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分式方程、无理方程及应用题解析训练

【例题精选】

例1：解方程1、211112x x -++= 2、31132x x +-=-

分析：第一个方程是分式方程，要先化为整式方程去解，因此可以用去分母的一般解法去解，特别注意，方程两边各项都要乘以公分母．第二个方程是个无理方程，也要变为有理方程去解，可以将含根号的式子留在一边，其它移到另一边，用两边平方的方法去掉根号． 解：1、2111

12x x -++= 两边同乘以(x+ 1)(x －1)

()()()()()2111211

20210

22+-=+-+-=---=-+=x x x x x x x x x

解得：x x 1221==-,

解：2、31132x x +-=- 变形为 31132x x +=-

两边平方 ()311322x x +=-

()∴+=-+-=-=31169660610222x x x x x x x 解得

经检验：x = 1是增根，原方程解为x = 0．

说明：分式方程与无理方程的解法中，验根是必不可少的步骤之一，验根不是写一下的形式，而要实实在在的带入去检验，如方程（2）中，当x = 1时，右边为－2，而左边是算术根，应大于等于零，因此是增根，检验分式方程时，只有分母不为零就可以了． 例2：用换元法解方程：19291+-+=x x x

分析：若用两边平方去根号有两个根号很烦，题目又指定了用换元法，因此要考虑如

何换元，将根式内化简，199+=+x x x

．而另一根号为x x +9，是互为倒数关系，因此可以找出如何换元的方法了．

解：19291+-+=x x x 原方程变形为x x x x +-+=929

1 设x x y x x y +=+=991,则 原方程变形为 y y

-=21 ()()∴--=-+===-=+=+=+===-+=-y y y y y y y x x x x

x x x y x x 2121220

210

21

29294943

191,,

,,,当时解得当时，此方程无解

经检验x = 3是原方程的根．

说明：特别注意求出y 值后没有求完，而要再求x 值． 例3：用换元法解方程：243261522x x x x -+-+= 分析：用换元法解无理方程时，一般设根号内整体为一个新的未知数，这样可变为有理方程，再去解．

解：原方程中设x x y x x y 2222626-+=-+=,则 原方程变形为241232627022x x x x -++-+-=

()()∴+-=-+===-=-+=∴-+=--===-=--+=-23270

3290

39

2

3263

269230

31

922692

21212221222y y y y y y y x x x x x x x x y x x 解得由即解得由得此方程无解,,,,,,

经检验，x x 1231==-,是原方程的解． 例4：甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发匀速相向而行，在距A 地7千米的地方相遇，相遇后各自以原来的速度按原方向继续前进，甲到B 地，乙到A 地后，立即返回，两人又在距B 地4千米的地方相遇，求A 、B 两地间距离．

分析：这个题目中已知数据比较少，可以用图示法先表示出数量间关系，由两次相遇可得出它们每次同时出发到相遇，所用时间相同，因此可以用时间相同列等量关系，而题中又没表示出速度，可以设速度为一个中间变量，列方程就简单多了，因此引进辅助未知数也是常用的方法之一，它可以使数量间关系变得更为简明．

解：设A 、B 两地距离为x 千米，甲速为a 千米/小时，乙速为b 千米/小时．

由题意7744a x b x a x x b =-+=+-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 整理为77424x a b x x a

b -=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ ()∴-=+--=-===7742417010017

212x x x x x x x x x 解得,

经检验x = 0不合题意舍去，x = 17是原方程的解．

答：A 、B 两地间距离为17米．

例5：一容器装满纯药液20升，第一次倒出若干升后用水加满，第二次又倒出同样多液体，又用水加满，此时，桶内药液浓度为25%，求每次倒出多少药液？

分析：可设每次倒出药液为x 升，将两次的倒出药液剩药及浓度进行分析，如第一次

倒出药x 升，剩药20－x ，浓度为2020

100%-⨯x ，第二次倒出药2020-⋅x x ，剩药202020---x x x ，此时浓度为20202020

---x x x ，这样就找到了等量关系．

2020202025%403000

3010

212--

-=-+===x x x x x x x 解得, 经检验x 1 = 30不合题意舍去，∴ x = 10是原方程的解．

答：每次倒出药液为10升．

说明：分析两次倒药液情况，可以列出表格来，将所列各项填入，这样使等量关系更加清楚了．

例6：小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可以得到本金加利息共6元，求这种存款的年利率．

分析：近些年来，由于商品经济的发展，不少联系实际的应用题，其中存款利率就是其中的一种，利率与本金利息之间存在一定的固定关系，本金×利率 = 利息，要按照题意，找到相应的等量关系．

x ，

()[]()()()()()100150166100150166501251330

135

11110

11010%22+-⨯+=+-+=+-+-=+=-+===x x x x x x x x x 解得，不合题意舍去，

答：这种存款的年利率为10%．

说明：联系生产实际的问题还有很多类型，比如出售商品，若按九折出售，即按原价的90%出售，只有将这些名词的含义弄清楚了，才会正确解决这类问题．

例7：甲、乙两人分别从相距20千米的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来我走1千米，结果甲到达B 地后乙还需30分钟才能到达A 地，求乙每小时走多少千米．

分析：这是北京市1996年考试题，考查学生分析问题、解决问题的能力问题，甲、乙两人从相距20千米的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行到相遇，隐含了刚好在A 、B 中点相遇的条件．即在10千米地方相遇，题中甲到B 地后乙还需30分钟才能到A 就是等量关系，这样就可以列出方程了．

x 千米，则甲每小时走(x + 1)千米．

()()201010112

1010112

200

540

2x x x x x x x x x --+=-+=+-=+-= 解得：x x 1254=-=,