VAR模型-向量自回归模型-理论无教程
04向量自回归(VAR)模型
1.2
0.8
0.4
0.0
-0.4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
yt = 1.4yt-1 − 0.6yt-2 + zt-3 + εt
16
二、传递函数模型
若zt是白噪声过程，则yt和zt之间的互相关图和传 递函数C(L)的关系为：
在多项式C(L)的第一个非零元素出现之前，所有的yz(j) =0 B(L)的形式不影响理论互相关图 互相关图中的峰值表示C(L)中的非零元素。因此，在滞 后期d处的峰值表示zt-d直接影响yt 所有的峰值都以比例a1衰减。
跳跃式
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
渐进式
延长式
9
一、干扰分析
例：轰炸利比亚的影响
1986年4月15日凌晨美国对利比亚进行了轰炸，英军暗 中协助了这次袭击，其官方理由是利比亚宣称参与了 西柏林的恐怖分子炸弹事件 令yt表示在月份t内直接针对美国和英国的国际恐怖事件。 考虑跳跃式和脉冲式两种干扰函数形式，估计结果分 别为： yt = 5.58 + 0.336 yt-1 + 0.123 yt-5 + 2.65 zt (5.56) (3.26) (0.84) AIC = 1656.03 SBC = 1669.95 yt = 3.79 + 0.327 yt-1 + 0.157 yt-5 + 38.9 zt (5.53) (2.59) (6.09) AIC = 1608.68 SBC = 1626.06 10
yt b10 b12 zt 11 yt 1 12 zt 1 yt zt b20 b21 yt 21 yt 1 22 zt 1 zt
var-向量自回归模型
预测评估
采用适当的评估方法（如均方误差、平均绝 对误差等）对预测结果进行评估，以确保预 测的准确性和可靠性。
政策建议与展望
政策建议
根据VAR模型的实证分析结果，提出针对性 的政策建议，以促进经济的稳定和可持续发 展。
展望
对VAR模型未来的发展趋势和应用前景进行 展望，为进一步研究提供方向和思路。
05
VAR模型的优缺点与改 进方向
VAR模型的优点
01
描述经济变量之间的ຫໍສະໝຸດ 态关系VAR模型能够描述多个经济变量之间的动态关系，通过分析变量之间的
相互影响，揭示经济系统的内在机制。
02
避免结构化约束
VAR模型不需要对经济变量之间的因果关系进行结构化约束，而是通过
变量自身的历史数据来分析相互影响，减少了主观因素对模型的影响。
模型估计与结果解读
模型估计
采用适当的统计软件（如EViews、Stata等）对VAR模型进行估计，确定模型的最佳滞 后阶数，并检验模型的稳定性。
结果解读
对估计结果进行详细解读，包括各经济指标之间的动态关系、长期均衡关系等，以便更 好地理解经济现象。
模型预测与评估
模型预测
利用估计好的VAR模型对未来经济走势进行 预测，为政策制定提供参考依据。
拓展应用领域
可以将VAR模型拓展应用到其他领域，如金融市 场、环境经济学、健康经济学等，以揭示不同领 域变量之间的动态关系。
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金融市场分析
VAR模型可用于分析股票、债券等金 融市场的相关性，以及市场波动对其 他经济指标的影响。
国际经济关系研究
VAR模型可用于分析不同国家之间的 经济关系，例如贸易往来、汇率变动 等。
向量自回归(VAR)模型PPT课件
8.2.2 VAR模型的设定
1).使用平稳变量还是非平稳变量
Sims, Stock, 和 Watson (1990) 提出，非平稳序列仍然可以放在VAR模型 中，通过估计结果分析经济、金融含义。
估计方法
Yt C 1Yt1 2Yt2 L Yp t p t
t : i.i.d.N (0, )
(1)MLE : l () ( nT ) ln(2 ) (T ) ln 1
2
2
1 2
T t 1
(Yt
X t )1(Yt
Xt )
略了y 1 t 和 y 2 t 之间的互动关系，整个VAR模
型是一个互动的动态系统！
另一个例子,
y1t y2t
0.9
0
.1
0.1
0.8
y1,t 1 y2,t 1
1t
2
t
1 0.9 z 0.1z
(z) n 1z 0.2 z
关于VMA ( ) ，以下几点需要注意:
第一，因为矩阵F是由VAR模型中的 系数组成的，所以， ( L ) 是这些系数的非 线性函数。
第二，在VMA模型中，方程右侧只有
向量白噪音过程（和均值 ）出现。这可
以理解为，当滞后项Y t j 经过反复迭代之 后都从VAR(p)中被替换掉了。
8.2 VAR模型的估计与相关检验
n p 1 p1 2 p2 L p 0
的根落在单位圆内。
向量自回归(VAR)模型和向量误差修正(VEC)模型理论及EVIEWS操作
当AIC与SC的最小值对应不同的p值时，只能用LR 检验法。
18
（2）用似然比统计量LR选择p值。LR定义为 ：
LR 2ln l(p) ln l( p i) : 2( f ) (11.2)
-4.3194
-5.4324 -5.7557
5% 临界值
-2.9202 -2.9202 -2.9202
模型形式 （C t p）
(c 0 3) (c 0 0) (c 0 0)
DW值
1.6551 1.9493 1.8996
结论
LGDPt ～I(1) LCt ～I( 1)
LIt～I(1)
注 C为位移项， t为趋势，p为滞后阶数。
可以用如下向量形式表达， 即 B0 yt=Γ0 +Γ1 yt-1 + μt
13
2. VAR模型的特点
VAR模型较联立方程组模型有如下特 点： （1）VAR模型不以严格的经济理论为 依据。在建模过程中只需明确两件事： 第一，哪些变量应进入模型（要求变量 间具有相关关系——格兰杰因果关系 ）； 第二，滞后阶数p的确定（保证残差刚好 不存在自相关）；
2
一、VAR模型及特点
1. VAR模型—向量自回归模型
经典计量经济学中，由线性方程构成的联立方程
组模型，由科普曼斯（poOKmans1950）和霍德－科普曼 斯（Hood-poOKmans1953）提出。联立方程组模型在20 世纪五、六十年代曾轰动一时，其优点主要在于对每个方
程的残差和解释变量的有关问题给予了充分考虑，提出了
向量自回归模型
诊断主要是对模型残差进行一系列检验， 如果诊断结果表明模型存在问题，需要
以判断模型是否充分拟合了数据，是否 对模型进行修正或重新设定，以确保模
存在异常值或违反模型假设的情况。常
型的准确性和可靠性。
见的诊断方法包括残差诊断、正态性检
验、异方差性检验等。
03
向量自回归模型的实现
向量自回归模型的编程语言实现
诊断与修正困难
向量自回归模型在诊断和修正模型中的问题时较为复杂，需要较高 的统计技巧和经验。
对数据要求高
向量自回归模型要求数据具有平稳性，对于非平稳数据需要进行差分 或其他处理，可能会影响模型的准确性和稳定性。
向量自回归模型的发展趋势与未来展望
改进估计方法
针对向量自回归模型参数过多的问题，未来研究可以探索更加有 效的参数估计方法，提高模型的泛化能力。
能够更好地捕捉时间序列数据的长期趋势和稳定性。
解释性强
02
向量自回归模型能够清晰地揭示多个变量之间的相互影响关系，
有助于理解经济现象之间的内在联系。
适用范围广
03
向量自回归模型适用于多种类型的数据，包括平稳和非平稳时
间序列数据。
向量自回归模型的缺点
参数过多
向量自回归模型需要估计的参数数量较多，容易产生过拟合问题， 导致模型泛化能力下降。
极端天气事件预测
通过向量自回归模型预测极端天气事件的发生， 如暴雨、洪涝、干旱等，有助于减轻灾害损失。
3
气候变化对生态系统的影响
利用向量自回归模型分析气候变化对生态系统的 影响，如植被分布、物种多样性和生态平衡等。
向量自回归模型在社会科学领域的应用
经济发展预测
通过分析历史经济发展数据，利用向量自回归模型预测未来经济 发展趋势，为政策制定提供依据。
VAR-向量自回归模型
VAR-向量自回归模型简介VAR（Vector Autoregressive Model）是一种常用的多变量时间序列预测模型。
它对每个时间点上的变量都建立回归模型，通过自身过去时间点和其他变量的过去时间点进行预测。
VAR模型考虑了变量之间的相互影响，在经济学、金融学等领域得到广泛应用。
模型原理VAR模型是基于向量的自回归模型，其基本思想是将多个变量组合成一个向量，然后对该向量进行自回归建模。
VAR模型可以表示为以下形式：VAR模型VAR模型其中，X_t是一个n\times1的向量，表示在时间点t上的多个变量的取值；A_1,A_2,…,A_p是一个n\times n的矩阵，表示自回归系数；U_t是误差项，通常假设为服从均值为0且方差为\Sigma的白噪声。
VAR模型需要估计自回归系数矩阵和白噪声方差矩阵。
估计方法可以使用最小二乘法或者极大似然法，具体选择的方法取决于模型中的假设条件。
模型应用VAR模型在经济学、金融学等领域广泛应用，常见的应用场景包括：1.宏观经济预测：VAR模型可以用于预测国民经济指标、通货膨胀率、利率等宏观经济变量。
通过分析过去的数据，可以建立一个VAR模型，然后用于预测未来的经济变量走势。
2.金融市场分析：VAR模型可用于分析金融市场的相关变量，例如股票价格、汇率、利率等。
通过建立VAR模型，可以评估不同变量之间的关系，从而帮助投资者做出更准确的决策。
3.宏观经济政策分析：VAR模型可以用于评估不同的宏观经济政策对经济变量的影响。
通过建立VAR模型，可以模拟在不同政策变化下的经济变量走势，从而指导决策者制定合适的宏观经济政策。
模型评估对于建立好的VAR模型，需要对其进行评估，以验证模型的有效性。
常用的模型评估方法包括：1.残差分析：通过对模型的残差进行分析，可以评估模型是否存在偏差或者哪些变量对模型的解释能力较差。
可以使用残差的自相关图、偏自相关图等图形方法进行分析。
2.模型拟合度评估：通过计算模型的决定系数（R-squared）、均方根误差（RMSE）等指标，可以评估模型的拟合程度。
资料：向量自回归模型__详解
资料：向量自回归模型__详解第十四章向量自回归模型本章导读：前一章介绍了时间序列回归，其基本知识为本章的学习奠定了基础。
这一章将要介绍的是时间序列回归中最常用的向量自回归，它独有的建模优势赢得了人们的广泛喜爱。
14.1 VAR 模型的背景及数学表达式VAR 模型主要应用于宏观经济学。
在VAR 模型产生之初，很多研究者（例如Sims ，1980和Litterman ，1976；1986）就认为，VAR 在预测方面要强于结构方程模型。
VAR 模型产生的原因在于20世纪60年代一大堆的结构方程并不能让人得到理想的结果，而VAR 模型的预测却比结构方程更胜一筹，主要原因在于大型结构方程的方法论存在着更根本的问题，并且结构方程受到最具挑战性的批判来自卢卡斯批判，卢卡斯指出，结构方程组中的“决策规则”参数，在经济政策改变时无法保持稳定，即使这些规则本身也是正确的。
因此宏观经济建模的方程组在范式上显然具有根本缺陷。
VAR 模型的研究用微观化基础重新表述宏观经济模型的基本方程，与此同时，对经济变量之间的相互关系要求也并不是很高。
我们知道经济理论往往是不能为经济变量之间的动态关系提供一个严格的定义，这使得在解释变量过程中出现一个问题，那就是内生变量究竟是出现在方程的哪边。
这个问题使得估计和推理变得复杂和晦涩。
为了解决这一问题，向量自回归的方法出现了，它是由sim 于1980年提出来的，自回归模型采用的是多方程联立的形式，它并不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
向量自回归通常用来预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动项对变量系统的动态影响。
向量自回归的原理在于把每个内生变量作为系统中所有内生变量滞后值的函数来构造模型，从而避开了结构建模方法中需要对系统每个内生变量关于所有内生变量滞后值的建模问题。
一般的VAR(P)模型的数学表达式是。
向量自回归模型讲义全
第8章VAR模型与协整1980年Sims提出向量自回归模型(vector autoregressive model )。
这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
8.1向量自回归(VAR)模型定义8.1.1 模型定义VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。
假设y〔t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型y1, t = f (y1, t-1, y 1, t-2, •)•y2, t = f (y2, t-i, y2, t-2, •)•则无法捕捉两个变量之间的关系。
如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。
VAR模型的结构与两个参数有关。
一个是所含变量个数N , —个是最大滞后阶数k。
以两个变量y i t，y2t滞后1期的VAR模型为例，y i, t = c i + ii.i y i, t-i + i2.i y2, t-i +u i ty2, t = C2 + 2i.i y i, t-i + 22.iy2, t-i +U2 t(8.i)其中U i t, U2 t IID (0,二2), Cov( u i t, U2 t)=0o写成矩阵形式是，u 1tl U2t\， 那么,含有N 个变量滞后k 期的VAR 模型表 示如下：Y t = c + 二 i Y t -i + 二 2 Y t -2 + …+ 二 k Y t -k+ U t ,U t IID (0,) (8.4)其中， Y t = ( y 1, t y 2, t …y N , t )'设， y 1t i 一ql 7111.1 1 7112.1 1 y,t_1 U 1t 1 Mt 一 =1 -C 2 一 + 1 / 21.1 71 22.1 一 I y 2,t —1 一 + 1 (8.2)Yt : _Y 1t 1 (1 「兀 11.1 H 12.1 ='V 2t - c = 1 ^c2 - n 一 1 = 1 21.1 7122.1 一 ,U t则，Y t = c + i Y t -i + U t(8・3)c = ( C 1 C 2 …C N )'-兀 11.jJI . 12.j ■-・ «■ iTF JI 1N.j 1 n兀 21. j a JI 22. j an 2N.j + 9 j - 71 N1.j 31 . N 2.j ■・■ JT‘ NN. j 一 =1,2,u t = ( u i t U2,t …U N t)',Y t为N 1阶时间序列列向量。
向量自回归var模型公式
向量自回归var模型公式向量自回归（VAR）模型是一种统计模型，广泛应用于经济学、金融学和其他社会科学领域。
该模型通过将多个变量的历史值与它们自己和其他变量的历史值建立联系来预测未来值。
本文将为您详细介绍VAR模型。
VAR模型中的向量表示一个包含多个变量的时间序列数据。
假设我们有P个变量，且时间序列的长度为T，则向量x_t表示一个大小为P的列向量，其中x_t^(i)表示第i个变量在t时刻的值。
因此，我们可以将所有时间序列数据表示为一个矩阵X，其中第t行表示x_t。
VAR模型的核心是向量自回归方程。
假设我们要预测向量x_t的值，我们可以使用两种方法。
第一种方法是依赖于过去的值来预测未来的值，这被称为自回归（AR）模型。
第二种方法是基于其他变量的值来预测向量x_t，这被称为多元回归模型。
VAR模型将这两种方法相结合，使得每个变量都可以同时受到它自身的历史值和其他变量的历史值的影响。
因此，VAR模型的一般形式可以表示为：X_t = c + A_1*X_(t-1) + A_2*X_(t-2) + ... + A_p*X_(t-p) + e_t其中，c是一个大小为P的常数向量，A_1，A_2，...，A_p是大小为P×P的系数矩阵，p是我们选择的时间滞后期数，e_t是一个大小为P的误差向量。
在VAR模型中，我们需要选择滞后期数p。
这个选择通常基于数据的特定性质和经验，一般使用信息准则（如AIC或BIC）或统计检验来确定最佳滞后期数。
VAR模型有许多应用，其中之一是预测未来的经济变量。
例如，我们可以使用VAR模型来预测通货膨胀率、利率和股票价格。
除了预测外，VAR模型还可以用于解释变量之间的相互关系，如在宏观经济学中，可以使用VAR模型来分析GDP、通货膨胀率、利率和就业率之间的关系。
在建立VAR模型时还需要注意一些问题。
首先，模型的系数必须是稳定的，即小扰动不会导致模型的爆炸性增长或衰减。
其次，模型的误差项必须是独立的和具有恒定的方差。
主题词 自向量回归 (var) 模型
自向量回归（VAR）模型是一种用于分析多变量时间序列数据的统计方法。
它可以帮助我们理解不同变量之间的相互关系，预测它们未来的变化趋势，并进行因果推断。
在本文中，我们将对VAR模型进行深入探讨，包括其基本原理、模型设定、参数估计和预测方法等方面。
一、基本原理VAR模型是由Sims（1980）提出的，它基于向量自回归（VAR）模型将多个时间序列变量表示成它们自身的滞后值的线性组合。
假设我们有p个时间序列变量，表示为Y_t=(y_1t, y_2t, …, y_pt)'，其中t表示时间，向量Y_t的期望和协方差分别为μ和Σ。
VAR模型可以写成如下形式：Y_t = μ + Φ_1Y_(t-1) + Φ_2Y_(t-2) + … + Φ_pY_(t-p) + ε_t其中Φ_1, Φ_2, …, Φ_p为p个参数矩阵，ε_t是一个p维白噪声过程。
通过对ε_t加入适当的分布假设，我们可以进行参数估计和假设检验。
二、模型设定在应用VAR模型时，需要考虑一些基本设定。
要确保所选取的时间序列变量之间是相互关联的，否则模型可能会失效。
要考虑时间序列变量的滞后阶数p，选择合适的滞后阶数可以帮助建立更准确的模型。
需要检验时间序列变量的平稳性和同阶整合性，如果时间序列变量是非平稳的，可能需要进行差分处理。
三、参数估计VAR模型的参数估计通常使用最大似然估计法或奇异值分解法。
最大似然估计法通过最大化似然函数来求取参数估计值，这要求时间序列变量的扰动项ε_t满足正态分布假设。
奇异值分解法则通过对VAR模型进行矩阵分解来求取参数估计值，它具有较好的数值稳定性和计算效率。
四、预测方法VAR模型的预测方法包括直接预测法和动态预测法。
直接预测法利用模型的滞后值来进行未来值的预测，它简单直观但可能忽略了变量之间的相互影响。
动态预测法则从已知数据点开始，逐步向前预测未来值，能够更好地捕捉变量之间的动态关系。
五、实证分析为了验证VAR模型的有效性，我们通常进行实证分析来检验模型的拟合度和预测能力。
181-演示文稿-向量自回归模型(VAR)
四、 VAR 模型的脉冲响应函数
• 我们已经论述了， VAR 模型不是建立在经济 理论基础之上的，是一种乏理论 (Atheoretic) 的模型，无需对变量作任何先验性的约束。
• 因此，在分析 VAR 模型时，往往不分析一个 变量的变化对对另一个变量的影响，而是分 析当一个误差（脉冲）项发生变化，也就是 模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这 种分析方法称为脉冲响应函数 (Impulse response function ， IRF) 分析法。
8
脉冲响应函数作用的原理
• 首先考虑下面的双变量 VAR(1) 模型
���xytt
���=
�0.5 ��0.2
00..31������xytt--11
���+
���uu12tt
� ��
(12.4.8)
假定 VAR 模型 (12.4.8) 式从第 0 期开始活动，并设 x-1= y-1=0
，设于第 0 期给定扰动项 u10=1 ， u20=0 ，并且其后均为 0 ， 即 u1t= u2t=0 （ t=1,2,… ），即第 0 期给 x 以脉冲，下面我们来 分析 x 和 y 在不同时期对来自 x 的脉冲 u10=1 的响应。
• 因 VAR 模型的每个方程中只包含内生变量及其滞后 项，它们与扰动项是 uit(i=1,2,…,n) 渐近不相关的， 所以可以用常规的最小二乘法依次估计每一个方程 ，得到参数的一致估计量。
• 即使扰动项有同期相关， OLS 估计仍然是适用的。 而且，在 VAR 模型中，各变量的滞后直接出现在模 型之中，由此导致扰动项序列不相关的假设并不严 格要求。
10
• 如果第 0 期给定扰动项 u20=1 ， u10=0 ，运用 同样的方法，可以求出 y 的脉冲引起的 x 和 y 的响应函数。
VAR模型ppt课件
预测总结
预测有许多前提假设： 假设是平稳过程；假设正态分布；是VAR（1）过
程；并且参数是估计的不是已知的。 所以需要检验这些假设是否正确。一个方法是把
预测值与实际值比较。 如果预测值都包含在相应的置信区间内。从预测
角度不能否认模型的正确性。
17
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T
BIC(p)=lndet(
ˆ
p)+
n2
p ln T T
n是向量维数，T样本长度，p滞后长度，ln表示自
然 后对 长数 度， 为dpe时t表，示残对差矩向阵量求白行噪列声式协，方差ˆ 阵p 是的当估滞计。
10
定阶
与单变量模型相同选择滞后长度存在以下缺陷： 1）选择不同的准则具有主观任意性。不同准则会得到不同
11
估计VAR模型
当滞后长度p确定以后，VAR（p）模型的未知参 数为 C, 1,, p ,
估计方法：每个方程用OLS法估计，可以得到的 一致估计量
12
预测
预测公式
YT (h) C 1YT (h 1) pYT (h p)
i h,YT (h i) YT hi
13
预测－VAR(1)
y2t 0.5y1t1 0.4 y2t2 e2t
其中
e1t e2t
是独立同分布向量白噪声过程
其方差协方差阵为
e
1 0
10
6
例2：结构VAR与标准VAR
标准化，或简化式
y1t y2t
0.05 0.5
1.04 0.4
y1t 1 y 2t 1
0 0
00.3
y1t 2 y2t2
1t 2t
实验十一 向量自回归模型(VAR模型)
1
协整
0、问题的提出
经典回归模型 （classical regression model）是建立在 稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典 回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。 由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制。 但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是 协整 的（ cointegration) ，则是可以使用经典回归模型方 法建立回归模型的。 例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中： 因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能， 其原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均 消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之 间是协整的（cointegration）。
12
二、协整检验的具体方法 （一）EG检验
假如Xt和Yt都是I (1)，如何检验它们之间是否存 在协整关系，我们可以遵循以下思路：
首先用OLS对协整回归方程 yt xt t 行估计。 进
然后，检验残差 e 是否是平稳的。因为如果Xt和 t Yt没有协整关系，那么它们的任一线性组合都是 非平稳的，残差 et 也将是非平稳的。
从协整的定义可以看出:
（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义 在于： 两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但 是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长 期稳定的比例关系。 例如：假设中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整， 并且将会看到，它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着 一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲， 建立如下居民人均消费函数模型
CPCt 0 1GDPPC t t
向量自回归模型
2、结构向量自回归模型 （Structural Vector Auto-Regression，SVAR）
添加标题
西姆斯（1986）以及布兰查德（Q.J.Blanchard）和匡赫（D.Quah）（1989）
添加标题
变量之间的当期关系揭示了变量之间的相互影响，实际上是对VAR模型施加了基于经济理论的限制性条件，从而识别变量之间的结构关系。
检验结果
4、几个应用中的实际问题
滞后期长度的选择问题
检验结果对于滞后期长度的选择比较敏感，不同的滞后期可能会得到不同的检验结果。 一般而言，需要进行不同滞后期长度下的检验，观察其敏感程度；并且根据模型中随机误差项不存在序列相关时的滞后期长度来选取滞后期。 例题中不同滞后期的检验结果
从2阶滞后期开始，检验模型都拒绝了“X不是Y的格兰杰原因”的假设，而不拒绝“Y不是X的原因”的假设。 滞后阶数为2或3时，两类检验模型都不存在序列相关性。 由赤池信息准则，发现滞后2阶检验模型拥有较小的AIC值。 可判断：可支配收入X是居民消费支出Y的格兰杰原因，而不是相反，即国民收入的增加更大程度地影响着消费的增加。
VAR(向量自回归)模型
系；确定滞后期。 3）VAR 模型没有参数的零约束。 4）VAR 模型中有相当多的参数需要估计。 一．向量自回归的条件似然函数 令 yt 表示包含时期 t 的 n 个变量的值，为 ( n ×1) 向量。假定 yt 的动 态服从 p 阶高斯向量自回归
yt = c + Φ1 yt −1 + Φ 2 yt − 2 + ... + Φ p yt − p + ε t
（ 5）
VAR ( p ) 系统中，每一个变量对常数项和它的 p 阶滞后值，同时对 VAR ( p ) 中的其他变量的 p 阶滞后值回归。每个回归中，其解释变量相
同。 例如 VAR（2）模型为
⎛ yt ⎞ ⎛ C111 C112 ⎞ ⎛ yt −1 ⎞ ⎛ C211 C212 ⎞ ⎛ yt − 2 ⎞ ⎛ u1t ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ xt ⎠ ⎝ C121 C122 ⎠ ⎝ xt −1 ⎠ ⎝ C221 C222 ⎠ ⎝ xt − 2 ⎠ ⎝ u2t ⎠
t =1 t =1
（27）
中间项是一个数量，所以运用迹算子
T ⎡T ⎤ 2∑ ε t′Ω −1 ( Π − Π )′ xt = trace ⎢ ∑ ε t′Ω −1 ( Π − Π )′ xt ⎥ t =1 ⎣ t =1 ⎦
⎡T ⎤ = trace ⎢ ∑ Ω −1 ( Π − Π )′ xt ε t′ ⎥ ⎣ t =1 ⎦
（22）
二． Π 的极大似然估计 命题 1： Π 极大似然估计 MLE 为
⎡T ⎤⎡ T ⎤ Π ′ = ⎢ ∑ yt xt′ ⎥ ⎢ ∑ xt xt′ ⎥ ⎣ t =1 ⎦ ⎣ t =1 ⎦
−1
（23）
第十一章_向量自回归(VAR)模型和向量误差修正(VEC)模型_理论及EVIEWS操作
19
表11.3
P AIC
AIC与SC随P的变化
SC
Lnl(P )
1 2 3 4
-5.3753 -5.6603 -5.8804 -5.6693
-4.8474 -4.7271 -4.5337 -3.9007
108.7551 120.0551 129.9676 132.5442
由表11.3知,在P=1时，SC 最小（-4.8474） ，在P=3时,AIC 最小（-5.8804），相互矛盾不 能确定P值，只能用似然比LR确定P值。
模型形式 （C t p）
(c 0 3) (c 0 0) (c 0 0)
DW值
1.6551 1.9493 1.8996
结论
LGDPt ～I(1) LCt ～I( 1) LIt～I(1)
LCt
2
LIt
2
注 C为位移项， t为趋势，p为滞后阶数。
由表11.1知， LGDPt、 LCt和LIt均为一阶单 整，可能存在协整关系。
待估参数个数为2 × 2×2= P N 2 用线性方程组表示VAR(2)模型：
y t 1 1 1 y t 1 1 1 2 x t 1 2 1 1 y t 2 2 1 2 x t 2 u 1t x t 1 2 1 y t 1 1 2 2 x t 1 2 2 1 y t 2 2 2 2 x t 2 u 2 t
4
政策分析。但实际中，这种模型的效果并不令人满 意。
联立方程组模型的主要问题：
（1）这种模型是在经济理论指导下建立起来的结构模型 。遗憾的是经济理论并不未明确的给出变量之间的动态关 系。 （2）内生、外生变量的划分问题较为复杂； （3）模型的识别问题，当模型不可识别时,为达到可识别 的目的，常要将不同的工具变量加到各方程中，通常这种 工具变量的解释能力很弱； （4）若变量是非平稳的（通常如此），则会违反假设， 带来更严重的伪回归问题。
VAR向量自回归模型
等式右边的变量相关
2
由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所 以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得 到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量
t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相
同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意， 由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消 除（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不要求 非常严格。
21
（二） 在Eviews软件关于VAR模型的各种检验 一旦完成VAR模型的估计，EViews会提供关于被
估 计 的 VAR 模 型 的 各 种 视 图 。 将 主 要 介 绍 View/Lag Structure和View/Residual Tests菜单下 提供的检验 。
22
1．VAR模型滞后结构的检验 (1) AR根的图表 如果被估计的VAR模型所有根模的倒数小于1，即 位于单位圆内，则其是稳定的。如果模型不稳定，某些 结果将不是有效的（如脉冲响应函数的标准误差）。共 有kp个根，其中k是内生变量的个数，p是最大滞后阶数。 如果估计一个有r个协整关系的VEC模型，则应有k r个 根等于1。 对于例3.1，可以得到如下的结果：
23
有2个单位根的 模大于1，因此例3.1 的模型不满足稳定 性条件，而且在输 出结果的下方会给 出警告(warning)。
24
下面给出单位根的图形表示的结果：
25
（2） Granger 因果检验 选择View/Lag Structure/ Pairwise Granger Causality Tests，即可进行Granger因果检验。输出结果对于VAR 模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞ytΒιβλιοθήκη a10 a（111) yt1
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可以看出，模型(8.46)对应的正是利用 OLS方法， 对Yjt进行回归得到的系数估计 值。
• 由于在VAR模型的随机扰动项服从独立同分 布时MLE和OLS估计出来的参数具有一致性， VAR模型采用OLS进行估计。 • STATA应用实例：美国通货膨胀率与短期利 率的VAR分析
三、格兰杰因果关系检验
二、VAR模型的估计与相关检验
• • • • • • VAR模型估计步骤： 1. 变量的选择 2. 是否需要平稳变量 3. 滞后的阶数 4. 估计的方法 5. 对估计结果的分析
• • • •
1. 变量的选取 研究需要 理论假设 数据可得性
• 2. 是否需要使用平稳变量？ • Sims, Stock, 和 Watson (1990)提出，非 平稳序列仍然可以放在VAR模型中，通过估 计结果分析经济、金融含义。 • 但是，如果利用VAR模型分析实际问题时， 使用非平稳序列变量，却会带来统计推断 方面的麻烦，因为标准的统计检验和统计 推断要求分析的所有序列必须都是平稳序 列。
• 指导性的原则： • 如果要分析不同变量之间可能存在的长期 均衡关系，则可以直接选用非平稳序列； • 如果分析的是短期的互动关系，则选用平 稳序列，对于涉及到的非平稳序列，必须 先进行差分或去除趋势使其转化成对应的 平稳序列，然后包含在VAR模型中进行进一 步分析。
• 3. 滞后阶数的选择 • 信息准则法（AIC或者SIC）
• STATA应用实例：继续 使用美国通货膨胀与 利率数据
• STATA应用实例：上证 综合指数收益率与标 准普尔500股指收益率
Yt C 1Yt 1 2Yt 2 L pYt p t
t : i.i.d .N (0, )
nT T 1 (1) MLE : l () ( ) ln(2 ) ( ) ln 2 2 1 T 1 (Yt X t ) (Yt X t ) 2 t 1 ˆ Yt X t X t X t t 1 t 1
( p) ( p) 11 y1,t 2 1t 12 L ( p) ( p) 21 22 y2,t 2 2t 例如, 如果y2,t j的系数都是0, y2t
第5讲
VAR模型
本讲内容
• • • • • 一、VAR模型介绍 二、VAR模型估计与相关检验 三、格兰杰因果关系检验 四、脉冲响应函数分析 五、VAR模型与方差分解
一、VAR模型介绍
• （一）VAR模型基本概念 • VAR模型研究不同变量之间的互动关系：例 如经济增长与货币供给之间的关系、货币 供给增长率与通货膨胀率之间的关系等 • 经济增长与货币供给之间的两变量VAR模型：
• 实际应用中，首先需要给定一个最大的滞 后期数，然后循环运用LR检验来判断最优 滞后期数。正因为如此，有些计量软件的 输出结果会显示“sequential LR test” （循环LR检验）的字样，实际上就是循环 地应用了以上介绍的LR检验过程。 • 多数原则、稳健性检验
• 4. 估计方法
• 虽然VAR模型系统比一维模型看上去复杂得 多，但是用来估计VAR的方法却并不一定很 繁难。常见的估计方法包括最大似然估计 （Maximum Likelihood Estimator，MLE） 和常见的最小二乘估计（OLS）。在特定条 件下，MLE与OLS估计获得的系数是完全相 同的。
为了深入地理解VAR模型的平稳性 条件，为了考虑含有2个变量的简单 VAR（1）模型：
y1t 1 1.6 y1,t 1 1t y 0.5 0.7 y 2,t 1 2t 2t
1 z 0.6 z ( z ) n 1 z 0 0.5 z 1 0.7 z (1 z )(1 0.7 z ) 0.3 z 0
T T 1
（2）OLS估计 如果熟悉OLS估计的系数矩阵表达式，很 容易看出，模型(8.45)就等于OLS估计的系 ˆ 的第j行明确地写出来，则为： 数矩阵。将 1 T T （ 8.46 ） ˆ
( j ) Y jt X t X t X t t 1 t 1
• 格兰杰因果关系检验经常被解释为在VAR模 型中，某个变量是否可以用来提高对其他 相关变量的预测能力。所以，“格兰杰因 果关系”的实质是一种“预测”关系，而 并非真正汉语意义上的“因果关系”。
考虑一个简单的两个变量的 VAR(p)模型 :
(1) y1t c1 11 y c (1) 2t 2 21 (1) (2) (2) y1,t 1 11 y1,t 2 12 12 (2) (1) (2) y y 22 2,t 1 21 22 2,t 2
LR 检验:
如果拒绝原假设，则称 y2t 是y1t的格兰杰 因果关系。 与此不同， y1t C1 1 y1,t 1 2 y1,t 2 L p y1,t p 1 y2,t 1 2 y2,t 2 L p y2,t - p 1t H 0 : 1 2 L p 0
(a)信息准则 2 pn 2 AIC ln T pn 2 ln(T ) SIC ln T
• 选择信息准则统计值最小时的滞后期数。
• 似然比检验法 简单地说，LR检验法就是比较不同滞 后期数对应的似然函数值。 具体地说，考虑VAR 与VAR ，并 且p2 p1。这样，分别估计对应的两个VAR ˆ 。LR检验统计量 ˆ 和 系统，获得相应的 2 1 定义为： ˆ ln ˆ ) （T ）( ln 1 2
pYt p t
E ( t ) 0 E ( t t ) E ( t s ) 0, 对于t s
一个两变量(VAR)模型的例子 Yt C Yt 1 t , y1t c1 11 12 y1,t 1 1t y y c 2t 2 21 22 2,t 1 2t c1 11 y1,t 1 12 y2,t 1 1t c2 21 y1,t 1 22 y2,t 1 2t
y1t y 2t Yt , t 1, 2, ynt
,T
• 那么，一个p阶VAR模型，即VAR(p)，定义为：
• C为n ×1维常数向量， i 为n ×n维自回归 t 为n ×1维向量白噪音，满足如 系数矩阵。 下关系：
Yt C 1Yt 1 2Yt 2
(1) 12
(2) 12
L
( p) 12
0
备择假设是这些系数中至少有一个不为0。
• 如果原假设成立，那么，我们会有：
(1) (2) y y c 11 0 y1,t 2 1t 1 11 0 1,t 1 y c (1) (1) y (2) (2) y 2t 2 21 22 2,t 1 21 22 2,t 2 ( p) 11 0 y1,t 2 1t L ( p) ( p) 21 22 y2,t 2 2t
2
z 0.75 z 2.5 0 z1 5 / 4, z2 2
2
• 在上面给出的例子中，很明显第一个等式 的自回归系数是1( 11 1 )，但是整个VAR(1) 系统是平稳的！所以，整个VAR模型系统的 平稳与否，千万不能单凭某一个等式中的 自回归系数判断，而是要考虑整个系统的 平稳性条件。这是因为，在只考虑单个等 式中的某个自回归系数时，却忽略了 和 之间的互动关系，整个VAR模型是一个互动 的动态系统！
gdpt c1 11 gdpt 1 12cpit 1 1t cpi c cpi gdp 2 21 t 1 22 t 1 2t t
• 更一般地，考虑一组时间序列变量：
y1t , y2t ,
, ynt
• 我们可以将其定义为一个n ×1维向量Yt：
• （二）VAR模型的平稳性条件
如果以下条件满足，则对应的VAR模型为平稳的: E (Yt ) E (Yt )(Yt ) 0 E (Yt )(Yt j ) j 其中， j定义的是 Yt 在第 j 期的自协方差矩阵。
对于一个VAR模型，其平稳条件是 ( z ) n 1 z 2 z 2 L p z p 0 的根落在单位圆外，其中 表示行列式符号。 ? 同样地，平稳条件也可以表述为 n p 1 p 1 2 p 2 L p 0 的根落在单位圆内。
E ( ) E (1t 2t ) 12 E ( t t) 2 2 E ( 2t 1t ) E ( 2t ) 21 2
2 1t 2 1
• VAR模型刻画了每个时间序列对所有时间序 列滞后项的回归。一个包含n个变量的 VAR(p)模型，如果每个等式都含有一个常数 项，那么VAR(p)系统一共包含的系数个数是？ 个。