大学物理静电场教案

静电场教案
一．教学目标
1.知识与技能：①理解库仑定律的意义并掌握其应用
②理解电场叠加原理并掌握应用其求点电荷
电场分布的方法
③掌握用解析法和几何法描述静电场的方法
④理解静电场的性质
⑤理解高斯定理的物理意义并掌握应用其求特殊带电体
电场分布的方法
2.过程与方法：①通过整理知识框图与“三基”问题带领学生
复习本章内容,培养学生归纳知识的能力
②通过合作讨论探究问题，培养学生进一步运
知识的能力,学习一定研究问题的科学方法
3.情感态度与价值观：创设情境，联系生活中相关物理现象和
生活技巧，激发学生对本章内容的学习
兴趣，培养学生求实的科学态度。

二．重点、难点
1.重点：①静电场的描述
②电场叠加原理的理解和应用
③高斯定理的理解和应用
2.难点：高斯定理的理解和应用
通量
E dS =
静电平衡0in E =
斯
定
1
E dS ε==∑⎰电场叠加原理
1
n
i
i E E ==∑静示：电场线对电场强弱及方向的描述点电荷电场强度
204r q E e r
πε=
分立电荷电场强度
21
04i n
i
r i i
q E e r πε==∑
连续电荷电场强度
204r
dq
E d E e r
πε=⎰=⎰
12
2
04r
q q F e r πε=
电场强度定义式
F E q
=
四..基本物理量
1. 电荷：q
一切电磁现象归因于物体所带电荷，电荷具有量子性，即电荷总是以一个基本单元的整数倍出现，这个基本单元 电荷的带电量为 191.60210e C -=⨯ 2. 电力F 包括带电体与带电体之间的静电力和带电体在电场中受到的电场力 3. 电场强度F E q
= 4. 电通量:
cos e d E dS EdS φθ==
电通量是衡量静电场中垂直穿过某一面积元的电场线条数的量
五.基本定律
1. 库仑定律：12
204r
q q F e r
πε=
反映真空中两个静止点电荷之间的相互作用特点 2. 电场叠加原理：1
n
i i E E ==
∑
反映当多个点电荷存在时，它们在某场点激发的总电场与他们各自单独存在时在该场点激发的电场的关系 3.
高斯定律：0
1
e in E dS q φε==
∑⎰ 映在真空静电场内任意封闭曲面上电通量与该曲面包围的电荷代数和之间关系，它表示该电通量与封闭曲面外的电荷无关，即封闭曲面上的总电场只由曲面内的电荷决定。

反
六. 基本问题
1. 静电场的图示
2. 在什么情况下可以将带电体近似看做点电荷?
3. 电力的计算和讨论
4. 利用电场叠加矢量求和方法求解分立电荷在空间某点激发的电场强度。

5. 如何选用合适的电荷元，利用电场叠加原理求解电荷连续分布的均匀带电体的电场分布?
6. 对于电荷对称分布的带电体，如何选用合适的高斯面，利用高斯定律求解带
电体的电场分布?
七.静电场问题讨论
㈠．“知识单元”专题问题
1．库仑定律通用的矢量表达式是什么？如何从公式理解力的大小、方向与1q 、2q 及r （或
r e ）的关系？
2．由E 的定义式如何理解E 与F 和0q 之间的关系，此定义式反映了E 是什么性质的物理量？
3．如何从几何上理解电通量的定义和计算式？如何理解高斯定律？
4．试总结用叠加原理求解静电场E 的基本思路和步骤，并举2—3个代表性的例子，分析求解过程的每一步。

5．试总结用高斯定律求解静电场的基本步骤和条件，并举2—3个例子，分析求解过程对应的每一步。

㈡．“基本问题”专题讨论题
1．试探讨:库仑定律中的“平方反比”如果不能严格满足，将对电磁学的哪些理论产生怎样的影响？
2．在电场强度E 的定义中，如果放入电场中的试探电荷不是严格的点电荷，则将对由
F
q 求出的E 值得有何影响？
3．讨论；在何种情况下，点电荷 q 可以沿着一根电场线一直运动？
4．高斯定律可否应用于电偶极子激发的电场？可否用高斯定律求解出该电场分布？
5．如图所示，均匀带电的大球R 被对称的挖空了一个小球的空间，试讨论求解空间中A 、B 、C 三点的电场E 的方法和步骤。

八．例题讲解
1. 分立电荷产生场强的叠加问题。

例1：已知电偶极子电矩为p
，求
⑴ 偶极子在它轴线的延长线上一点A 的A E
；
⑵电偶极子在它轴线的中垂线上一点B 的B E 。

解：⑴如图所取坐标，
-++=E E E A
2
24⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=-l r q E πε
2024⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-=+l r q E πε A
1
O r
o
R
ρ
B
C
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧
2
22
20
2
2002222421214⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⋅=⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-=-+l r l r l r l r q l r l r q E E E A πεπε 3
0302
2
40
4242212124r p r ql l r r l r l r lr
q πεπεπε=
>>⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⋅
=
3
042r p E A πε =
⇒ （A
E 与p
同向） ⑵如图所取坐标
-++=E E E B
+-=E E ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+222024l r q E πε ()αααcos 2cos cos +-+-=+-=E E E E Bx
23220222
2204442442⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=l r gl l r l
l r q πεπε 3
03044r p
r gl l
r πεπε-=->>
0=By E
3
04r p E E Bx B πε
-
==⇒
2.连续电荷产生场强的叠加问题
例2：半径为R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ，计算轴线上与盘心相距x 的
p 点的场强。

解：如图所示，x 轴在圆盘轴线上，把圆盘分成一系列的同心圆环，半径为r 、
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧
宽度为dr 的圆环在p 点产生的场强为：
(
)
2
3220//4r x xdq dE +=
πε（均匀带电圆环结果）
(
)
()
2
322
2
3220242r
x
xrdr
r
x rdr x +⋅=
+⋅=
εσπεπσ
∵各环在p 点产生场强方向均相同， ∴整个圆盘在p 点产生场强为：
()
⎰⎰+⋅==R r
x
xrdr
dE E 0
2
322
////2εσ
()
⎰+=
R r
x
rdr
x 0
2
322
02εσ
()
⎰++⋅=R r
x
r x d x 02
3
22220)(212εσ ()R
r x x 0
2
12201
2
1
1212+⋅-⋅⋅=
εσ ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=
220112R x x
x εσ ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-=
22012R x x
x ε >0：背离圆盘
σ <0
：指向圆盘
即E 与盘面垂直（E
关于盘面对称）
讨论：∞→R 时，变成无限大带电薄平板，0
//2εσ
=
E ，方向与带电平板垂直。

例3：有一均匀带电直线，长为l ，电量为q ，求距它为r 处p 点场强。

解：如图所取坐标，把带电体分成一系列点电荷，dy 段在p 处产生场强为：
⎩⎨
⎧
)(442
2020r y dy r dq dE +==
πελπε )(l
q
=λ ① 由图知： θθππθβrctg rtg rtg rtg y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==22 θθd r dy 2csc = 代⑴中有： 2
04'r
dy
dE πελ=
θ
πελθθπ
π
θβsin r
dy
sin dE )cos(
dE )
cos(dE cos dE dE 'x 2
042
2
=
=-=-==
θθππθβrctg rtg rtg rtg y -=⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==22
θθd csc r dy 2=，θ
βsin r
cos r r '==
∴θ
πεθ
θλ22
024sin r
d csc r dE x =
)cos (cos r r d sin dE E x
x 2100442
1
θθπελ
πεθθλθθ
-==
=⎰⎰ θβcos dE sin dE dE y =-=
)sin (sin r d r cos dE E y
y 1200442
1
θθπελθπεθλθθ
-==
=⎰⎰ 讨论：无限长均匀带电直线πθθ==210,, r
E x 02πελ
=
⇒,0=y E . 即无限均匀带电直线，电场垂直直线，0>λ，E
背向直线；0<λ，E
指向直线。

⎪⎩⎪⎨
⎧
3.高斯定理应用举例
例4：有均匀带电的球体，半径为R ，电量为q +，求球内外场强（8-13）。

解：由题意知，电荷分布具有球对称性，∴电场也具有对称性，场强方向由球心
向外辐射，在以O 为圆心的任意球面上各点的E
相同。

（1）球内任一点P 1的?=E
以O 为球心，过P 1点做半径为1r 的高斯球面S 1，高斯定理为：
∵E 与S d 同向，且S 1上各点E
值相等，
∴2141
1
1
r E dS E dS E S d E s s s π⋅==⋅=⋅⎰⎰⎰
3
1
3031300
343
41
1r R q r R q q S εππεε=⋅=
∑内
3
13
0214r R q r E επ=
⋅⇒ ∴13
04r R q
E πε=
E 沿OP 方向。

（若0<q ，则E
沿O P 1方向） 结论：1r E ∝
注意：不要认为S 1外任一电荷元在P 1处产生的场强为0，而是S 1外所有电
荷元在P 1点产生的场强的叠加为0。

（2）球外任一点P 2的?=E
以O 为球心，过P 2点做半径为2r 的球形高斯面S 2，高斯定理为：
∑⎰=
⋅内
22
1S s q S d E ε
由此有：
q r E 0
221
4επ=
⋅
∑⎰=⋅内
11
1S s q
S d E ε
22
04r
q E πε=
⇒
E
沿2OP 方向
结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷
全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。

=
E 134r R q πε )(1R r < 2
04r q πε )(R r >
r E - 曲线如左图。

例5：一无限长均匀带电直线，设电荷线密度为λ+，求直线外任一点场强。

解：由题意知，这里的电场是关于直线轴对称的，E
的方向垂直直线。

在以直线为轴的任一圆柱面上的各点场强大小是等值的。

以直线为轴线，过考察点P 做半径为r 高为h 的圆柱高斯面，上底为S 1、下底为S 2，侧面为S 3。

高斯定理为： ∑⎰=
⋅内
S s
q S d E 0
1
ε
在此，有：
⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅3
2
1
s s s s
S d E S d E S d E S d E
∵在S 1、S 2上各面元E S d
⊥，∴前二项积分=0
又 在S 3上E
与S d 方向一致，且E =常数，
∴rh E dS E EdS S d E S d E s s s s
π23
3
3
⋅===⋅=⋅⎰⎰⎰⎰
h q S λεε0
1
1
=
∑内
h rh E λεπ0
1
2=
⋅⇒ 即 r
E 02πελ
=
E 由带电直线指向考察点。

（若0<λ，则E 由考察点指向带电直线）
上面结果将与例4结果一致。

例6：无限长均匀带电圆柱面，半径为R ，电荷面密度为0>σ，求柱面内外任
一点场强。

⎪⎩⎪⎨⎧
解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射， 并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点E 值相等。

1）带电圆柱面内任一点P 1的?=E
以OO’为轴，过P 1点做以1r 为半径高为h 的圆柱高斯面，上底为S 1，下底
为S 2，侧面为S 3。

高斯定理为： ∑⎰=⋅内S s q S d E 01ε 在此，有： ⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅3
21s s s s S d E S d E S d E S d E
∵在S 1、S 2上各面元E S d ⊥1，∴上式前二项积分=0， 又在S 3上S d 与E 同向，且E =常数， ∴h r E dS E EdS S d E s s s 1233π⋅===⋅⎰⎰⎰
01
0=∑内
S q ε 021=⋅⇒h r E π
∴0=E
结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=0 2）带电柱面外任一点场强?=E
以'OO 为轴，过P 2点做半径为2r 高为h 的圆柱形高斯面，上底为S 1’，下
底为S 2’，侧面为S 3’。

由高斯定理有：
Rh h r E πσεπ21
201⋅=⋅
2
022r R E πεπσ⋅=⇒ ∵[]122⋅⋅=⋅R R πσπσ=单位长柱面的电荷（电荷线密度）=λ
∴2
02r E πελ=，E 由轴线指向P 2。

0<σ时，E 沿P 2指向轴线 结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都集中在带
电柱面的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。