绝对收敛与条件收敛

仍为莱布尼茨 交错级数
注
1 莱布尼茨定理中的条件(1)可换成:
un+1 ≤ un
2o {un }不单调
∞
(n ≥ N )
/
n =1
∑ (1)
∞
n 1
un ( un > 0) 发散;
n
2 + (1)n 2 + (1) 反例:对于 ∑ (1)n1 , un = >0 n n 2 2 n =1
虽然 {un }不单调, 事实上,
n =1 ∞ ∞
而 un = un 2vn , 由收敛级数的基本性质,
n =1
∑ un = ∑ un ∑ 2 vn 收敛.
n =1 n =1 ∞
∞
∞
∞
? ∞ u 绝对收敛 注 ∑ un收敛 ∑ n
n =1 n =1
n=1
∑ un , ∑ 2 vn
n=1
∞
∞
均收敛
例2 级数
sin n! ∑ 2 条件收敛,绝对收敛还是发散? n =1 n
Q S2n = (u1 u2 ) + (u3 u4 ) + L + ( u2 n 1 u2 n )
= S2n2 + (u2n1 u2n ) ≥ S2n 2 0 ≤ un 递减 + S2n = u1 (u2 u3 ) (u4 u5 )L (u2n2 u2n1) u2 n≤ u1 ∴ { S2n } 单调增加且有上界 ∴
3o {un }单调增加
n =1
( 1)n 1 un ( un > 0) 发散; (Q lim un ≠ 0) ∑
n→ ∞
∞
例1 证明交错级数: ∞ 1 1 n 1 1 n 1 1 = 1 p + p + L + ( 1) +L ∑ ( 1) p p 2 3 n n n =1 ( p > 0) 收敛,并估计其余项 rn . 1 解 因un = p → 0 ( n → ∞ ), 需证un递减趋于零 n 1 1 = un + 1 且 un = p ≥ p (n + 1 ) n
第十一章
第三节 任意项级数的审敛法
一,交错级数及其审敛法 二,绝对收敛与条件收敛
一,交错级数及其审敛法
1. 定义 交错级数 : 若交错级数满足:
( ) u1 u2 + u3 L + ( 1)n 1 un + L un > 0
定理11.6 (莱布尼茨审敛法)
lim un = 0 ,
1) un ≥ un + 1 ( n = 1 , 2 , L ) ;
2 3 u2k1 = 2k1 = < u2k = 2k , 2k 2 2 2 3 1 u2k = 2k > u2k+1 = 2k+1 2 2
∞
1
2 + (1)n un = 2n
∞ 2 + (1)n 1 n1 1 n 1 但 ∑ (1) = ∑[( ) n ] 收敛 n 2 2 2 n =1 n=1
∞ n ∞ 1 1 1) ∑ 收敛; 3) ∑ n 收敛. 发散; 2) ∑ n =1 2 n =1 n n =1 n ! ∞
n=1 ∞
例2-1 级数
n =1
∑
∞
cos nx n
p
( p > 1 )是绝对收敛,
条件收敛还是发散 ?
cos nx 1 ≤ p,Fra Baidu bibliotek解 因 p n n
又 p 级数
n = 1n
2 猜 ∑ un收敛,
∞
.
解2 由 0 ≤ un → 0, 得un < 1 ( n > N ),
于是 0 ≤
2 un
2 un 收敛 . ≤ un , 由比较法知∑
∞
∞ 1 1 注意 反之不成立. 例如, ∑ 2 收敛 , ∑ 发散 . n =1 n n =1 n
∞
n =1
备用题
例1-1 判定下列的敛散性: ∞ n1 1 1 1 n1 1 1) ∑ (1) = 1 + L (1) + + L 收敛 n n=1 2 3 n ∞ 1 1 n 1 1 n 1 1 = 1 + L + ( 1) + L 收敛 2) ∑ ( 1) 2! 3! n! n! n =1 ∞ n1 n 1 2 n1 n 3) ∑ (1) = 2 + L+ (1) +L 收敛 n 2 n 2 2 2 n=1 问题 上述级数的绝对值级数 ∑ v n 是否收敛 ?
1 n = lim 又 Q lim un = lim =0 10 n→ ∞ n→ ∞ n → ∞ n + 10 n+ n
( 1)n n 收敛. ∴ 由莱尼布茨判别法知 ∑ n + 10 n =1
( 1)n n 条件收敛. 综合1, 2 可知:∑ n + 10 n =1
∞
∞
注 1 用莱布尼茨判别法判断交错级数
∞ n
比值法判定
n =1
∑
∞
( n )n
n!
n = ∑ 发散 , n =1 n !
∞
n
( n ) 由定理 11 .9 知, ∑ 发散 . n!
n =1
*3. 绝对收敛级数性质 *性质1 (交换律) 绝对收敛级数不因改变项的位置
而改变其和.
∞
∞
*性质2 (分配律) 设 ∑ un与 ∑ vn 都绝对收敛, 其和
∞
解 Q
∴
∞ 1 sin n! 1 un = ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , 2 n n n = 1n
n =1
∑
∞
sin n! n
2
收敛
即
n=1
∑
∞
sin n! n
2
绝对收敛 .
( 1)n n 的敛散性. 例3 判定交错级数 ∑ n + 10 n =1
∞
解
n un = , vn = ( 1)n un n + 10
由莱布尼茨审敛法 知级数收敛, 1 且 rn ≤ un + 1 = (n + 1 ) p
注 1 取 p = 1, 得收敛级数
n =1
∑
∞
( 1 )n 1 = 1 1 + 1 L + ( 1 )n 1 1 + L
n
2 3 n
∞
和为 ln 2 ,即 ∑
= ln 2 (第五节) n n =1 绝对值级数 ∞ ∞ 1 n 1 1 2 ∑ ( 1) 收敛 , 但 ∑ 发散 . n n =1 n =1 n
n→ ∞
lim S2 n = S ≤ u 1
2 再证 lim S2n1 = S
n→∞
又 lim S2 n + 1 = lim ( S2 n + u2 n + 1 ) = lim S2 n = S
n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
∴
n→ ∞
lim Sn = S ,
故级数收敛于S, 且 S ≤ u 1 ,
Sn 的余项 : rn = S Sn = ± ( u n + 1 u n + 2 + L ) rn = un + 1 un + 2 + L ≤ un + 1 .
例 n1 1 0 < p ≤ 1; ∑(1) n p 收敛, 条件收敛, 如: ∞ n=1 ∞ n 1 1 ∞1 ( 1) ∑ p ∑ n p1p 发散. 但 ∑ 收敛 n n =1 n =1 n 绝对收敛, p > 1. n =1
∞
2. 定理 (绝对收敛与收敛的关系) 定理11.7 若级数 ∑ un 绝对收敛, 则该级数必收敛. n =1 ∞ 1 证 设 ∑ un 收敛 , 令vn = ( un un ) 2 n =1 则 0 ≤ vn ≤ un , 由比较审敛法知 ∑ vn 收敛,
1 Q f ′( x ) = 2 x ( x + 10 ) ( x + 10 )2 x
10 x = 2 x ( x + 10)2
< 0 ( x > 10) ∴ 当 x > 10时, f ( x )单调减少,
故当 n > 10 时,
f ( n + 1) < f ( n)
即
un +1 < un
( n > 10)
n =1
n =1
分别为 S ,σ , 则逐项相乘 ui v j , 并按任意顺序排列 得到的级数 ∑ wn 也绝对收敛, 其和为 Sσ .
故 ( ∑ un
n =1 ∞ ∞ n =1 ∞
) ( ∑ vn ) = ∑ ( u1vn + u2vn 1 + L + unv1 )
n =1
∞
n =1
= Sσ
柯西乘积
1o 绝对收敛性 1 n ≥ ( n ≥ 1) Q vn = un = n + 10 n + 10 1 而 ∑ 发散 , ∴ n =1n + 10
∞
n =1
∑ v n 发散
∞
2o 条件收敛性 n 递减,趋于零 分析 需判定 un = n + 10 n 令 x un = ( x > 0) = f (n), f ( x ) = n + 10 x + 10
∑
∞
1
p
( p > 1) 收敛 ,
故
n =1
∑
∞
cos nx n
p
收敛, 从而
n =1
∑
∞
cos nx
n
p
绝对收敛 .
例2-2 证明 ∑
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 .
1 ∑ n 4 收敛 , n=1
∞
证 (1) 因 sin n α ≤ 1 , 而 n4 n4
故
n=1
∑
∞
sin n α n
∞
例4 级数 解 Q
n =1
∑ n ! 是绝对收敛,条件收敛还是发 散? n =1 ∞ ( n )n ∞ nn ∑ n! = ∑ n! ,
n =1
∞
( n )
n
un + 1 (n + 1)n + 1 n ! 又 lim = lim n n → ∞ un n → ∞ (n + 1) ! n 1 n = lim (1 + ) = e > 1, ∴ n n→ ∞
内容小结(任意项级数审敛法)
=S 收敛 1. 利用部分和极限: lim Sn n→ ∞ 不存在 发散
2. 利用收敛的必要条件: lim un ≠ 0 发散
n→ ∞
3. 利用正项级数审敛法
比较审敛法 比值审敛法 根值审敛法
判 ∑ un 收敛 ∑ un收敛 判 ∑ un 发散 ∑ un 发散
2)
∞
n→ ∞
则 ∑ ( 1)
n =1
n 1
un 收敛 , 且其和 S ≤ u1 ,
称满足条件 1), 2)的级数 为莱布尼茨 交错级数
其余项满足 rn ≤ un + 1 .
证明思路: lim S2n = S, lim S2n1 = S lim Sn = S
n→∞ n→∞ n→∞
证 1 先证部分和数列S2n单调增加且有上界.
n =1 n =1 ∞ n =1 ∞ n =1 ∞
∞
∞
4. 莱布尼茨判别法: 交错级数 ∑ ( 1)n un收敛
n =1
思考题
由正项级数 ∑ un 收敛,
∞ n =1
∞
2 能否推出 ∑ un 收敛 ? n =1 2 un = lim un 解1 因 lim n→ ∞ n → ∞ un
=
n =1 2 (因un 较un小) ∞ 2 0,由比较法知∑ un 收敛 n =1
( 1 )n 1
问题:
n =1
∑ un与 ∑ un 敛散性的关系?
n =1
∞
∞
二,绝对收敛与条件收敛
1. 定义
()∑ un 绝对收敛: ∑ un 收 1 若 n =1 n =1 敛; (2 ∑ un 条件收敛: 若 ∑ un 收敛,但 ∑ un 发散. )
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
4
收敛,
因此 ∑
sin n α n4
n=1
绝对收敛 .
例2-3 证明 ∑ (1)
n=1
∞
n2 n e
n
绝对收敛 .
证明
令
n2 un = n , e
un + 1 因 lim = lim 2 n → ∞ un n→ ∞ n
(n + 1 2 )
en
e n+1
2
1 n + 1 1 = lim = <1 n→ ∞ e n e
n =1
( 1) n1 un ( un > 0) ∑
∞
是否收敛时,要考察{ un }是否单调减少,通常 有以下三种方法:
1 比值法:
o
un+1 ? ≤ 1 (n ≥ N ) un
?
2o 差值法: un + 1 un ≤ 0 ( n ≥ N ) 3o 函数法: 由un 找一个可导函数 f (x),
使 f ( n) = un , 再考察 f ′( x ) < 0 ?
则级数∑ un 发散 , 且 ∑ un 发散 .
证
un + 1 由 lim = ρ > 1, n → ∞ un un + 1 > un
n→ ∞ n→ ∞ ∞
可得 于是 从而
( n > N ),
lim un ≠ 0,
故 ∑ un 发散 .
n =1 ∞ ∞
lim un ≠ 0,
(用比值法或 ∑ u 发散 说明: ∑ un 发散 n n =1 n =1 根值法判)
∞ n2 n2 故 ∑ ( 1 ) n n 收敛, 因此 ∑ ( 1 ) n n 绝对收敛. e e n=1 n =1
∞
x 例3-1 判定 ∑ ( 1 ) sin ( x > 0 ) 的敛散性 . n n =1 x x x n 解 因 un = ( 1 ) sin = sin ~ (n → ∞ ) n n n ∞ x ∞ 而 ∑ 发散,由比较法知 ∑ un 发散, n =1 n n =1
2 关系
n =1
? ∑ un 发散 ∑ un 发散 (一般地)
n =1
n =1 ∞
∑ un 收敛 ∑ un收敛 √
n =1 ∞
∞
∞
但特殊地,有
定理11.9 设任意项级数 ∑ un满足
n =1
∞
un + 1 lim = ρ>1 n → ∞ un
∞ ∞ n =1 n =1
(或 lim
n
n→ ∞
un = ρ > 1)