运筹学 一般线性规划问题的数学模型
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第一节 一般线性规划问题的数学模型
线性规划问题的数学模型 线性规划问题的标准型及其标准化 线性规划问题解的含义
2010年8月
管理工程
《运筹学》 4
一、线性规划的发展 1939年，前苏联数学家康托洛维奇用线性模型研究提高组织和生产效率问题 1947年，Dantzig提出求解线性规划的单纯形法 1950-1956年，主要研究线性规划的对偶理论 1958年，发表整数规划的割平面法 1960年，Dantzig和Wolfe研究成功分解算法，奠定了大规模线性规划问题理论和算法的
m的圆钢各一根，已知原料每根长7.4 m。应如何下料， 可使所用原料最省？
解：共可设计下列5 种下料方案
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5
1
2
0
1
0
0
0
2
2
1
3
1
2
0
3
7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
0 0.1 0.2 0.3 0.8
示；
(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的线性等式或线性不 等式表示；
2010年8月
管理工程
《运筹学》 13
2. 一般形式的其它写法
① 求和形式
n
max(min)z c j x j j 1 n
aijx j , bi (i 1,2, , m)
j 1
x j 0( j 1,2, , n)
2010年8月
管理工程
《运筹学》 14
②向量形式
目标函数： Max（Min）z = CX
4x1
≤16
4 x2 ≤12
x1 ， x2 ≥0
2010年8月
管理工程
《运筹学》 7
例1.3 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所 需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表。问题：工 厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
Ⅰ
设备
1
原料 A
2
原料 B
a11x1 + a12 x2 +……..+ a1n xn ≤(=≥) b1 a21x1 + a22 x2 +……..+ a2n xn ≤(=≥) b2 ………………………………………… am1x1 + am2 x2 +……..+ amn xn ≤(=≥) bm x1,x2,……xn≥0 其中，“max(min z) ”是 “maximize(minimize)的缩写，含义为“最大化(最小化)”
2010年8月
管理工程
《运筹学》 10
总结提出问题
类似的例子可以举出很多。归结起来有两种情况：
一是给定资源，如何充分利用
二是给定计划，研究如何统筹安排，用最少的人力物力去完成
都是求极值的问题，有些问题可以用微积分解决，
但例中除了要求变量非负外带了很多附加条件，解决这类问题就是运筹学 中规划论研究的内容。
约束条件：s.t.
n
Pj x jX≥0( 或 )b
j 1
其中C=(c1 , c2, … , cn)
x1
X
x2
xn
a1 j
Pj
a2
j
amj
b1
b
b2
bm
2010年8月
管理工程
《运筹学》 15
③ 矩阵形式
max(min) z CX
AX b
X 0
x1
X
x2 xn
2010年8月
管理工程
《运筹学》 11
三、线性规划的数学模型
◆线性规划的三个要素 • 决策变量：（x1，x2），一组值代表一个方案 • 目标函数：max或min • 约束条件：不等式或等式
◆线性规划：目标函数、约束条件均为线性函数
2010年8月
管理工程
《运筹学》 12
1. 一般形式 决策变量： X = (x1,x2,…..,xn)T 目标函数：max(min z) = c1 x1 + c2 x2 + …+ cnxn 约束条件：
a
x 图1-1
解：一般方法是在铁皮的四个角上剪去四个边长各为x的正方形，折叠做成一个容器，则容积 为V=(a-2x)2·x。要让容积最大即确定x(0 ≤x ≤a )的值，使V达到最大。
2010年8月
管理工程
《运筹学》 6
例1.2
Max z = 2 x1 + 3 x2
2 x1 +2 x2 ≤12
x1 +2 x2 ≤8
决策变量
b1
b
b2 bn
常数项
2010年8月
管理工程
《运筹学》 16
a11 a12
A
源自文库
a21 am1
a22 am2
a1n
a2n
amn
aij
mn
C c1 c2 cn 价值系数
系数矩阵
2010年8月
管理工程
《运筹学》 17
四、线性规划数学模型的建立 1.建模条件 (1)优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值（max 或 min）来表
《运筹学》 1
运
筹
帷
幄
线性规划
之
中
Linear Programming
2010年8月
决 胜 千 里 之 外
管理工程
《运筹学》 2
第一章 线性规划及单纯形法
一般线性规划问题的数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法的计算步骤 单纯形法的进一步讨论 应用举例
2010年8月
管理工程
《运筹学》 3
2010年8月
管理工程
《运筹学》 9
设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原料 根数。建立数学模型如下 目标函数： Min z=0.1x2 + 0.2x3 + 0.3x4 + 0.8x5
约束条件： s.t. x1 + 2 x2 + x4 = 100 2 x3 + 2 x4 + x5 = 100 3 x1 + x2 + 2 x3 + 3 x5 = 100 x1, x2 , x3 , x4, x5 ≥ 0
0
单位产品获利 50 元
Ⅱ 1 1 1 100 元
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
Max z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤300 2 x1 + x2 ≤400 x2 ≤250 x1 ， x2 ≥0
2010年8月
管理工程
《运筹学》 8
例1.4 套裁下料问题 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1m,1.5
基础。 1979年，Khachiyan，1984年，Karmarkaa研究成功线性规划的多项式算法。 另外，很多现代算法研究如进化、神经网络等。
2010年8月
管理工程
《运筹学》 5
二、问题的提出 例1.1 用一块长为a的正方形铁皮做一个容器，
应如何剪裁，使做成的容器的容积为最大 （见图1-1）
线性规划问题的数学模型 线性规划问题的标准型及其标准化 线性规划问题解的含义
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一、线性规划的发展 1939年，前苏联数学家康托洛维奇用线性模型研究提高组织和生产效率问题 1947年，Dantzig提出求解线性规划的单纯形法 1950-1956年，主要研究线性规划的对偶理论 1958年，发表整数规划的割平面法 1960年，Dantzig和Wolfe研究成功分解算法，奠定了大规模线性规划问题理论和算法的
m的圆钢各一根，已知原料每根长7.4 m。应如何下料， 可使所用原料最省？
解：共可设计下列5 种下料方案
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5
1
2
0
1
0
0
0
2
2
1
3
1
2
0
3
7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
0 0.1 0.2 0.3 0.8
示；
(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的线性等式或线性不 等式表示；
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2. 一般形式的其它写法
① 求和形式
n
max(min)z c j x j j 1 n
aijx j , bi (i 1,2, , m)
j 1
x j 0( j 1,2, , n)
2010年8月
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②向量形式
目标函数： Max（Min）z = CX
4x1
≤16
4 x2 ≤12
x1 ， x2 ≥0
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例1.3 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所 需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表。问题：工 厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
Ⅰ
设备
1
原料 A
2
原料 B
a11x1 + a12 x2 +……..+ a1n xn ≤(=≥) b1 a21x1 + a22 x2 +……..+ a2n xn ≤(=≥) b2 ………………………………………… am1x1 + am2 x2 +……..+ amn xn ≤(=≥) bm x1,x2,……xn≥0 其中，“max(min z) ”是 “maximize(minimize)的缩写，含义为“最大化(最小化)”
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总结提出问题
类似的例子可以举出很多。归结起来有两种情况：
一是给定资源，如何充分利用
二是给定计划，研究如何统筹安排，用最少的人力物力去完成
都是求极值的问题，有些问题可以用微积分解决，
但例中除了要求变量非负外带了很多附加条件，解决这类问题就是运筹学 中规划论研究的内容。
约束条件：s.t.
n
Pj x jX≥0( 或 )b
j 1
其中C=(c1 , c2, … , cn)
x1
X
x2
xn
a1 j
Pj
a2
j
amj
b1
b
b2
bm
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③ 矩阵形式
max(min) z CX
AX b
X 0
x1
X
x2 xn
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三、线性规划的数学模型
◆线性规划的三个要素 • 决策变量：（x1，x2），一组值代表一个方案 • 目标函数：max或min • 约束条件：不等式或等式
◆线性规划：目标函数、约束条件均为线性函数
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1. 一般形式 决策变量： X = (x1,x2,…..,xn)T 目标函数：max(min z) = c1 x1 + c2 x2 + …+ cnxn 约束条件：
a
x 图1-1
解：一般方法是在铁皮的四个角上剪去四个边长各为x的正方形，折叠做成一个容器，则容积 为V=(a-2x)2·x。要让容积最大即确定x(0 ≤x ≤a )的值，使V达到最大。
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例1.2
Max z = 2 x1 + 3 x2
2 x1 +2 x2 ≤12
x1 +2 x2 ≤8
决策变量
b1
b
b2 bn
常数项
2010年8月
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《运筹学》 16
a11 a12
A
源自文库
a21 am1
a22 am2
a1n
a2n
amn
aij
mn
C c1 c2 cn 价值系数
系数矩阵
2010年8月
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《运筹学》 17
四、线性规划数学模型的建立 1.建模条件 (1)优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值（max 或 min）来表
《运筹学》 1
运
筹
帷
幄
线性规划
之
中
Linear Programming
2010年8月
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第一章 线性规划及单纯形法
一般线性规划问题的数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法的计算步骤 单纯形法的进一步讨论 应用举例
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2010年8月
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《运筹学》 9
设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原料 根数。建立数学模型如下 目标函数： Min z=0.1x2 + 0.2x3 + 0.3x4 + 0.8x5
约束条件： s.t. x1 + 2 x2 + x4 = 100 2 x3 + 2 x4 + x5 = 100 3 x1 + x2 + 2 x3 + 3 x5 = 100 x1, x2 , x3 , x4, x5 ≥ 0
0
单位产品获利 50 元
Ⅱ 1 1 1 100 元
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
Max z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤300 2 x1 + x2 ≤400 x2 ≤250 x1 ， x2 ≥0
2010年8月
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《运筹学》 8
例1.4 套裁下料问题 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1m,1.5
基础。 1979年，Khachiyan，1984年，Karmarkaa研究成功线性规划的多项式算法。 另外，很多现代算法研究如进化、神经网络等。
2010年8月
管理工程
《运筹学》 5
二、问题的提出 例1.1 用一块长为a的正方形铁皮做一个容器，
应如何剪裁，使做成的容器的容积为最大 （见图1-1）