微积分一导数的基本公式与运算法则

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例1.计算下列函数的导数.
1） ( e 2 ) 0____
3） ( x 2 ) _2_x_
5）(sin 3
(sec x) sec x tan x
这是因为
(csc x) csc x cot x
(tan x) ( sin x ) cos x
(sin
x)
cos x sin cos2 x
x(cos
x)
sin2 x cos2 x cos2 x
1 cos2
x
sec2
x
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3 指数函数的导数 (ax)axln a (ex)ex
这是因为
(axx) lim hh00
a xxhh a xx h
axx lim hh00
ahh 1 h
ax
lim
h0
h ln a h
ax
ln a
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1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex
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二、反函数的导数
设函数yf(x)在点x处有不等于0的导数f (x) 并且其反函 数xf 1(y)在相应点处连续 则[f 1(y)]存在 并且
[ f 1(y)]
1 f (x)
或
f
(x) [
f
1 1( y)]
简要证明 这是因为
[
f
11(
y)]
lim
1 (c)0
2 幂函数的导数
(xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
这是因为
(xu ) lim (x x)u xu
x0
x
xu[(1 x)u 1]
lim
x
x0
x
u x xu lim x
x0 x
uxu1
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1 (c)0
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
1 x2
(arctan
x)
1 1 x2
(arccotx)
1 1 x
2
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课前复习
1. 导数的几何意义？切线方程？
k切＝f ( x0 )
y y0 f (x0 )(x x0 )
2. 可导与连续的关系？ 可导
连续
反之不成立！
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(cos x) sin x
22
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1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
4 (loga
x)
1 xln a
(ln x) 1 x
5 三角函数的导数
(cot x) csc2 x
(tan x) sec2 x
6 反三角函数的导数
(arcsinx) 1 1 x2
这是因为 函数 yarcsinx与xsin y互为反函数 所以由反 函数的求导公式得
(arcsin
x)
1 (sin
y)
1 cos
y
1 1sin2 y
1 1 x2
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基本导数公式
1 (c)0
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
yy00
x y
lim
xx00
1 y
1 lim y
1 f (x)
x xx00x
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三、基本初等函数的导数
1 常数的导数 (c)0
这是因为 y lim y lim cc 0 x0 x x0 x
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§3.3 导数的基本公式与运算法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
二、反函数的导数
三、基本初等函数的导数
四、复合函数的导数
五、隐函数的导数
六、对数求导法
七、由参数方程所确定的函数的导数
八、综合举例
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一、函数的和、差、积、商的求导法则
如果u(x)、v(x)都是x的可导函数 则它们的和、差、积、 商(分母不为零时)也是x的可导函数 并且
h0 h
22
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2 cos sin
2
2
cos cos 2 cos cos
2
2
cos cos 2sin sin
2
2
hlhliimm00ccooss((xxh2h2))ssiinhnhh2h2ccoossxx
3 (ax)axln a (ex)ex
5 (sinx)cosx (tanx)sec2x (secx)secxtanx
4 (loga
x)
1 xln a
(ln x) 1 x
(cosx)sinx
(cotx)csc2x
(cscx)cscxcotx
6 (arcsinx) 1 (arccosx) 1
1 x2
1 (c)0
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
3ห้องสมุดไป่ตู้(ax)axln a (ex)ex
4
(log a
x)
1 xln
a
(ln x) 1 x
5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x
(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
4 对数函数的导数
(log a
x)
1 xln a
(ln x) 1 x
对数函数y loga x的直接函数为x a y 根据反函数的求导公式有
(loga
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1 x ln a
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1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
4 (loga
x)
1 xln a
(ln x) 1 x
5 三角函数的导数
和差化积公式：
(sin x)cos x 这是因为
(sin x) lim sin(xh)sin x
h0
h
lim 1 2cos(x h)sin h
[u(x)v(x)]u(x)v(x)
[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)
特别地 公式的推广
[u(x)] v(x)
u(x)v(x)u(x)v(x) v2(x)
(v(x)0)
[cu(x)]cu(x)
(u1u2 un) u1u2 un (u1u2 un)u1u2 unu1u2 un u1u2 un