数学建模教材前言

前言

数学建模教学在西方国家已有三十多年历史，并在国际数学教育大会（ICME: International Congress on Mathematical Education）中占有重要地位。自1988年始，国际数学教育大会就把“问题解决、建模和应用”列入大会七个主要研究的课题之一，从教育、科学、社会、文化的观念来看，数学应用、模型和建模已被广泛地认为在数学教学的理论和实践中，具有决定性的重要意义。

我国《全日制义务教育数学课程标准》中也开始强调，不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学生在获得对数学理解的同时，进而在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

“中小学数学课程标准”强调，要重视培养学生的主体意识、批判意识、综合意识和合作意识，注重让学生学习自行获取数学知识的方法，经历将实际问题进行数学抽象、建模求解和解释的过程，学会自主学习和主动参与数学实践的本领，获得终身受用的数学基础能力和创造才能。然而，在新课程实施过程中，小学日常课堂中的数学建模教学并不多见，小学教师对数学模型、数学建模以及数学建模教学等概念还较陌生，所以我们在前言部分对建模的相关内容做整体介绍。

日常数学课堂中所讨论的数学模型是从狭义角度出发，是解决实际问题时所用的一种数学框架，是指对实际问题进行分析、简化，抽象后所得出的数学结构，它是使用数学符号、数学表达式以及数量关系对实际问题简化进行的关系或规律的描述。例如各种公式、方程和运算法则等。

数学建模的过程可简单分为四个阶段，即现实问题数学化（由现实问题经过简化抽象后建立数学模型）、模型求解、数学模型解答和现实问题解答验证。通过这四个阶段，完成了从现实问题到数学模型，再从数学模型回到现实问题的不断循环、不断完善的过程。

周春荔先生认为，从方法论角度看，数学建模是一种数学思想方法；从教学角度看，数学建模是一种数学活动。Eliiott Ostler认为，数学建模最好的定义是对数学的“科学探究的过程”。基于此，在日常课堂中的数学建模活动是指让学生经历对日常生活和社会中的实际问题在一定假设下进行简化、抽象和数学化，建立数学模型，然后求解数学模型，并对其解进行验证的一种数学活动的全过程，是对数学科学探究的过程。而数学化就是人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，以发现其规律，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。

下面我们从中小学数学课堂中进行数学建模活动的必要性、有效性和教师在成功开展数学建模教学活动的关键地位做以分析。

（1）中小学数学课堂中进行数学建模活动的必要性

数学建模教学是指在日常数学课堂中，教师结合数学课本知识，将未经简化抽象的现实问题带到课堂上，通过让学生建立数学模型来学数学、用数学的教学过程。数学建模教学不仅能为学生创设一个学数学、用数学的环境，而且还可以为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会。学生在数学建模的过程中能使自己应用所学数学知识解决实际问题的能力得以提高，在问题解决的过程中得到学数学、用数学的实际体验，从而加深对数学的理解。

国外学者对于数学建模教学已有很多研究，结果显示数学建模的过程能促进学生概念模型的建构，同时概念模型也发展了学生的智能以建构经验。他认为数学建模活动应该成为小学开始时的学校数学课程的部分。

此外，数学建模活动，除了培养学生更深刻地理解数学知识以及应用数学知识解决实际生活问题的能力之外，也发展他们其他方面的能力，如合作交流能力、语言表达能力（包括数学语言表达能力）、元认知能力和写作能力（包括数学写作能力），因为他们最后成果是以报告或小论文形式早现的。

（2）中小学数学课堂中学生进行数学建模活动的有效性

学生能否有效开展数学建模活动，关键取决于以下两个方面：

一方面，数学建模过程中，将现实问题抽象到数学问题并建立数学模型的过程，即经历数学化的过程是整个数学建模过程中最为关键的环节，也是学生感到最困难的过程。

Ikeda认为，影响学生进行数学化活动的因素主要有以下几个方面：（1）数学知识和技能（足以用数学的方法解决数学模型）；

（2）与现实世界相关的一些知识；

（3）自愿解决课堂模型的兴趣；

（4）数学建模过程的相关知识；

（5）促进数学建模过程的数学思考；

（6）数学建模活动的元认知。

此外，影响学生数学建模的另一个主要因素，是数学阅读等能力。其中数学阅读能力又包括对于纷繁复杂数据的处理能力，发现数据间互相联系的能力等等。如有些学生不会阅读统计表中的数据，更不会将表中的数据建立联系，这些都影响他们数学建模的有效性。（3）能否成功开展数学建模教学活动，教师是关键

为了使学生能更有效地进行数学建模活动，教师需要做许多准备工作，这些对于教师来说是一个挑战．

首先，教师自己应该是一个好的数学建模者，要明白数学建模的真正含义。数学建模与我们通常所说的数学问题解决有一定的联系，但是也有一定的区别。数学建模可以看成是问题解决的一部分，数学建模作用的对象更侧重于来自日常生活、经济、理、化、生、医等学科中的应用数学问题。小学阶段的数学建模问题主要来自日常生活，而问题解决中的一部分问题包括已经完成数学抽象和加工的实际问题。此外，数学建模作为问题解决的一种模式，它更加强调原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程、数学工具、方法和模型的选择、分析过程：模型的求解，验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程，它更完整地表现了学数学和用数学的关系，给学生再现了一种微型的科研过程。

其次，教师应该是一个好问题的设计者。数学建模中呈现在学生面前的问题是非常规的数学问题，即不是已知求解的模式，是实际生活中需要用数学知识解决的问题。这里的问题事实上指的是数学的应用问题，反映现实特征的问题情境，同时它也可以包含一定的数学概念、方法和结果。这类问题非常重视情境应用，即给出的问题往往不是纯数学化的“已知”、“求证”模式，而是给出一种情境、一种实际需求、以克服一种现实困难为标志的数学问题。小学数学课堂中数学建模好问题应该是具有一定的现实意义，要与儿童的实际生活紧密联系，能使儿童容易理解的问题；应该具有一定的探索性，引起学生的探究欲望；应该使学生能够用已有的数学知识，在与同伴和老师的交流合作中解决的问题。

再次，教师要有意识地培养学生的数学建模能力。如数学阅读能力、设置假设和简化实际问题的能力、分析处理大量信息的能力、元认知能力和合作交流能力等等，从而提高学生数学建模的有效性。限于篇幅，我们就培养学生数学阅读能力和分析处理大量信息能力方面，做简单分析，我们可以从以下几个方面考虑：其一，培养主动阅读的习惯，即让学生在数学阅读的过程中，不断地探索、思考并说出题目提供的信息条件，解题思路及具体的解题方法，最后得出自己的结论。如让学生说出题目大意，并让他们仔细剖析字句，当他们形成解题思路后，让他们说出具体的解题步骤，如何得到结果等；其二，丰富课堂阅读的材料，为了提高学生数学阅读的兴趣，教师提供的阅读材料不只是教科书上的内容，更应该加入一些现实生活的实际问题．从而培养学生阅读大量纷繁复杂信息的能力，其三，传授数学阅读的技巧。为了提高学生阅读实际问题的能力，教师应该传授一些阅读技巧，如教会学生如何感悟和处理信息，还可以让学生学会使用表格或图形来将数据条理化，理顺各种数据之间的复杂关系，建立直观的数学信息图。教师还应教会学生抓住事物的本质，对于非本质方面的信息要学会忽略。