运筹学 一般线性规划问题的数学模型
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运筹学基本常考要点
第三章 线性规划的对偶理论
1．1问题和对偶问题的对应关系：○1原问题目标函数求最大值，对偶问题目标函数求极小值；○2原问题约束条件的数目等于对偶问题决策变量的数目；○3原问题决策变量的树木等于对偶问题约束条件的数目；○4原问题的价值系数成为对偶问题的资源系数；○5原问题的资源系数成为对偶问题的价值系数；○6原问题的技术系数矩阵于对偶问题的技术系数矩阵互为专置；○7原问题约束条件问小于等于号，对偶问题约束条件为大于等于号；○8原问题决策变量大于等于零，对偶问题决策变量大于等于零。
1．2对偶单纯形法：○1构造初始单纯形表，要求检验书非负；○2判断约束条件右端项b是否全为非负，若是，则已得最优解；若b列还存在负分量，转下一步；○3选择出基变量：在b列的负分量中选取最小的分量min{bi|bi<0},该分量所在的行为主行，主行确定出基变量。○4选择入基变量：若主行中所有的元素均为非负，则问题无可行解；若主行中存在负元素，计算?=min{?j/-aij| aij<0}(这里的aij为主行中的元素)，最小比值发生的列所对应的变量即为入基变量；○5迭代运算：同单纯形发一样，对偶单纯形法的迭代过程也是一主元素为轴所进行的旋转运算。
方案的优化基本步骤：
在负检验数中找出最小的检验数，该检验数所对应的变量即为入基变量。在入基变量所处的闭合回路上，赋予入基变量最大的增量，即可完成方案的优化。在入基变量有最大增量的同时，一定存在原来的某一基变量减少为“0”，该变量即为出基变量。切记出基变量的“0”运量要用“空格”来表示，而不能留有“0”。
2．5增加一个新的变量的分析：○1将新增加变量的拘束系数向量P’反映进单纯形表，即P’=BB-1P；○2计算新增变量在最终单纯形表中的检验数?。○3若?非负则得最终形表，若为负则继续求解。
1．1问题和对偶问题的对应关系：○1原问题目标函数求最大值，对偶问题目标函数求极小值；○2原问题约束条件的数目等于对偶问题决策变量的数目；○3原问题决策变量的树木等于对偶问题约束条件的数目；○4原问题的价值系数成为对偶问题的资源系数；○5原问题的资源系数成为对偶问题的价值系数；○6原问题的技术系数矩阵于对偶问题的技术系数矩阵互为专置；○7原问题约束条件问小于等于号，对偶问题约束条件为大于等于号；○8原问题决策变量大于等于零，对偶问题决策变量大于等于零。
1．2对偶单纯形法：○1构造初始单纯形表，要求检验书非负；○2判断约束条件右端项b是否全为非负，若是，则已得最优解；若b列还存在负分量，转下一步；○3选择出基变量：在b列的负分量中选取最小的分量min{bi|bi<0},该分量所在的行为主行，主行确定出基变量。○4选择入基变量：若主行中所有的元素均为非负，则问题无可行解；若主行中存在负元素，计算?=min{?j/-aij| aij<0}(这里的aij为主行中的元素)，最小比值发生的列所对应的变量即为入基变量；○5迭代运算：同单纯形发一样，对偶单纯形法的迭代过程也是一主元素为轴所进行的旋转运算。
方案的优化基本步骤：
在负检验数中找出最小的检验数，该检验数所对应的变量即为入基变量。在入基变量所处的闭合回路上，赋予入基变量最大的增量，即可完成方案的优化。在入基变量有最大增量的同时，一定存在原来的某一基变量减少为“0”，该变量即为出基变量。切记出基变量的“0”运量要用“空格”来表示，而不能留有“0”。
2．5增加一个新的变量的分析：○1将新增加变量的拘束系数向量P’反映进单纯形表，即P’=BB-1P；○2计算新增变量在最终单纯形表中的检验数?。○3若?非负则得最终形表，若为负则继续求解。
运筹学线性规划
主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
4
例1.1：（计划安排问题） I 设备A(h) 0 设备B(h) 4 原材料(公斤) 2 利润(万元） 2 II 资源总量 3x2 15 3 15 0 12 s.t. 4x1 12 2 14 2x1+2x2 14 3 x1，x2 0 I,II生产多少, 可获最大利润?
s.t. x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 ,
…
, x7 0
12
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
0 3 1 0 0 15 4 0 0 1 0 X= 12 2 2 0 0 1 14
5
max Z= 2x1 +3x2
解:设 计划期内生产产品I、II的数量x1、x2 则该问题的数学模型为：
例1.2 成本问题
某炼油厂根据每季度需供应给合同单位汽油15万吨、煤油 12万吨、重油12万吨。该厂计划从A，B两处运回原油 提炼，已知两处的原油成分含量见表1－2；又已知从A 处采购的原油价格为每吨（包括运费）200元，B处采购 的原油价格为每吨（包括运费）290元, 问：该炼油厂该 如何从A，B两处采购原油，在满足供应合同的条件下， 使购买成本最小。 油品来源 A B min S 200x1 290x 2
解：(1) 确定可行域 x1 0 x1 =0 (横)
30
x2 0 x2=0 (纵) x1+2x2 30 x1+2x2 =30
4
例1.1：（计划安排问题） I 设备A(h) 0 设备B(h) 4 原材料(公斤) 2 利润(万元） 2 II 资源总量 3x2 15 3 15 0 12 s.t. 4x1 12 2 14 2x1+2x2 14 3 x1，x2 0 I,II生产多少, 可获最大利润?
s.t. x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 ,
…
, x7 0
12
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
0 3 1 0 0 15 4 0 0 1 0 X= 12 2 2 0 0 1 14
5
max Z= 2x1 +3x2
解:设 计划期内生产产品I、II的数量x1、x2 则该问题的数学模型为：
例1.2 成本问题
某炼油厂根据每季度需供应给合同单位汽油15万吨、煤油 12万吨、重油12万吨。该厂计划从A，B两处运回原油 提炼，已知两处的原油成分含量见表1－2；又已知从A 处采购的原油价格为每吨（包括运费）200元，B处采购 的原油价格为每吨（包括运费）290元, 问：该炼油厂该 如何从A，B两处采购原油，在满足供应合同的条件下， 使购买成本最小。 油品来源 A B min S 200x1 290x 2
解：(1) 确定可行域 x1 0 x1 =0 (横)
30
x2 0 x2=0 (纵) x1+2x2 30 x1+2x2 =30
运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学之线性规划引论
x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60
2x2 24 x1，x2 0
例2 合理配料问题
原料 A B Ｃ 每单位成本
1
4 10
2
2
6 12
5
3
1 71
6
4
2 53
8
每单位添 加剂中维生 12 14 8 素最低含量
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为xj(j =1,2,3,4)
4x1 + 6x2 + x3+2x4 12
s.t
x1 + x2 + 7x3+5x4 14
2x2 + x3 + 3x4 8
xj 0 (j =1,…,4)
例3、合理下料问题
2.9m 钢筋架子100个，每个需用 2.1m 各1，原料长7.4m
1.5m 求：如何下料，使得残余料头最少。 解：首先列出各种可能的下料方案；
X1+2X2 30
3X1+2X2 60
2x2 24 另外，产品数不能为负，即：
x1，x2 0
同时，我们有一个追求的目标---最大利润，即：
Max Z= 40x1 +50x2
综合上述讨论，在生产资源的消耗以及利润与产品产量成 线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放在一起，可 以建立如下的数学模型：
目标函数 约束条件
Max s.t
Z= 40x1 +50x2
j ＝1，2，3
Min Z= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
2x2 24 x1，x2 0
例2 合理配料问题
原料 A B Ｃ 每单位成本
1
4 10
2
2
6 12
5
3
1 71
6
4
2 53
8
每单位添 加剂中维生 12 14 8 素最低含量
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为xj(j =1,2,3,4)
4x1 + 6x2 + x3+2x4 12
s.t
x1 + x2 + 7x3+5x4 14
2x2 + x3 + 3x4 8
xj 0 (j =1,…,4)
例3、合理下料问题
2.9m 钢筋架子100个，每个需用 2.1m 各1，原料长7.4m
1.5m 求：如何下料，使得残余料头最少。 解：首先列出各种可能的下料方案；
X1+2X2 30
3X1+2X2 60
2x2 24 另外，产品数不能为负，即：
x1，x2 0
同时，我们有一个追求的目标---最大利润，即：
Max Z= 40x1 +50x2
综合上述讨论，在生产资源的消耗以及利润与产品产量成 线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放在一起，可 以建立如下的数学模型：
目标函数 约束条件
Max s.t
Z= 40x1 +50x2
j ＝1，2，3
Min Z= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
第1章 运筹学基础及应用-第六版
管理运筹学
OPERATIONS RESEARCH FOR MANAGEMENT SCIENCE
2020/4/24
.
1
第一章 线性规划及单纯形法
(Linear Programming & Simplex Method)
§1 一般线性规划问题的数学模型 §2 图解法 §3 单纯形法原理 §4 单纯形法的计算步骤 §5 单纯形法的进一步讨论 §6 数据包络分析(DEA) §7 应用举例
2x1+2x2 12
s.t.
4x1
16
5x2 15
x1，x2 0
注意模型特点
2020/4/24
.
5
附例 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中获得 3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的 钙。如果市场上只有四种食品可供选择， 它们每千克所含的热量和营养成分和市场 价格见下表。问如何选择才能在满足营养 的前提下使购买食品的费用最小？
每一个线性规划问题都用一组决策变量 x1,x2,xn
表示某一方案，这组决策变量的值代表一个具体方案。一般 这些变量的取值是非负且连续的；
都有关于各种资源和资源使用情况的技术数据，创造新价值 的数据；
a ij;cj;b i(i 1 ,Lm ;j 1 ,Ln )
存在可以量化的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等 式或线性不等式来表示;
s.t.
La21Lx1LaL22Lx2LLL
a2nxn LLL
（或,）b2 LL
am1x1 am2x2 L amnxn （或,）bm
x1, x2,L , xn 0
2020/4/24
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15
线性规划模型的简写形式(求和符号)
OPERATIONS RESEARCH FOR MANAGEMENT SCIENCE
2020/4/24
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1
第一章 线性规划及单纯形法
(Linear Programming & Simplex Method)
§1 一般线性规划问题的数学模型 §2 图解法 §3 单纯形法原理 §4 单纯形法的计算步骤 §5 单纯形法的进一步讨论 §6 数据包络分析(DEA) §7 应用举例
2x1+2x2 12
s.t.
4x1
16
5x2 15
x1，x2 0
注意模型特点
2020/4/24
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5
附例 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中获得 3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的 钙。如果市场上只有四种食品可供选择， 它们每千克所含的热量和营养成分和市场 价格见下表。问如何选择才能在满足营养 的前提下使购买食品的费用最小？
每一个线性规划问题都用一组决策变量 x1,x2,xn
表示某一方案，这组决策变量的值代表一个具体方案。一般 这些变量的取值是非负且连续的；
都有关于各种资源和资源使用情况的技术数据，创造新价值 的数据；
a ij;cj;b i(i 1 ,Lm ;j 1 ,Ln )
存在可以量化的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等 式或线性不等式来表示;
s.t.
La21Lx1LaL22Lx2LLL
a2nxn LLL
（或,）b2 LL
am1x1 am2x2 L amnxn （或,）bm
x1, x2,L , xn 0
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线性规划模型的简写形式(求和符号)
第一章 线性规划
星期 一 二 三 四
需要人数 300 300 350 400
星期 五 六 日
需要人数 480 600 550
第二节 线性规划问题解的图解法
• 一、线性规划标问题的标准形式：
– 1、所有变量必须是非负的 – 2、所有的约束条件（不包括非负限制）必须 是等式 – 3、目标函数必须是最小值
序号
食品 名称
热量
（大卡） 大卡）
蛋白质
（克）
钙
（毫克） 毫克）
脂肪
价格
（克） （元/千克） 千克） 千克
1 2 3 4 5 6 7 8
猪肉 牛肉 芝麻 鸡蛋 大米 白菜 面粉 豆角
395 125 517 144 346 17 344 30
50 19.9 18.4 13.3 7.4 1.5 11.2 2.5
产品 消耗 原料
原料总量（千克）
甲
乙
丙
A B C
产品单价（百元）
1 5 0 2
4 2 2 4
2 3 5 5
4500 6300 3800
• 例2.某工厂熔炼一种新型不锈钢，需要用四种 合金ABCD为原料，经测这四种原料关于元素 铬、锰和镍的含量、单价，以及这种不锈钢所 需铬、锰和镍的最低含量，如表所示：
产品 消耗 原料
A
B
C
D 2.67 4.66 1.37 9.91
不秀钢所需各元素 的最低含量
1.89 3.57 5.32 单价（万元/吨） 13.6 铬 锰 镍
3.46 4.26 2.11 1.45 4.25 2.72 15.8 10.02
3.25 2.15 4.55
二、线性规划问题的数学模型的一般形式
第一节线性规划问题及其数学模型
运筹学第二章
例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm
线性规划问题的数学模型
x1 =1, x2 =2, x3 =x4 =x5 =0 f= 2×1+3×2=8 用非基变量表示目标函数 f= 8 - 3x3 –5x4 - 1x5
式中所有非基变量的系数均是负数，意味着目标函数值不 可能再增加，故此时的基本可行解就是最优解，最优值为8
2．最优性检验
由标准形等式约束条件得
代入目标函数进行简单的运算后，用非基变量表示目标函数为
某工厂生产A 、B两种产品，现有资源数、生产每单位产品所需原 材料数以及每单位产品可得利润如下表所示。问如何制定生产计划使两 种产品总利润最大？
单位产品
产品
耗用资源
资源
铜（吨）
电力（千瓦）
劳动日（个）
单位利润 （万元/公斤）
A（公斤）
9 4 3 7
B（公斤）
4 5 10 12
现有资源
360 200 300
解 ： x2
例4 若把例3改为使的目标函数的值最 大，从图可看出目标函数无上界，因此 无最优解
X1+2x2=0
X1-x2=1
2X1+2x2=16
x1 0
2X1+2x2=6 2X1+2x2=10
2X1+2x2=2 最优解 X1=1，x2=0, 目标函数最小值 s=2
例5 求x1、x2的值，使它们满足 并且使目标函数s=2 x1+2x2的值最小。
3. 单纯形表
用表格的形式来表示上面求解线性规划问题的单纯形法的计算过程可以 使计算和检验更加简便。具体方法如下：
将目标函数式改写为-f+ c1 x1 + c2 x2 +…+ cnxn =0 且作为等式约束方程 组的第m+1个方程，得
式中所有非基变量的系数均是负数，意味着目标函数值不 可能再增加，故此时的基本可行解就是最优解，最优值为8
2．最优性检验
由标准形等式约束条件得
代入目标函数进行简单的运算后，用非基变量表示目标函数为
某工厂生产A 、B两种产品，现有资源数、生产每单位产品所需原 材料数以及每单位产品可得利润如下表所示。问如何制定生产计划使两 种产品总利润最大？
单位产品
产品
耗用资源
资源
铜（吨）
电力（千瓦）
劳动日（个）
单位利润 （万元/公斤）
A（公斤）
9 4 3 7
B（公斤）
4 5 10 12
现有资源
360 200 300
解 ： x2
例4 若把例3改为使的目标函数的值最 大，从图可看出目标函数无上界，因此 无最优解
X1+2x2=0
X1-x2=1
2X1+2x2=16
x1 0
2X1+2x2=6 2X1+2x2=10
2X1+2x2=2 最优解 X1=1，x2=0, 目标函数最小值 s=2
例5 求x1、x2的值，使它们满足 并且使目标函数s=2 x1+2x2的值最小。
3. 单纯形表
用表格的形式来表示上面求解线性规划问题的单纯形法的计算过程可以 使计算和检验更加简便。具体方法如下：
将目标函数式改写为-f+ c1 x1 + c2 x2 +…+ cnxn =0 且作为等式约束方程 组的第m+1个方程，得
1-1一般LP问题的数学模型
目标函数为极大化，约束条件全部为等号约束，所有变 量全部是非负的，这样的线性规划模型称为标准形式 maxz=c1x1+c2x2+……+cnxn 标准形式特点：
1. 目标函数为求极大值； 2. 约束条件全为等式； 3. 约束条件右端常数项全为非负； 4. 决策变量取值非负。
s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn ＝b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn ＝bm x1, x2, ……, xn ≥0
Max z=2x1+3x2 s.t. x1+x2≤3 x2≤1 x1, x2≥0
(A)
Min z’=-2x1-3x2 s.t. x1+x2≤3 x2≤1 x1, x2≥0
(B)
它们的最优解都是x1=2, x2=1，但(A)的最大化的目标函数 值为max z=7，(B)的最小化的目标函数值为min z’=-7
一、 线性规划模型的举例
1、生产计划问题
例1 某厂生产甲乙两种产品，生产工艺路线为：各自的零部
件分别在设备A、B加工，最后都需在设备C上装配。经测算 得到相关数据如表所示。应如何制定生产计划，使总利润为 最大。 产品 工时消耗 生产能力 h 设备 甲 乙 A 2 0 16 B 0 2 10 C 3 4 32
max(min) z CX s.t . AX ( , )b X ()0, Free
MaxZ =CX s.t. AX=b X≥0
5.线性规划问题的标准化 ①极小化目标函数转化为极大化 ②小于等于约束条件转化为等号约束
③大于等于约束条件转化为等号约束
1. 目标函数为求极大值； 2. 约束条件全为等式； 3. 约束条件右端常数项全为非负； 4. 决策变量取值非负。
s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn ＝b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn ＝bm x1, x2, ……, xn ≥0
Max z=2x1+3x2 s.t. x1+x2≤3 x2≤1 x1, x2≥0
(A)
Min z’=-2x1-3x2 s.t. x1+x2≤3 x2≤1 x1, x2≥0
(B)
它们的最优解都是x1=2, x2=1，但(A)的最大化的目标函数 值为max z=7，(B)的最小化的目标函数值为min z’=-7
一、 线性规划模型的举例
1、生产计划问题
例1 某厂生产甲乙两种产品，生产工艺路线为：各自的零部
件分别在设备A、B加工，最后都需在设备C上装配。经测算 得到相关数据如表所示。应如何制定生产计划，使总利润为 最大。 产品 工时消耗 生产能力 h 设备 甲 乙 A 2 0 16 B 0 2 10 C 3 4 32
max(min) z CX s.t . AX ( , )b X ()0, Free
MaxZ =CX s.t. AX=b X≥0
5.线性规划问题的标准化 ①极小化目标函数转化为极大化 ②小于等于约束条件转化为等号约束
③大于等于约束条件转化为等号约束
运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
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• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
运筹学基础-线性规划(2)
四、线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学； 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。
为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标
准型可以转化为标准型计算
（一）线性规划的标准形式
线性规划的标准形式为： 目标函数最大化 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a 约束条件为等式， 11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm 右端常数项 决策变量非负 bi≥0 x1,x2,…,xn ≥0
S.t.
（2）maxZ’= - 6 x1 -7 x2 + x’3－ x’’3 +0 x4 + 0 x5 + 0 x6+ 0 x7
S.t.
五、线性规划解的概念
在讨论线性规划问题的求解之前,先要了解线性规划问 题的解的概念。由前面讨论可知线性规划问题的标准型为：
Max Z
j 1 n a ij x j b j (i 1,2, , m) j 1 x j 0 ( j 1,2, , n)
=- x1 + 8 求解 x4 = -2x2 + 12 x5= -3x1 -4 x2+ 36 令非基变量x1=x2=0，得到x3=8，x4=12，x5=36。 得基解 X=(0,0,8,12,36)T
（二）标准型的表达方式
线性规划标准型的表达方式有代数式、矩阵式两种：
1. 代数式 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm x1,x2,…,xn ≥0 maxZ=
运筹学(重点)
两个约束条件
(1/3)x1+(1/3)x2=1
及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
－－图中阴影区, 就是满足所有约束条件和非负
条件的点的集合, 即可行域。在这个区域中的每
一个点都对应着一个可行的生产方案。
22
5–
最优点
4–
l1 3B E
2D
（1/3）x1+(4/3)x2=3
l2 1–
0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
运筹学 Operational Research
运筹帷幄，决胜千里
史记《张良传》
1
目录
绪论 第一章 线性规划 第二章 运输问题 第三章 整数规划 第四章 动态规划 第五章 目标规划 第六章 图与网络分析
2
运筹学的分支 数学规划: 线性规划、非线性规划、整数规划、 动态规划、目标规划、多目标规划 图论与网络理论 随机服务理论: 排队论 存储理论 决策理论 对策论 系统仿真: 随机模拟技术、系统动力学 可靠性理论
32
西北角
(一)西北角法
销地
产地
B1
0.3
A1
300
0.1 A2
0.7 A3
销量 300
B2
1.1
400
0.9
200
0.4
600
B3
0.3
0.2
200
1.0
300 500
B4
产量
1.0
700 ②
0.8
400 ④
0.5
600
900 ⑥
600
2000
①
③
⑤
⑥
34
Z
cij xij 0.3 300 1.1 400 0.9 200
运筹学
线性规划及单纯形法线性规划问题及其数学模型两个变量问题的图解法单纯形法原理单纯形法计算步骤人工变量及其处理方法应用举例线性规划问题及其数学模型一、问题的提出资源有限和目标确定在生产管理和经营活动中，经常会遇到两类问题：一类是（资源有限）如何合理的使用现有的劳动力、设备、资金等资源，以得到最大的效益；另一类是（目标一定）为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等，以使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原材料等）为最少。
例：(1)配载问题：某种交通工具（车、船、飞机等）的容积和载重量一定，运输几种物资，这些物资有不同的体积和重量，如何装载可以使这种运输工具所装运的物资最多？(2)下料问题：某厂使用某种圆钢下料，制造直径相同而长度不等的三种机轴，采用什么样的下料方案可以使余料为最少？(3)物资调运：某种产品有几个产地和销地，物资部门应太如何合理组织调运，从而既满足销地需要，又不使某个产地物资过分积压，同时还使运输费用最省？(4)营养问题：各种食品所含营养成分各不相同，价格也不相等，食堂应该如何安排伙食才能既满足人体对各种营养成分得需要，同时又使消费者得经济负担最少？此外，在地质勘探、环境保护……等方面也都有与上述情况类似的问题。
例1某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生素。
生产每吨药品所需要的维生素量分别为30K g，20K g，所占设备时间分别为5台班，1台班，该厂每周所能得到的维生素量为160k g，每周设备最多能开15个台班。
且根据市场需求，甲种产品每周产量不应超过4t。
已知该厂生产每吨甲、乙两种产品的利润分别为5万元及2万元。
问该厂应如何安排两种产品的产量才能使每周获得的利润最大？解：设该厂每周安排生产甲、乙两种药品的产量分别为x 1,x 2吨，则有例2 喜糖问题设市场上有甲级糖和乙级糖，单价分别为20元/斤，10元/斤。
今要筹办一桩婚事，筹备小组计划怎样花费不超过200元，使糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不少于5斤。
线性规划问题及其数学模型
就代表一个具体方案一般这些变量取值是非负 且连续的；
2要有各种资源和使用有关资源的技术数据 创造新价值的数据；
a i; jcj(i1 , m ;j1 , n)
共同的特征继续
3 存在可以量化的约束条件这些约束条件可 以用一组线性等式或线性不等式来表示;
4 要有一个达到目标的要求它可用决策变量 的线性函数称为目标函数来表示按问题的 不同要求目标函数实现最大化或最小化
约束条件：
a
21
x1
a22
x
2
a2n xn
b2
a
m
1
x1
am 2 x2
a mn xn
bn
x1 , x2 , , xn 0
线性规划问题的几种表示形式
M
' 1
:
n
目标函数：max z c j x j
j 1
约束条件：
n
aij x j
j 1
bi ,
i 1,2, ,m
x
j
0,
j 1,2, ,n
弛变量x6； 3 在第二个约束不等式≥号的左端减去剩
余变量x7； 4 令z′= -z把求min z 改为求max z′即可得到
该问题的标准型
例4的标准型
max z ' x1 2 x 2 3( x 4 x5 ) 0 x6 0 x7
x1 x2 ( x4 x5 ) x6
7
x1 x2 ( x4 x5 )
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2 x1 1
0.8 x1 x2 1.6 x1 2 x2 1.4 x1 , x2 0
2要有各种资源和使用有关资源的技术数据 创造新价值的数据；
a i; jcj(i1 , m ;j1 , n)
共同的特征继续
3 存在可以量化的约束条件这些约束条件可 以用一组线性等式或线性不等式来表示;
4 要有一个达到目标的要求它可用决策变量 的线性函数称为目标函数来表示按问题的 不同要求目标函数实现最大化或最小化
约束条件：
a
21
x1
a22
x
2
a2n xn
b2
a
m
1
x1
am 2 x2
a mn xn
bn
x1 , x2 , , xn 0
线性规划问题的几种表示形式
M
' 1
:
n
目标函数：max z c j x j
j 1
约束条件：
n
aij x j
j 1
bi ,
i 1,2, ,m
x
j
0,
j 1,2, ,n
弛变量x6； 3 在第二个约束不等式≥号的左端减去剩
余变量x7； 4 令z′= -z把求min z 改为求max z′即可得到
该问题的标准型
例4的标准型
max z ' x1 2 x 2 3( x 4 x5 ) 0 x6 0 x7
x1 x2 ( x4 x5 ) x6
7
x1 x2 ( x4 x5 )
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2 x1 1
0.8 x1 x2 1.6 x1 2 x2 1.4 x1 , x2 0
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
运筹学基础及应用第五版胡运权第一章
问题的提出 某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2、1、4、0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2、2、0、4h。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12h，又知每生产一件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品Ⅱ企业能获得3元利润，问企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大。
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
运筹学第1章线性规划及单纯形法复习题
max (min)
Z = CX
AX ≤ ( = , ≥ ) b X ≥ 0
3、线性规划的标准形式 、
ma0
4、线性规划问题的解 、 （一）求解方法
一 般 有 两种方法 图 解 法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
适用于任意多个变量、 适用于任意多个变量、但需将 一般形式变成标准形式
（二）线性规划问题的解
1、解的概念 可行解：满足约束条件② 的解为可行解。 ⑴ 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 最优解： 达到最大值的可行解。 ⑵ 最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。 ⑶ 基：B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵 是矩阵A ≠0）， ），则 是一个基。 （∣B∣≠0），则B是一个基。
§2 图 解 法
例一、 例一、 max
Z = 2 x 2 x 2 x 4 x
2 2 1
+ 3 x
2
2 x1 + x + 1 4 x1 x1 ≥
≤ 12 ≤ 8 ≤ 16 ≤ 12
2
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
2
0, x
≥ 0
max
Z = 2 x1 + 3 x 2 x 2 x
2 2
当xj=0时, 必有 j=zj=0, 因此 时 必有y
∑P x = ∑P y = ∑P z
j =1
r
r
r
r
j
j
j =1
j
j
j =1
j
j
=b
∑(y
j =1
j
− z j ) Pj = 0
运筹学中中的数学问题及模型
( Min) Max Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a x a x a x (, )b 22 2 2n n 2 21 1 a x a x a x (, )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 , , xn 0
第一章
运筹学中的几个数学问 题及模型
本章主要介绍运筹学中的几个数学问题及模型，即 线性规划问题、运输问题、图与网络优化技术等。学习 的重点是基本概念。 1.线性规划问题及其数学模型问题 2.运输问题 3.树和最小支撑树问题 4.最短路径问题 5.网络最大流问题 6.最小费用最大流问题 7.中国邮递员问题 8. NP-完备性
线性规划问题的标准型
Max Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 , , xn 0
，其收入应为：w = 8y1 + 16y2 + 12y3 。
从工厂的决策者来看，当然希望 w 的值越大 越好；但从接受者的角度来看，他支付的越少越 好。所以工厂决策者只能在满足 所有产品的单 位利润条件下，使其总收入尽可能地小，才能实 现工厂决策者的意愿。为此需要解如下的线性规 划问题： Min w 8 y1 16 y2 12 y3
并且如果网络上的一个可行流f一定是d上的最大流而v一定是d的所有的截集中截量最小的一个即最小截集63定理51网络中的一个可行流f是最大流的充分必要条件是不存在关于f定理52在一个网络d中最大流的流量等于分离v64如果存在一条从v的增广路这时取调整量minmincijminfij其它不变再去掉所有的标号对新的可行流ffij65在实际的网络系统中当涉及到有关流的问题的时候我们往往不仅仅考虑的是流量还经常要考虑费用的问题
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a
x 图1-1
解：一般方法是在铁皮的四个角上剪去四个边长各为x的正方形，折叠做成一个容器，则容积 为V=(a-2x)2·x。要让容积最大即确定x(0 ≤x ≤a )的值，使V达到最大。
2010年8月
管理工程
《运筹学》 6
例1.2
Max z = 2 x1 + 3 x2
2 x1 +2 x2 ≤12
x1 +2 x2 ≤8
《运筹学》 1
运
筹
帷
幄
线性规划
之
中
Linear Programming
2010年8月
决 胜 千 里 之 外
管理工程
《运筹学》 2
第一章 线性规划及单纯形法
一般线性规划问题的数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法的计算步骤 单纯形法的进一步讨论 应用举例
2010年8月
管理工程
《运筹学》 3
2010年8月
管理工程
《运筹学》 13
2. 一般形式的其它写法
① 求和形式
n
max(min)z c j x j j 1 n
aijx j , bi (i 1,2, , m)
j 1
x j 0( j 1,2, , n)
2010年8月
管理工程
《运筹学》 14
②向量形式
目标函数： Max（Min）z = CX
约束条件：s.t.
n
Pj x jX≥0( 或 )b
j 1
其中C=(c1 , c2, … , cn)
x1
X
x2
xn
a1 j
Pj
a2
j
amj
b1
b
b2
bm
2010年8月
管理工程
《运筹学》 15
③ 矩阵形式
max(min) z CX
AX b
X 0
x1 79年，Khachiyan，1984年，Karmarkaa研究成功线性规划的多项式算法。 另外，很多现代算法研究如进化、神经网络等。
2010年8月
管理工程
《运筹学》 5
二、问题的提出 例1.1 用一块长为a的正方形铁皮做一个容器，
应如何剪裁，使做成的容器的容积为最大 （见图1-1）
2010年8月
管理工程
《运筹学》 9
设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原料 根数。建立数学模型如下 目标函数： Min z=0.1x2 + 0.2x3 + 0.3x4 + 0.8x5
约束条件： s.t. x1 + 2 x2 + x4 = 100 2 x3 + 2 x4 + x5 = 100 3 x1 + x2 + 2 x3 + 3 x5 = 100 x1, x2 , x3 , x4, x5 ≥ 0
2010年8月
管理工程
《运筹学》 10
总结提出问题
类似的例子可以举出很多。归结起来有两种情况：
一是给定资源，如何充分利用
二是给定计划，研究如何统筹安排，用最少的人力物力去完成
都是求极值的问题，有些问题可以用微积分解决，
但例中除了要求变量非负外带了很多附加条件，解决这类问题就是运筹学 中规划论研究的内容。
m的圆钢各一根，已知原料每根长7.4 m。应如何下料， 可使所用原料最省？
解：共可设计下列5 种下料方案
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5
1
2
0
1
0
0
0
2
2
1
3
1
2
0
3
7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
0 0.1 0.2 0.3 0.8
决策变量
b1
b
b2 bn
常数项
2010年8月
管理工程
《运筹学》 16
a11 a12
A
a21 am1
a22 am2
a1n
a2n
amn
aij
mn
C c1 c2 cn 价值系数
系数矩阵
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四、线性规划数学模型的建立 1.建模条件 (1)优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值（max 或 min）来表
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《运筹学》 11
三、线性规划的数学模型
◆线性规划的三个要素 • 决策变量：（x1，x2），一组值代表一个方案 • 目标函数：max或min • 约束条件：不等式或等式
◆线性规划：目标函数、约束条件均为线性函数
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1. 一般形式 决策变量： X = (x1,x2,…..,xn)T 目标函数：max(min z) = c1 x1 + c2 x2 + …+ cnxn 约束条件：
4x1
≤16
4 x2 ≤12
x1 ， x2 ≥0
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例1.3 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所 需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表。问题：工 厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
Ⅰ
设备
1
原料 A
2
原料 B
0
单位产品获利 50 元
Ⅱ 1 1 1 100 元
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
Max z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤300 2 x1 + x2 ≤400 x2 ≤250 x1 ， x2 ≥0
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例1.4 套裁下料问题 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1m,1.5
示；
(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的线性等式或线性不 等式表示；
a11x1 + a12 x2 +……..+ a1n xn ≤(=≥) b1 a21x1 + a22 x2 +……..+ a2n xn ≤(=≥) b2 ………………………………………… am1x1 + am2 x2 +……..+ amn xn ≤(=≥) bm x1,x2,……xn≥0 其中，“max(min z) ”是 “maximize(minimize)的缩写，含义为“最大化(最小化)”
第一节 一般线性规划问题的数学模型
线性规划问题的数学模型 线性规划问题的标准型及其标准化 线性规划问题解的含义
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一、线性规划的发展 1939年，前苏联数学家康托洛维奇用线性模型研究提高组织和生产效率问题 1947年，Dantzig提出求解线性规划的单纯形法 1950-1956年，主要研究线性规划的对偶理论 1958年，发表整数规划的割平面法 1960年，Dantzig和Wolfe研究成功分解算法，奠定了大规模线性规划问题理论和算法的
x 图1-1
解：一般方法是在铁皮的四个角上剪去四个边长各为x的正方形，折叠做成一个容器，则容积 为V=(a-2x)2·x。要让容积最大即确定x(0 ≤x ≤a )的值，使V达到最大。
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《运筹学》 6
例1.2
Max z = 2 x1 + 3 x2
2 x1 +2 x2 ≤12
x1 +2 x2 ≤8
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运
筹
帷
幄
线性规划
之
中
Linear Programming
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决 胜 千 里 之 外
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《运筹学》 2
第一章 线性规划及单纯形法
一般线性规划问题的数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法的计算步骤 单纯形法的进一步讨论 应用举例
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《运筹学》 3
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2. 一般形式的其它写法
① 求和形式
n
max(min)z c j x j j 1 n
aijx j , bi (i 1,2, , m)
j 1
x j 0( j 1,2, , n)
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②向量形式
目标函数： Max（Min）z = CX
约束条件：s.t.
n
Pj x jX≥0( 或 )b
j 1
其中C=(c1 , c2, … , cn)
x1
X
x2
xn
a1 j
Pj
a2
j
amj
b1
b
b2
bm
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③ 矩阵形式
max(min) z CX
AX b
X 0
x1 79年，Khachiyan，1984年，Karmarkaa研究成功线性规划的多项式算法。 另外，很多现代算法研究如进化、神经网络等。
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二、问题的提出 例1.1 用一块长为a的正方形铁皮做一个容器，
应如何剪裁，使做成的容器的容积为最大 （见图1-1）
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设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原料 根数。建立数学模型如下 目标函数： Min z=0.1x2 + 0.2x3 + 0.3x4 + 0.8x5
约束条件： s.t. x1 + 2 x2 + x4 = 100 2 x3 + 2 x4 + x5 = 100 3 x1 + x2 + 2 x3 + 3 x5 = 100 x1, x2 , x3 , x4, x5 ≥ 0
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总结提出问题
类似的例子可以举出很多。归结起来有两种情况：
一是给定资源，如何充分利用
二是给定计划，研究如何统筹安排，用最少的人力物力去完成
都是求极值的问题，有些问题可以用微积分解决，
但例中除了要求变量非负外带了很多附加条件，解决这类问题就是运筹学 中规划论研究的内容。
m的圆钢各一根，已知原料每根长7.4 m。应如何下料， 可使所用原料最省？
解：共可设计下列5 种下料方案
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5
1
2
0
1
0
0
0
2
2
1
3
1
2
0
3
7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
0 0.1 0.2 0.3 0.8
决策变量
b1
b
b2 bn
常数项
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a11 a12
A
a21 am1
a22 am2
a1n
a2n
amn
aij
mn
C c1 c2 cn 价值系数
系数矩阵
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四、线性规划数学模型的建立 1.建模条件 (1)优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值（max 或 min）来表
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三、线性规划的数学模型
◆线性规划的三个要素 • 决策变量：（x1，x2），一组值代表一个方案 • 目标函数：max或min • 约束条件：不等式或等式
◆线性规划：目标函数、约束条件均为线性函数
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1. 一般形式 决策变量： X = (x1,x2,…..,xn)T 目标函数：max(min z) = c1 x1 + c2 x2 + …+ cnxn 约束条件：
4x1
≤16
4 x2 ≤12
x1 ， x2 ≥0
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例1.3 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所 需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表。问题：工 厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
Ⅰ
设备
1
原料 A
2
原料 B
0
单位产品获利 50 元
Ⅱ 1 1 1 100 元
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
Max z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤300 2 x1 + x2 ≤400 x2 ≤250 x1 ， x2 ≥0
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例1.4 套裁下料问题 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1m,1.5
示；
(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的线性等式或线性不 等式表示；
a11x1 + a12 x2 +……..+ a1n xn ≤(=≥) b1 a21x1 + a22 x2 +……..+ a2n xn ≤(=≥) b2 ………………………………………… am1x1 + am2 x2 +……..+ amn xn ≤(=≥) bm x1,x2,……xn≥0 其中，“max(min z) ”是 “maximize(minimize)的缩写，含义为“最大化(最小化)”
第一节 一般线性规划问题的数学模型
线性规划问题的数学模型 线性规划问题的标准型及其标准化 线性规划问题解的含义
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一、线性规划的发展 1939年，前苏联数学家康托洛维奇用线性模型研究提高组织和生产效率问题 1947年，Dantzig提出求解线性规划的单纯形法 1950-1956年，主要研究线性规划的对偶理论 1958年，发表整数规划的割平面法 1960年，Dantzig和Wolfe研究成功分解算法，奠定了大规模线性规划问题理论和算法的