高中数学-等差数列前n项和教案

§2.3 等差数列的前n 项和

授课类型：新授课 备课人：

●教学目标

知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题，了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值

过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.

情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

●教学重点

探索并掌握等差数列的前n 项和公式，学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前n 项和与二次函数之间的联系。

●教学难点

等差数列前n 项和公式推导思路的获得。

●教学过程

Ⅰ.课题导入

“小故事”:

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

“1+2+3+…+100=5050。

教师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050” 这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发

现和寻找出某些规律性的东西。

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。

Ⅱ.讲授新课

1． 推导等差数列的前n 项和

公式1：2

)(1n n a a n S +=

证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ①

1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②

①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a

∴)(21n n a a n S += 由此得：2

)(1n n a a n S += 若将1(1)n a a n d =+-代入n S 得2

)1(1d n n na S n -+

= 等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+= 这两个公式中共有五个量,1,,,n n s a a d n ，知三求二

2[范例讲解]

（1）课本P43-44的例1

（2）讲解例2时

变式：若已知数列的23n n n s 及s 如何求s

结论：等差数列中依次k 项之和成等差数列即232,,k k k k k

s s s s s --成等差数列 （3）由例3得与n a 之间的关系：

由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ， 即n a =⎩⎨⎧≥-=-)

2()1(11n S S n S n n .

探究：如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，

那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？

（4）课本P45的例4 解略

结论：对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1） 利用n a :

当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值 当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值

（2） 利用n S ： 由n )2

d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值

对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

3等差数列前n 项和的性质

①若等差数列的项数为2n ，则有s s -=偶奇 s s =奇偶

， ②若等差数列的项数为2n+1，则21n s s s +=+=奇偶 ，1n a += ，

s s =奇偶 ③{}{}{}{}2121,,,n n n n n n n n n n a s a b s t a b b t --=为等差数列，分别为的前n 项和,则 ④等差数列{}{}n n n a s a ，为的前n 项和若,,m n m n s n s m s +===则 ， ;m n m n s s s +==若则

Ⅲ.课堂练习

课本P52练习1、2、3、4

Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容：

1.等差数列的前n 项和公式1：2

)(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式2：2

)1(1d n n na S n -+= Ⅴ.课后作业

课本P52-53习题[A 组]2、3题

●板书设计

●授后记