ΓX = u
1 - β2 B= -1 1 Ct Y = Yt
<----矩阵形式
- β1 0 Γ= 0 -1 1 X = It
ut u= 0
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2\ 结构型模型的特点
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2、外生变量 (Exogenous Variables)
外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分 布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。 外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。
Qt 0 1 Pt 2 X t ut * P Q P 0 1 t 2 t vt t (需求方程) (价格方程)
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为了给出脉冲响应函数的定义，同时为了简单，以 零值的两变量的VAR (2) 模型来说明脉冲响应函数的基本 思想。 由于每一个VAR(p)模型都可以表示成为一个无限 阶的向量MA(∞)过程,所以VAR (2) 模型的MA(∞)形式为
y1t a y2 t a
Yt = Ct +It
其中 C 为消费， Y 为收入，它们是内生变量；I 是 作为外生变量的投资；u 为随机扰动项。 可表示为： Ct - 2Yt - 1 +0It = ut <---标准形式
-Ct +Yt +0- It =0
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可以矩阵表示为：
1 - 2 Ct - 1 0 1 ut Y + I = -1 1 t 0 -1 t 0
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(3) 结构型模型具有偏倚性问题，所以不能直接用 OLS法 对结构型模型的未知参数进行估计
Qt 0 1 Pt 2 X t ut * Pt 0 1Qt 2 Pt vt
(需求方程) (价格方程)
(4) 通过前定变量的未来值预测内生变量的未来值 时，由于在结构方程的右端出现了内生变量， 所以不能直接用结构型模型进行预测.
(1Baidu Nhomakorabea描述了经济变量之间的结构关系，在结构方程 的右端可能出现其它的内生变量
Qt 0 1 Pt 2 X t ut * Pt 0 1Qt 2 Pt vt
(需求方程) (价格方程)
(2) 结构型模型有明确的经济意义，可直接分析解 释变量变动对被解释变量的作用
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八、脉冲响应函数
在实际应用中，由于VAR模型是一种非理 论性的模型，因此在分析VAR模型时，往往不 分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何， 而是分析当一个误差项发生变化，或者说模型 受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析 方法称为脉冲响应函数方法(impulse response function，IRF)。 其基本思路:考虑扰动项的影响是如何传 播到各变量的。
m1Y1t m2Y2t ... mmYmt m1 X1t m2 X2t ... mk Xkt umt
矩阵表示： BY + ΓX = u
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结构型模型举例
设一个简化的凯恩斯宏观经济模型为：
C t = β1 + β 2Yt + u t
Qt 0 1P t 2 X t ut （） 1
同时，该商品价格 P 也受商品需求量 Q 和其它替 代品价格 P * 的影响，又可建立价格模型：
P t 0 1Q t 2 P t vt
*
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(2)
3
(1)和(2)式中的商品需求 Q 与商品价格 P ，事 实上存在双向因果关系，不能只用单一方程模型 去描述这种联立，而需要把两个单一方程组成一 个联立方程组，同时去研究商品的需求量 Q 和 商品价格P ，从而形成如下的联立方程模型：
理论和经济意义决定，不是从数学形式决定。
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二、联立方程模型的种类
结构型模型 联 立 方 程 模 型 简化型模型
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1 结构方程的表现形式
习惯上用Y表示内生变量，X表示前定变量，μ 表示随机项，β表示内生变量的结构参数，γ表示 前定变量的结构参数，如果模型中有常数项，可以 看成为一个外生的虚变量，它的观测值始终取1。
Qt 0 1 Pt 2 X t ut * Pt 0 1Qt 2 Pt vt
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⒈内生变量 （Endogenous Variables）
内生变量是具有某种概率分布的随机变量,它的 参数是联立方程系统估计的元素。 内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型 系统产生影响。
Qt 0 1 Pt 2 X t ut * P Q P 0 1 t 2 t vt t (需求方程) (价格方程)
内生变量一般都是明确经济意义变量。
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一般情况下，内生变量与随机项相关，即
Cov(Yi , ui ) 0
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结 束 了！
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a a
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a a
u1t 2 u2 t 2
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例
钢铁行业的需求对下游相关行业变化的响应
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若令
V = Β -1 u 则简化型模型为 Y = ΠX +V 2016-6-1
Π = -Β -1 Γ
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再次路过
Y X u
Y X u Y X u
1 1
Y X V
1
该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关 系，称为参数关系体系。
(0) 11 (0) 21 (2) 11 (2) 21
a a
(0) 12 (0) 22 (2) 12 (2) 22
u1t a u2 t a
(1) 11 (1) 21
a u1t 1 a u2t 1
(1) 12 (1) 22
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简化型模型的特点
● 简化型模型中每个方程的解释变量全是前定变量。
● 简化型模型中的前定变量与随机误差项不相关。 避免了联立方程偏倚。简化型模型中的参数是原结 构型模型参数的函数，由估计的简化型模型参数，有 可能求解出结构型参数
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●简化式模型并不反映经济系统中变量之间的 直接关系，并不是经济系统的客观描述。 ● 简化型模型表现了前定变量对内生变量的总 影响（直接影响和间接影响），其参数表现 了前定变量对内生变量的影响乘数 ● 已知前定变量取值的条件下,可利用简化型模 型参数的估计式直接对内生变量进行预测分析
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小结：
内生变量： 一些变量是由模型体现的经济体系本身 所决定的，在模型中是随机变量,称为内生变量。 外生变量：一些变量是在模型体现的经济体系之外 给定的，在模型中是非随机的,称为外生变量。 意义：区分内生变量和外生变量对联立方程模型的 估计和应用有重要意义。
注意： 一个变量是内生变量还是外生变量，由经济
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三、向量自回归模型VAR的定义
1980年Sims提出向量自回归模型（Vector Autoregressive Model）。这种模型采用多方程联 立的形式，它不以经济理论为基础。在模型的每 一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的 滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态 关系。
外生变量一般是经济变量、政策变量、虚拟变量。 一般情况下，外生变量与随机项不相关。
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3、 前定变量（Predetermined Variables）
外生变量与滞后内生变量(Lagged Endogenous Variables)统称为前定变量。 滞后内生变量是联立方程计量经济学模型中重 要的不可缺少的一部分变量，用以反映经济系 统的动态性与连续性。 前定变量只能作为解释变量。
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因VAR模型中每个方程的右侧只含 有内生变量的滞后项，他们与ut是渐近 不相关的，所以可以用OLS法依次估计 每一个方程，得到的参数估计量都具有 一致性。
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第八章
向量自回归模型
1、内生变量与外生变量 2、结构式模型与简化式模型 3、向量自回归模型VAR的定义 4、VAR模型的特点 5、VAR模型稳定的条件 6、VAR模型的分解 7. VAR模型滞后期的选择 8. 脉冲响应函数
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一、内生变量与外生变量
商品需求与价格的模型，商品的需求量 Q 受商品 的价格 P 和消费者的收入 X 等因素的影响，可建 立需求模型：
结构型模型的标准形式：
11Y1t 12Y2t ... 1mYmt 11 X1t 12 X2t ... 1k Xkt u1t 21Y1t 22Y2t ... 2mYmt 21 X1t 22 X2t ... 2k Xkt u2t
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2.简化型模型
Reduced-Form Model 简化型模型：每个内生变量都只被表示为前定变量 及随机扰动项函数的联立方程模型，每个方程的右 端不再出现内生变量。 简化型模型的建立：直接写出简化形式 从结构型模型求解 对比结构型模型： ΒY + ΓX = u 若 Β ≠ 0 ， B -1存 在，则有：Y = -Β -1 ΓX + Β -1 u
在某个方程是内生变量，在另外的方程中与扰动项相关。 例如刚才的 Qt与Vt相关
Qt 0 1 Pt 2 X t ut * P Q P 0 1 t 2 t vt t
(需求方程) (价格方程)
• 在联立方程模型中，内生变量既作为被解释变量， 又可以在不同的方程中作为解释变量。
即
其中:
BY + ΓX = u
1 - β2 B= -1 1 Ct Y = Yt
<----矩阵形式
- β1 0 Γ= 0 -1 1 X = It
ut u= 0
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2\ 结构型模型的特点
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2、外生变量 (Exogenous Variables)
外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分 布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。 外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。
Qt 0 1 Pt 2 X t ut * P Q P 0 1 t 2 t vt t (需求方程) (价格方程)
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为了给出脉冲响应函数的定义，同时为了简单，以 零值的两变量的VAR (2) 模型来说明脉冲响应函数的基本 思想。 由于每一个VAR(p)模型都可以表示成为一个无限 阶的向量MA(∞)过程,所以VAR (2) 模型的MA(∞)形式为
y1t a y2 t a
Yt = Ct +It
其中 C 为消费， Y 为收入，它们是内生变量；I 是 作为外生变量的投资；u 为随机扰动项。 可表示为： Ct - 2Yt - 1 +0It = ut <---标准形式
-Ct +Yt +0- It =0
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可以矩阵表示为：
1 - 2 Ct - 1 0 1 ut Y + I = -1 1 t 0 -1 t 0
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(3) 结构型模型具有偏倚性问题，所以不能直接用 OLS法 对结构型模型的未知参数进行估计
Qt 0 1 Pt 2 X t ut * Pt 0 1Qt 2 Pt vt
(需求方程) (价格方程)
(4) 通过前定变量的未来值预测内生变量的未来值 时，由于在结构方程的右端出现了内生变量， 所以不能直接用结构型模型进行预测.
(1Baidu Nhomakorabea描述了经济变量之间的结构关系，在结构方程 的右端可能出现其它的内生变量
Qt 0 1 Pt 2 X t ut * Pt 0 1Qt 2 Pt vt
(需求方程) (价格方程)
(2) 结构型模型有明确的经济意义，可直接分析解 释变量变动对被解释变量的作用
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八、脉冲响应函数
在实际应用中，由于VAR模型是一种非理 论性的模型，因此在分析VAR模型时，往往不 分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何， 而是分析当一个误差项发生变化，或者说模型 受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析 方法称为脉冲响应函数方法(impulse response function，IRF)。 其基本思路:考虑扰动项的影响是如何传 播到各变量的。
m1Y1t m2Y2t ... mmYmt m1 X1t m2 X2t ... mk Xkt umt
矩阵表示： BY + ΓX = u
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结构型模型举例
设一个简化的凯恩斯宏观经济模型为：
C t = β1 + β 2Yt + u t
Qt 0 1P t 2 X t ut （） 1
同时，该商品价格 P 也受商品需求量 Q 和其它替 代品价格 P * 的影响，又可建立价格模型：
P t 0 1Q t 2 P t vt
*
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(2)
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(1)和(2)式中的商品需求 Q 与商品价格 P ，事 实上存在双向因果关系，不能只用单一方程模型 去描述这种联立，而需要把两个单一方程组成一 个联立方程组，同时去研究商品的需求量 Q 和 商品价格P ，从而形成如下的联立方程模型：
理论和经济意义决定，不是从数学形式决定。
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二、联立方程模型的种类
结构型模型 联 立 方 程 模 型 简化型模型
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1 结构方程的表现形式
习惯上用Y表示内生变量，X表示前定变量，μ 表示随机项，β表示内生变量的结构参数，γ表示 前定变量的结构参数，如果模型中有常数项，可以 看成为一个外生的虚变量，它的观测值始终取1。
Qt 0 1 Pt 2 X t ut * Pt 0 1Qt 2 Pt vt
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⒈内生变量 （Endogenous Variables）
内生变量是具有某种概率分布的随机变量,它的 参数是联立方程系统估计的元素。 内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型 系统产生影响。
Qt 0 1 Pt 2 X t ut * P Q P 0 1 t 2 t vt t (需求方程) (价格方程)
内生变量一般都是明确经济意义变量。
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一般情况下，内生变量与随机项相关，即
Cov(Yi , ui ) 0
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结 束 了！
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a a
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a a
u1t 2 u2 t 2
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例
钢铁行业的需求对下游相关行业变化的响应
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若令
V = Β -1 u 则简化型模型为 Y = ΠX +V 2016-6-1
Π = -Β -1 Γ
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再次路过
Y X u
Y X u Y X u
1 1
Y X V
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该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关 系，称为参数关系体系。
(0) 11 (0) 21 (2) 11 (2) 21
a a
(0) 12 (0) 22 (2) 12 (2) 22
u1t a u2 t a
(1) 11 (1) 21
a u1t 1 a u2t 1
(1) 12 (1) 22