初一数学讲义(学生版)

第一讲 和绝对值有关的问题

一、 知识结构框图：

二、 绝对值的意义：

(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；

③零的绝对值是零。

也可以写成： ()()()

||0a a a a a a ⎧⎪⎪

=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数

三、 典型例题

例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：

则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）

A ．是正数

B ．是负数

C ．是零

D ．不能确定符号

例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；

（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．无穷多个 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．

()()()()()()

1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离

可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .

第二讲：代数式的化简求值问题

一、知识链接

1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容. 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题

例1．若多项式(

)

x y x x x mx 5378522

2

2

+--++-的值与x 无关，

求()[]

m m m m +---45222

的值.

例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。

例3．当代数式532

++x x 的值为7时,求代数式2932

-+x x 的值.

例4． 已知012

=-+a a ，求200722

3

++a a 的值.

例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？

例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bc

bc ac ac ab ab c c b b a a x +++++=

， 则 12

3+++cx bx ax 的值是_______ 。

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在

射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线 ____上，

“2008”在射线___________上．

（2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为__________________________．

A B

D C

E F

O 1 7 2 8 3

9 4 10 5

11 6 12

例8． 将正奇数按下表排成5列:

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25

根据上面规律，2007应在

A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列

例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，

结果为k n 2（其中k 是使k

n

2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：

若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．

第三讲：与一元一次方程有关的问题

一、典型例题

例1．若关于x 的一元一次方程2332

x k x k

--+

=1的解是x=-1，则k 的值是（ ） A ．27 B ．1 C ．-1311

D ．0

例2．若方程3x-5=4和方程03

31=--x

a 的解相同，则a 的值为多少？

例3.（方程与代数式联系）

a 、

b 、

c 、

d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad d

c

b a -=.

（1）则2121-的值为 ；（2）当

185

)1(4

2

=-x 时，x = .

26

13

44

11

第一次

F ② 第二次

F ① 第三次

F ② …