《球的体积和表面积》教案

《球的体积和表面积》教案

教学目标

1、知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识.

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题. ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力. 2、过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝

3

4

πR 3和面积公式Ｓ＝4πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想.

3、情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心.

教学重难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法. 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成.

教学过程

一、创设情景

提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考.

设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式.

二、探究新知 1．探究球的体积公式

回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.

构造新的几何体，结合祖暅原理推导球的体积公式(见P 32页).

R

A '

C '

C

A

O

A

'

B '

C '

D '

D

C

B

A

O

球的体积公式：34

3

π=

V R .

2.探究球的表面积公式

设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用

12,,

,

,i S S S ∆∆∆表示，则球的表面积:S =12i S S S ∆+∆+

+

+∆

以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积i S ∆可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高i h ，因此，第i 个小棱锥的体积1

3

i i i V h S =

⋅∆，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:

11221

(3

)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆+

+⋅∆+

，

又∵i h R ≈，且S =12i S S S ∆+∆++

+∆

∴可得1

3

V R S ≈⋅， 又∵343V R π=

，∴13R S ⋅34

3

R π=， ∴24S R π=即为球的表面积公式 三、例题示范

例1已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且

2AB BC CA ===，求球的表面积.

解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ， 则2323

2323

O A '=

⨯⨯=

， 在Rt O OA '∆中，2

2

2

OA O A O O ''=+， ∴222

231(

)34

R R =+，∴43R =，

∴2

64

49

S R ππ==

． 例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积.

C B

A

O O'

A '

B '

C '

D '

D C

B

A

O

A '

C '

C A

O

解：作轴截面如图所示，

6CC '=，2623AC =⋅=，

设球半径为R ， 则222R OC CC '=+ 22(6)(3)9=+= ∴3R =，

∴2

436S R ππ==球，34

363

V R ππ=

=球． 例3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个

正四棱柱的表面积

解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ， 则作轴截面如图，14AA '=，2AC a =，

又∵2

4324R ππ=，∴9R =， ∴2282AC AC CC ''=

-=，∴8a =，

∴6423214576S =⨯+⨯=表．

例4. 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的

23

； (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。

四、练习反馈

1．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的____倍； 2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加_______倍； 3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是_______； 4.正方体全面积是24，它的外接球的体积是_______，内切球的体积是________．

证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.

因为 34

,3

V R π=球2322.V R R R ππ=⋅=圆柱 所以,2

.3V V =

球圆柱

(2) 因为 24S R π=球,2224S R R R ππ=⋅=圆柱侧, 所以,S S =球圆柱侧.