一次不定方程及方程的整数解问题

一次不定方程（组）及方程的整数解问题
【写在前面】
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.
【本讲重点】
求一次不定方程（组）的整数解
【知识梳理】
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.
重要定理：
设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：
定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；
定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨
⎧-=+=at
y y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.
定理3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.
求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；
（4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：
（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.
【学法指导】
【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解. 【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到⎩⎨
⎧==1
,
1y x 是43=+y x 的一组整数解（特解）， 根据定理2 ，)(1,
31是整数t t y t x ⎩
⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.
（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，
∴根据定理1，原方程的无整数解.
【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.
【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x . 答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数t t
y t x ⎩⎨
⎧-=-= 【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.
【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数
部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解. 【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.
由原方程可得7
5323075314210719213y
y y y y x -+
-=-+-=-=
， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.
∴方程的通解为)(72,
1925是整数t t y t x ⎩
⎨
⎧-=+=.
其中⎩
⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
<
->7
2,1925
t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨
⎧==⎩⎨
⎧==.
2,
25.9,
6y x y x 或 【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易
找出一组整数解来.
【实践】求方程2654731=+y 的正整数解. 答案： x=4,y=3.
【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.
【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.
【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .
又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,
1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=
由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩
⎨
⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,
7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x 答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车
3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.
【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.
【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？ 答案：7
【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].
【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.
〈方法一〉 〈方法二〉
特解：)(3116125165是整数通解：t t
y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x x y -∴-=
答：此人的生日为5月16日.
16
55
0125121121)(512)12(mod 711)
12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数 .16
50
3131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x
【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的3
1
，求一切这样三位数的和. 答案：432
【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 . 【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值. 【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=- 由题意可得，n ≠8，∴8
66
9866729869896-+
=-+-=--=--=
n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75.
【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.
【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28
【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？
【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：
⎪⎩⎪⎨
⎧
=++=++100100
3135z y x z y x
如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.
【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=++=++)
2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.
〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨
⎧-=+=⎩⎨
⎧== .2,1,0718
10
7180440
0=∴⎪⎩
⎪
⎨⎧<->⎩⎨
⎧>->+∴⎩⎨
⎧>>t t t t t y x 解得 ⎪⎩
⎪
⎨⎧===⎪⎩
⎪
⎨⎧===⎪⎩
⎪
⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：
相应地 〈方法二〉
〉
下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.
10047500300
5
3
,147t t y t
x y x y x y x y x ⎩
⎨
⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+ 〈方法三〉
下面方法同〈一〉
是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t t
y t
x t
y t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-= 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.
【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）
【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.
【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.
【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨
⎧=+=+)
2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解， 从而（1）的整数解是)()
4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨
⎧+=-= 又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()
6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨
⎧+=-= 将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,
372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩
⎪⎨
⎧-=++=---=
【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解. 答案：)(.83213,3,
238是整数、v u v u z v y u v x ⎪⎩
⎪⎨
⎧--=-=+-=
【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？
【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.
【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .
∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴28
36531365<++<c b a .
∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学.
【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.
【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she
buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag? 答案：96
【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.
（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？ （2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？
【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数. 【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ， 整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.
（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，
又∵.2
9
0.01,029,0,0,
0,
0<<⎪⎩
⎪
⎨⎧>+>->∴⎪⎩
⎪⎨
⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x
因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.
【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.
【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数. 答案：170，40.
【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为n a .
（1）求3a 的值；（2）求2001a 的值.
【分析】审清题中n a 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.
【解答】（1）当n=3时，原方程为32=++z y x ，由于.10,0,0≤≤≥≥z y x 得 当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y ）=(0,1),(1,0) 有2组；
当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y ）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，3a =6.
（2）当n=2001时，原方程为20012=++z y x ，由于.10000,0,0≤≤≥≥z y x 得
当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组； 当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y ）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…； 当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y ）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组. 综上，2001a =2+4+6+…+2002=1003002.
【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题. 【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 C
A.20001999
B.19992000
C.2001000
D.2001999
【总结反思】
以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.
【题海拾贝】
1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ） A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、4
2. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .
3. 如果三个既约真分数6
,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和. 4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？ 5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求AB 两地的距离. 答案：
5 4.121 5.273
1.D
2.673
3.
12。