次不定方程及方程的整数解问题-

合集下载

求不定方程的整数解(含答案)-

求不定方程整数解有三对夫妻一同上商店买东西.男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、•姓赵、姓尹。

他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价(元数).现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元,并且孙先生所买的商品比赵女士多23件,金先生所买的商品比李女士多11件,问孙先生、陈先生、金先生的爱人各是谁？例1．若b a ,都是正整数，且2001500143=+b a ，求b a +的值．(2001年北京市初中数学竞赛)例２设m 为正整数，且方程组⎩⎨⎧-==+17001113mx y y x ()()21 有整数解，求m 的值。

（“希望杯”数学竞赛试题）例３已知自然数y x ,满足789=+yx ，求y x +的值．（五羊杯数学竞赛试题）【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值．思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ． 5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根1.已知实数x,y,z 适合x+y=6,z 2=xy -9,则z 等于( )A.±1B.0C.1D.-12.方程组44,23.ab bc ac bc +=⎧⎨+=⎩的正整数解(a,b,c)的组数是( ) A.4 B.3 C.2 D.13.方程xy=x+y 的整数解有_____组.4.设x,y 都是正整数,且使,则y=+的最大值为________.5.求满足1116x y -=的所有正整数x,y.1.( )A.不存在B.仅有1组C.有2组D.至少有4组2.设a 、b 、c 为有理数,且等式则2a+999b+1 001c 的值是( )A.1 999B.2 000C.2 001D.2 0033.满足方程11x 2+2xy+9y 2+8x -12y+6=0的实数对(x,y)的个数等于_____.4.实数x,y 满足x ≥y ≥1和2x 2-xy -5x+y+4=0,则x+y=_________.5.a 、b 、c 都是正整数,且满足ab+bc=3 984,ac+bc=1 993,则abc•的最大值是______.6.象棋比赛共有奇数个选手参加,每位选手都同其他选手比赛一盘,记分办法是胜一盘得1分,平一盘各得0.5分,输一盘得0分,已知其中两名选手共得8分,其他人的平均分为整数,求参加此次比赛共有多少人?、。

二元二次不定方程的整数解

二元二次不定方程的整数解1. 介绍不定方程是指未知数在整数范围内，且方程中存在至少一个未知数的整数解的方程。

二元二次不定方程是指含有两个未知数的二次方程，其中未知数的系数和常数项都是整数。

二元二次不定方程的整数解问题是一个经典的数论问题，它在数学研究和实际应用中都有重要的意义。

解决这个问题可以帮助我们深入理解数论的基本概念和方法，同时也可以应用于密码学、编码理论、数值计算等领域。

在本文中，我们将介绍二元二次不定方程的整数解的基本概念和求解方法，以及一些实际应用。

2. 基本概念二元二次不定方程可以写成如下形式：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中，a、b、c、d、e、f是整数，且a、b、c不同时为0。

方程中的x和y是未知数。

我们的目标是寻找方程的整数解，即满足方程的x和y都是整数的解。

3. 求解方法3.1 暴力枚举法一种最简单的求解方法是暴力枚举法。

我们可以从整数范围内的所有可能的x和y值开始，将它们代入方程，判断是否满足方程。

这种方法可以找到所有的整数解，但是由于整数范围很大，计算量非常大，效率较低。

3.2 利用数论知识利用一些数论的知识，我们可以对二元二次不定方程的整数解进行进一步的求解。

例如，当方程的系数满足一定的条件时，我们可以利用模运算、平方剩余等数论方法来求解方程的整数解。

另外，对于一些特殊形式的二元二次不定方程，比如裴蜀定理中的方程，我们可以利用裴蜀定理的性质来求解方程的整数解。

3.3 辗转相除法辗转相除法是一种求解二元二次不定方程的常用方法。

它基于最大公约数的性质，通过不断地进行除法运算，最终可以得到方程的整数解。

具体步骤如下：1.利用辗转相除法求解方程 ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 的整数解。

2.将方程化简为形如 u^2 - Dv^2 = N 的形式，其中 u = 2ax + by + d，v =y，D = 4ac - b^2，N = 4af - d^2 - b(e + by)。

二元一次不定方程的解法总结与例题

探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。

我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。

一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。

如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。

定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。

通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。

不定方程的解法

二元一次不定方程的解法求a * x + b * y = n的整数解。

1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：x = n' * x0 + b' * ty = n' * y0 - a' * t(t为整数)上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。

我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程 x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at 代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。

数学竞赛中不定方程_组_整数解问题的求解策略

析问题能力. 较为常见的几种解法有: 因式分
解法、判别式法、引参数法、整式分离法、分析
法、组合计数法、同余法、配方法、换元法、利
用不等关系化为一元方程求解等.
1 因式分解法
例 1 整数 a, b 满足 6ab = 9a - 10b +
303, 则 a + b =
.
解原方程可化为( 3a + 5) ( 2b - 3) = 288 = 25 × 32 .
∴x , x + y 都为奇数, ∴y 为偶数, 又 y 为质数, ∴y = 2. 即 z = x 2 + 2x - 120 = ( x - 10) ( x +
12) . 又 ∵z 为奇质数, ∴x - 10 = 1, x + 12
= z , ∴x = 11, z = 23, ∴ 原方程的解为 x = 11, y = 2, z = 23. 评注质数与奇数、偶数的关系在解有
方程可知, x 为偶数, 从而 x = 2.
代入原方程得 y = 1, z = 1, 解得( 2, 1,
1) .
评注本题主要是利用对方程组的分
析确定 x 与 y , x 与 z 的大小关系来判断 x 的
取值范围, 再进一步用 x 的奇偶性确定 x 的
值. 此题也可将 x 3 - y 3 - z 3 - 3x y z 分解成因式( x - y - z) ( x2 + y2 + z2 + xy - yz +
0 且 437 -
5t >
0,
得
1 3
<
t<
437 5
.
t 可取值为 1, 2, 3, …, 87, 故共有 87 组解.

数学竞赛中方程整数解的实用求法

数学竞赛中方程整数解的实用求法(本讲适合初中)近年来，在各级各类数学竞赛中，方程整数解的问题备受关注，它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相综合，涉及面宽、范围广，往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧. 笔者根据自己的体会讲讲求解这类问题的方法和基本思考途径，供读者参考.1 不定方程的整数解一般地，不定方程有无数组解. 但是，若加上限制条件如整数解等，就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解，所以先讲不定方程整数解的求法. 常用的有下述三种方法.1.1 因式分解法这是最常用的方法，它适用于一边可以分解因式，另一边为常数的方程. 根据是正整数的惟一分解定理：每一个大于1的正整数都可以惟一地分解成素数的乘积. 方法是分解常数后构造方程组求解.例1 求方程xy ＋x ＋y ＝6的整数解.(1996，湖北省黄冈市初中数学竞赛)解：方程两边加上1，得xy ＋x ＋y ＋1＝7.左边＝(x ＋1)(y ＋1)，右边＝1×7＝(－1)×(－7).故原方程的整数解由下列方程组确定：⎩⎨⎧++；＝，＝7111y x ⎩⎨⎧++；＝，＝1171y x ⎩⎨⎧++；＝－，＝－7111y x ⎩⎨⎧++.1171＝－，＝－y x 解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧.2882066044332211＝－，＝－；＝－，＝－；＝，＝；＝，＝y x y x y x y x 1.2 选取主元法有些含有二次项的不定方程，可以选取其中的某一变量为主元，得到关于主元的二次方程，再用根的判别式△≥0定出另一变量的取值范围，在范围内选出整数值回代得解.例2 求方程7322＝yxy x y x +-+的所有整数解. (第十二届全俄数学竞赛)解：以x 为主元，将方程整理为3x 2－(3y ＋7)x ＋(3y 2－7y)＝0因x 是整数，则△＝［－(3y ＋7) ］2－4×3（3y 2－7y ）≥0 ⇒931421-≤y ≤931421+ ⇒整数y ＝0，1，2，3，4，5.将y 的值分别代入原方程中计算知：只有y ＝4或5时，方程才有整数解，即x 1＝5，y 1＝4；x 2＝4，y 2＝5. 1.3 整式分离法当分式中分子的次数不小于分母的次数时，可将分子除以分母，把整式(即所得商式)分离出来.若所得余式为常数，则用倍数约数分析法求解较容易；若余式不是常数，则可以根据实际情况构造二次方程，选取原先变量为主元求解. 例3 题目同例1.解：用含y 的式子表示x ，得x ＝16+-y y . 分离整式得x ＝－1＋17+y . 因x 为整数，则17+y 为整数.故y ＋1为7的约数，y ＋1＝±1，±7.(笔者注：这种思考方法就是倍数约数分析法)得y ＝0，－2，6，－8.进而x ＝6，－8，0，－2.2 含参数的二次方程的整数解这类整数根问题，近年考查最频繁.实用思考途径有下列四种.2.1 途径一：从判别式入手因为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有根x ＝ab 2∆±-，所以要使方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.这是基本思想.常用方法如下.1. 当△＝b 2－4ac 为完全平方式时，直接求方程的解，然后解不定方程.例4 已知方程a 2x 2－(3a 2－8a )x ＋2a 2－13a ＋15＝0(其中a 为非负整数)至少有一个整数根.那么，a ＝_________.(1998，全国初中数学竞赛)解：显然a ≠0.故原方程为关于x 的二次方程.△＝[－(3a 2－8a )]2－4a 2(2a 2－13a ＋15)＝[a (a ＋2)]2是完全平方式.故x ＝222)2()83(aa a a a +±- 即 x 1＝a a 32-＝2－a 3，x 2＝a a 5-＝1－a5. 从而，由倍数约数分析法知a ＝1，3或5.2. 当△＝b 2－4ac ≥0且不是完全平方式时，一般有下列三种思考途径.(1)利用题设参数的范围，直接求解.例5 设m ∈Z ，且4＜m ＜40,方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.解：因方程有整数根，则△＝[－2(2m －3)]2－4(4m 2－14m ＋8)＝4(2m ＋1)为完全平方数.从而，2m ＋1为完全平方数.又因m ∈Z 且4＜m ＜40,故当m ＝12或24时，2m ＋1才为完全平方数.因为x ＝(2m －3)±12+m ，所以，当m ＝12时，x 1＝16，x 2＝26；当m ＝24时，x 3＝38，x 4＝52.(2)先用△≥0求出参数的范围.例6 已知方程x 2－(k ＋3)x ＋k 2＝0的根都是整数.求整数k 的值及方程的根.解：△＝[－(k ＋3)]2－4k 2＝－3k 2＋6k ＋9≥0⇒ k 2－2 k －3≤0⇒－1≤k ≤3⇒整数k ＝－1，0，1，2，3.由求根公式知x ＝2)3(∆±+k ，故当k ＝－1时，△＝0，x ＝1；当k ＝0时，△＝9，x ＝0或3；当k ＝1时，△＝12不是完全平方数，整根x 不存在；当k ＝2时，△＝9，x ＝1或4；当k ＝3时，△＝0，x ＝3.因此，k ＝－1，0，2，3，x ＝1，0，3，4.(3)设参数法，即设△＝k 2.当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法.例7 当x 为何有理数时－代数式9x 2＋23x －2的值恰为两个连续正偶数的乘积？(1998，山东省初中数学竞赛)解：设两个连续正偶数为k ﹑k ＋2.则9x 2＋23－2＝k (k ＋2),即 9x 2＋23－( k 2＋2k ＋2)＝0.由于x 是有理数，所以判别式为完全平方数，即△＝232＋4×9(k 2＋2 k ＋2)＝565＋[6(k ＋1)]2令△＝p 2(p ≥0)，有p 2－[6(k ＋1)]2＝565＝113×5＝565×1.左边＝[p ＋6(k ＋1)][ p －6(k ＋1)]，p ≥0，k ＞0，得）（＝＝1,5)1(6,113)1(6⎩⎨⎧+-++k p k p或 )2(,1)1(6,565)1(6⎩⎨⎧+-++＝＝k p k p解(1)得k ＝8，于是，x ＝2或－941；解(2)得k ＝46，于是，x ＝－17或9130. 总之，当x ＝2，－941或x ＝－17，9130时. 9x 2＋23x －2恰为两正偶数8和10，或者46和48的乘积. 2.2 途径二：从韦达定理入手1. 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.例8 a 是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x 的二次方程x 2＋(k 2＋ak )x ＋1999＋ k 2＋ ak ＝0的两个根均为质数. 求a 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：设方程的两个质数根为p ﹑q . 由根与系数的关系，有 p ＋q ＝－(k 2＋ak )， ①pq ＝1 999＋k 2＋ak . ②①＋②，得 p ＋q ＋pq ＝1 999则(p ＋1)(q ＋1)＝24×53. ③由③知，p 、q 显然均不为2，所以必为奇数.故21+p 和21+q 均为整数，且2121+⋅+q p ＝22×53. 若21+p 为奇数，则必21+p ＝5r (r ＝1，2，3)，从而，p ＝2×5r －1为合数，矛盾. 因此，21+p 必为偶数.同理，21+q 也为偶数.所以，21+p 和21+q 均为整数，且4141+⋅+q p ＝53.不妨设p ≤q ，则41+p ＝1或5. 当41+p ＝1时，41+q ＝53，得p ＝3，q ＝499，均为质数.当41+p ＝5时，41+q ＝52，得p ＝19，q ＝99，q 为合数，不合题意.综上可知，p ＝3，q ＝499.代入①得k 2＋ak ＋502＝0. ④依题意，方程④有惟一的实数解.故△＝a 2－4×502＝0.有a ＝25022.利用“两根为整数时，其和、积必为整数”.例9 求满足如下条件的整数k ，使关于x 的二次方程(k －1) x 2＋( k －5) x ＋k ＝0的根都是整数.解：设方程的两根为x 1﹑x 2.则x 1＋ x 2＝－15--k k ＝－1＋14-k ， x 1 x 2＝1-k k ＝1＋11-k ，且 x 1＋x 2和x 1 x 2都是整数.从而，14-k 和11-k 都是整数. 于是，k －1为4和1的约数.故k －1＝±1⇒ k ＝0或2.检验知，k ＝0或2时，方程的两根均为整数.所以，k ＝0或2. 2.3 途径三：联想二次函数因为一元二次方程与二次函数联系密切，所以适时地借助二次函数知识解决方程问题，往往十分奏效.例10 已知b ，c 为整数，方程5x 2＋bx ＋c ＝0的两根都大于－1且小于0.求b 和c 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：根据二次函数y ＝5x 2＋bx ＋c 的图像和题设条件知：当x ＝0时，5x 2＋bx ＋c ＞0，有c ＞0； ① 当x ＝－1时，5 x 2＋bx ＋c ＞0，有b ＞5＋c . ②因抛物线顶点的横坐标－52⨯b 满足1－＜－52⨯b ＜0，则0＜b ＜10. ③ 又因△≥0，即b 2－20c ≥0,故b 2≥20c. ④ 由①、③、④得100＞b 2≥20c ，c ＜5.若c ＝1，则由②、④得0＜b ＜6且b 2≥20,得b ＝5；若c ＝2，则0＜b ＜7且b 2≥40，无整数解；若c ＝3，则0＜b ＜8且b 2≥60，无整数解；若c ＝4，则0＜b ＜9且b 2≥80，无整数解.故所求b 、c 的值为b ＝5，c ＝1.2.4 途径四：变更主元法当方程中参数的次数相同时，可考虑以参数为主元求解. 例11 试求所有这样的正整数a ，使方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a－3)＝0至少有一个整数解.(第三届祖冲之杯数学竞赛)解：因为方程中参数a 是一次，所以可将a 用x 表示，即a ＝2)2()6(2++x x . ① 又a 是正整数，则2)2()6(2++x x ≥1. 解得－4≤x ≤2且x ≠－2.故x ＝－4,－3,－1,0,1,2.分别人入①得a ＝1,3,6,10.3 其他类型3.1 分类讨论型当方程中最高次项的系数含有变参数时，应先分系数为0或不为0讨论.例12 求使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数的k 值.(第十三届江苏省初中数学竞赛)解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论.当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程.设两个整数根为x 1和x 2,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=+-=+②① .111,1112121k k k x x k k k x x由①－②得x 1＋x 2－x 1x 2＝－2⇒(x 1－1)(x 2－1)＝3.＝1×3＝(－1)×(－3).有⎩⎨⎧=-=-;31,1121x x ⎩⎨⎧-=--=-;31,1121x x ⎩⎨⎧=-=-;11,3121x x ⎩⎨⎧-=--=-.11,3121x x 故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即－1－k 1＝6或－1－k1＝－2. 解得k ＝－71或k ＝1. 又△＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－71或k ＝1时，都有△＞0.所以，满足要求的k 值为k ＝0，k ＝－71，k ＝1. 3.2 数形结合型当问题是以几何形式出现，或容易联想到几何模型的时候，可考虑用数形结合法.这是一种极为重要的解题方法，它具有形象直观的特点，可使许多问题获得巧解.例13 以关于m 的方程m 2＋(k －4)m ＋k ＝0数根为直径作⊙O.P 为⊙O 外一点，过P 切线PA 和割线PBC ，如图1，A 为切点.这时发现PA 、PB 、PC 都是整数，且PB 、BC 都不是合数，求PA 、PB 、PC 的长. 解：设方程两根为m 1、m 2则⎩⎨⎧=-=+②① .,42121k m m k m m 又设PA ＝x ，PB ＝y ，BC ＝z ，则x ﹑y ﹑z 都是正整数. 由切割线定知PA 2＝PB •PC ＝PB (PC ＋BC )，即 x 2＝y 2＋yz ⇒(x ＋y )(x －y )＝yz . ③消去①和②中的k ，得m 1m 2＝4－m 1－m 2.整理分解，得(m 1＋1)(m 2＋1)＝5.图1因为⊙O 的直径是方程的最大整数根，不难求得最大整根m ＝4.进而，z ＝BC ≤4.又正整数z 不是合数，故z ＝3，2，1.当z ＝3时，(x ＋y )(x －y )＝3y ，有⎩⎨⎧=-=+;,3y y x y x ⎩⎨⎧=-=+;3,y x y y x ⎩⎨⎧=-=+.1,3y x y y x 可得适合题意的解为x ＝2，y ＝1.当z ＝1和z ＝2时，没有适合题意的解，所以，PA ＝x ＝2，PB ＝y ＝1，PC ＝y ＋z ＝4.3.3 综合探索型当已知方程不止一个或结论不明确时，常用综合分析、假设探索法求解.例14 已知关于x 的方程4x 2－8nx －3n ＝2和x 2－(n ＋3)x －2n 2＋2＝0.问是否存在这样的n 的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.(2000，湖北省初中数学选拔赛)解：由△1＝(－8n )2－4×4×(－3n －2)＝(8n ＋3)2＋23＞0，知n 为任意实数时，方程(1)都有实数根.设第一个方程的两根为βα、.则α＋β＝2n ，αβ＝42n 3--. 于是，(βα-)2＝(βα+)2－4αβ＝4n 2＋3n 2＋2.由第二个方程得[x －(2n ＋2)][x ＋(n －1)]＝0解得两根为x 1＝2n ＋2，x 2＝－n ＋1.若x 1为整数，则4n 2＋3n ＋2＝2n ＋2.于是n 1＝0，n 2＝－41. 当n ＝0时，x 1＝2是整数；n ＝－41时，x ＝23不是整数，舍去.若x 2为整数，则4n 2＋3n ＋2＝1－n .有n 3＝n 4＝－21.此时x 2＝23不是整数，舍去. 综合上述知，当n ＝0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根.练习题1. 设a 为整数. 若存在整数b 和c ，使(x ＋a)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )，则a 可取的值为_________(1998，上海市鹏欣杯数学竞赛)(提示：变形后用因式分解法. a ＝9，－15，－39)2. 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数. 求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)(提示：求出二根x 1＝－1－42-k ，x 2＝－1－24-k ，从中消去k 得x 1x 2＋3x 1＋2＝0，分解得x 1(x 2＋3)＝－2.借助方程组得k ＝6，3，310) 3. 求所有的正整数a 、b 、c ，使得关于x 的方程x 2－3ax ＋2b ＝0，x 2－3bx ＋2c ＝0，x 2－3cx ＋2a ＝0的所有的根都是正整数. (2000，全国初中数学联赛)(提示：从根与系数的关系入手，结合奇偶性分析，得a ＝b ＝c ＝1.)4. 已知方程：x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有二整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.(1)求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0.(2)求证：b －1≤c ≤b ＋1.(3)求b 、c 的值.(1993，全国初中数学竞赛)(答案：b ＝5，c ＝6或b ＝6，c ＝5.)5.x 、y 为正整数，100111=-y x .则y 的最大值为_________. (1998，重庆市初中数学竞赛)(提示：用因式分解法，结果为9 900.)6.k 为什么整数时，方程(6－k )(9－k )x 2－(117－15k )x ＋54＝0的解都是整数？(1995，山东省初中数学竞赛)(提示：对系数(6－k)(9－k)分为0与不为0讨论，得k值为3，6，7，9，15.)一元二次方程的整数根问题(本讲适合初中)迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件，通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的范围.整系数一元二次方程有整数根的必要条件：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.例1 设方程mx2－(m－2)x＋m－3＝0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程的所有整数解.分析：若m＝0，则2x－3＝0，此时方程无整数解；当m≠0时，考察△＝－3m2＋8m＋4，注意到二次项系数为负，方程有解，则－3m2＋8m＋4≥0.解得3724-≤m≤3724+.+因为m是整数，故只能取1，2，3.当m＝1时，方程有解：－2和1；当m＝2时，方程无整数解：当m＝3时，方程有整数解：0.注：当判别式二次系数为负时，解不等式得关于参数的一个有限长区间，又因为参数为整数，可以讨论得解.例2 当x为何有理数时，代数式9x2＋23x－2的值恰好为两个连续的偶数积.(1998，山东省初中数学竞赛)分析：设两个连续的偶数为n，n＋2，问题转化为：当n为何值时，方程9x2＋23x－2＝n(n＋2)有有理数根.有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为一个整数或有理数的完全平方.考察判别式△＝232＋36(n2＋2n＋2)＝36(n ＋1)2＋565.由于n 是整数，所以判别式应为整数的完全平方.设 36(n ＋1)2＋565＝m 2(m 为大于565的自然数).移项因式分解，得(m ＋6n ＋6)(m －6n －6)＝1×5×113.只有⎩⎨⎧=--=++566,11366n m n m 或 ⎩⎨⎧=--=++.166,56566n m n m 解得n ＝8，或n ＝46.分别代入原方程得方程有理数解为－941，2或9130，－17. 注：当判别式为关于某一参数的二次式，且二次项系数为正时，可采用配方法变形为：ƒ2(α) ＋常数(α是整数).然后采用例1的方法，通过分析得解.例3 求一实数p ，使用三次方程5x 3－5(p ＋1)x 2＋(71p －1)x＋1＝66p 的三个根均为自然数.(1995，全国高中数学联赛)分析：观察可知，1是方程的解，方程可转化为(x －1)(5x 2－5px ＋66p －1)＝0问题转化为：求一切实数p 使方程5x 2－5px ＋66p －1＝0的解为自然数.由韦达定理知，p 为方程两根之和，即p 是自然数.仿例2得△＝(5p －132)2－17 404.设(5p －132)2－17 404＝n 2(n ＞0，n 为自然数).移项分解可得(5p －132＋n)(5p －132－n)＝22×19×229.又(5p －132＋n)，(5p －132－n)同奇偶，所以，⎩⎨⎧⨯=--⨯=+-.1921325,22921325n p n p 解得p ＝76.注：从表面上看，此题中的p 是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是自然数，故可采用前法求得.例4设m 为整数，且4＜m ＜40，又方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.(1993,天津市初中数学竞赛)分析：考察判别式△＝4(2m ＋1)，因是关于m 的一次式，故例1，例2的方法均不可用.由已知4＜m ＜40，可知9＜2m ＋1＜81.为使判别式为完全平方数，只有2m ＋1＝25或2m ＋1＝49.当2m ＋1＝25时，m ＝12，方程两根分别为16，26；当2m ＋1＝49时，m ＝24，方程两根分别为38，52.注：当判别式不是二次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围，进而求解；当判别式较复杂时，则应改用其他办法，参见例5.例5 α是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x的方程x 2＋(k 2＋αk )x ＋1 999＋k 2＋αk ＝0的两根为质数.求α的值.(1999，全国初中数学联赛)分析：因为α、k 均为实数，判别式法不能解决.设方程两根为x 1、x 2，且x 1≤x 2，x 1、x 2均为质数，则⎪⎩⎪⎨⎧++=--=+.9991,221221k k x x k k x x αα 消掉参数得x 1＋x 2＋x 1x 2＝1 999，即 (x 1＋1)(x 2＋1)＝2 000＝24×53.显然，x 1≠2. 于是，x 1＋1，x 2＋1都是偶数且x 1＋1≤x 2＋1.故只有如下可能：⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,2132221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,213231x x ⎩⎨⎧⨯=+⨯=+;521,5212321x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+;521,52122221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+22221521,521x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+.521,5212231x x符合题意的只有⎩⎨⎧==.499,321x x 于是，3＋499＝－k 2－αk .因为存在惟一的k ，故方程k 2＋αk ＋502＝0有两等根. 判别式△＝α2－4×502＝0，解得α＝2502.注：应用韦达定理的关键在于消去参数，首先求得方程的解，在消去参数之后，要注意因式分解的使用.例6 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)﹒x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)分析：方程的表达式比较复杂，判别式法和韦达定理均不可用.将原方程变形得(k －2)(k －4)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0. 分解因式得[(k －2)x ＋k ＋2][(k －4)x ＋k －2]＝0.显然，k ≠2，k ≠4.解得x 1＝－42--k k , x 2＝－22-+k k . 消去k 得x 1x 2＋3x 2＋2＝0∴ x 2(x 1＋3)＝－2.讨论得⎩⎨⎧=+-=;13,212x x 或⎩⎨⎧-=+=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=.23,121x x 解x 1、x 2，代入原式得k 值为6，3，310. 注：当判别式与韦达定理均难解决时，这时反而意味着可用因式分解法求出方程的根，然后再整理转化.例7 设α为整数，若存在整数b 和c ，使得(x ＋α)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )成立，求α可取的值.(1998，上海市初中数学竞赛)分析：此题可转化为：当α为何值时，方程(x ＋α)(x －15)－25＝0有两个整数根.方程可化为x 2－(15－α)x －15α－25＝0视其为关于α的一次方程，整理得α(x －15)＝－x 2＋15x ＋25.易知x ≠15，∴α＝1525152-++-x x x ＝－x ＋1525-x .注：此解法为分离参数法，它适合于参数与方程的根均是整数，且参数较易于分离的情况.如此题变形为α＝ƒ(x )，然后利用函数的性质求解，这是一种应用较广泛的方法.上面只介绍了处理整数根问题的常用解法，这些解法的基本依据是：方程有整数根的必要条件. 基本方法是：(1)判别式讨论法(主要讨论由判别式决定的参数范围，由判别式为完全平方数求参数)；(2)韦达定理法；(3)判别式与韦达定理结合法；(4)分离参数法(通过分离参数，利用根为整数的条件讨论).需说明的是，每个题的解法都不是惟一的，本文所给的只是较简洁的一种.同学们在解题时，应因题而定方法，不断求新，才能领悟数学的美感.练习题1. 求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程kx ＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数.(第十三届江苏省初中数学竞赛)(k ＝0，k ＝－71，k ＝1) 2. 关于x 的方程(m 3－2m 2)x 2－(m 3－3m 2－4m ＋8)x ＋12－4m ＝0的根均为整数，求实数m 的值.(提示：应用求根消参法，得m ＝1，或m ＝2.)3. 求所有正实数α，使方程x 2－αx ＋4α＝0仅有整数根. (1998，全国初中数学联赛)(提示：分离参数法. α＝42-x x ＝x ＋4＋416-x ，讨论得α＝25，或18，或16).4. 已知方程x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有两个整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.①求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0；②求证：b －1≤c ≤b ＋1；③求b 、c 所有可能的值.(1993，全国初中数学联赛)(提示：应用韦达定理，得⎩⎨⎧==65c b ⎩⎨⎧==56c b ⎩⎨⎧==44c b )5.某顾客有钱10元，第一次在商店买x 件小商品花去y 元，第二次再去买该小商品时，发现每打(12件)降价0.8元，他比第一次多买了10件，花去2元.问他第一次买的小商品是多少件？(x 、y 为正整数)(提示：列方程128.0102=+-x x y 问题转化为：y 为何值时，方程x 2＋(40－15y )x －150y ＝0有正整数解，利用判别式可求得x ＝5，或x ＝50.)。

求不定方程整数解的常用方法

求不定方程整数解的常用方法摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.关键字：不定方程;整数解;整除性1引言不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技巧的积累与总结.不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能力、运算能力、解决问题能力的好材料.2不定方程的定义所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系.下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结：3一般常用的求不定方程整数解的方法(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程025=-++y x x 的整数解解已知方程可化为 231232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此5,1,3,1,3,3,1,12---=--=+x x 即相应的.0,2,0,4=y所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解:18433,413337,33237107+⨯=+⨯=+⨯=从最后一个式子向上逆推得到19107)26(37=⨯+-⨯所以25)259(107)2526(37=⨯⨯+⨯-⨯则特解为⎩⎨⎧=⨯=-=⨯-=225259650252600y x 通解为Z t t t y t t x ∈⎩⎨⎧++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650或改写为.,3731078Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=--= (3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程1111=++zy x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解因为z y x ≥≥所以zy x 111≤≤ 所以zz z z y x z 1111111++≤++〈 即 zz 311≤〈 所以31≤〈z所以.32==z z 或当2=z 时有2111=+y x 所以y y y x y 11111+≤+〈 所以y y 2211≤〈 所以42≤〈y所以;46,43或相应地或===x y y当3=z 时有3211=+y x 所以yy y x y 11111+≤+〈 所以 y y 2321≤〈 所以.3;3,3==≤x y y 相应地所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.有10737〈，用y 来表示x ，得 37412313710725y y y x +-+-=-=则令 12374,37412=-∈=+-m y Z m y 即由4<37,用m 来表示y ,得 49343712m m m y ++=+=令.4,4t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为 Z t t y t x ∈⎩⎨⎧=+--=,3731078 注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.②对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.⎩⎨⎧⎩⎨⎧∈-=+=∈+=-=)(,)(,0000Z t at y y bt x x Z t at y y bt x x 或 (5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.解原方程等价于0)28(5)1(331405314353=-+-⇔+=+⇔=+y x y x y x因为()15,3=所以⎩⎨⎧∈=-=-Z t t y t x ,32851 所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=-= (6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程32822=+y x 的正整数解.解显然y x ≠,不妨设0〉〉y x因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.令112,2v y x u y x =-=+则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且所以1111,v u y v u x -=+=代入原方程得1642121=+v u同理，令2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且于是，有822222=+v u 再令3223222,2v v u u v u =-=+得412323=+v u此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且 []641033=≤〈〈u v取,5,4,3,2,13=v 得相应的16,25,32,37,4023=u所以，只能是.4,533==v u从而2,18==y x结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程7111=+y x 的正整数解. 解显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7111=+y x 可化为717171=+++n m 整理得 ()()()().49,777777=++=+++mn n m n m 即所以49,1;7,7;1,49332211======n m n m n m相应地56,8;14,14;8,56332211======y x y x y x所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且bc a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.解由题意得⎩⎨⎧==++acb c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程()().0132622=-+-+a c a c 因为()().3520,01342622≤≤≥---=∆a a a 解得因,0≠a若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时;9311641⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时;912161416⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或 (9)配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若.,24522的值求x y y x y x y x ++=++ 解由题意 045222=+-+-y y x x 即()021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 所以21,1==y x 所以23211=+=+x y y x (10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p解设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤由根与系数关系得⎩⎨⎧=⋅-=+pq x x q p x x 51082121 因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数. 所以⎩⎨⎧==p q p q pq pq x q p q p x ,,5,5,,55,5,,,5,121 所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以,1,5885,1710⎩⎨⎧--=-=+q p 解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对. ④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或(11)整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()A.2个B.4个C.6个D.8个解当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数;当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩⎨⎧+=-=kkx y x y 3的解，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=1413k k y k k x 因为x 、y 均为整数,所以1-k 只能取4,2,1±±±解得.3,5,1,3,0,2-=k综上，答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值. 解因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为()()(),25223229843222k k k k k k k x ++±+-=++±+-= 由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式. 可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即 ()(),512222⨯=--++k m k m因为m 、k 均是整数,所以⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩⎨⎧=--=++122522k m k m ⎩⎨⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m 解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程431112=++xy y x 的整数解. 解已知方程可化为()044342=-+-xy y x因为x 、y 均为整数，所以,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.于是，令(),464481622n x x =+-其中n 为正整数所以()04322=-+-n x x因为x 、n 均为整数所以(),04492≥--=∆n 且为完全平方数，即有，742-n 为完全平方数.于是，再令,7422m n =-其中m 为正整数所以()()722=-+m n m n因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22所以12,72=-=+m n m n由上.2=n相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为,⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解. 解已知方程可化为ab a b =-128所以()()9696812-=+-+b a ab即()()96128-=+-b a因为a 、b 都是正整数所以1212,0〉+〉b b这样964832241612或或或或=+b所以4=b 或12或20或36或84相应地2=a 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,24小结本文只针对不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义;并且，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.不定方程（组）在人们的实际生活中有一定的现实意义和应用价值.正确解决这类问题的关键,是在把实际问题转化为数学问题后,依据问题中的条件，特别注意挖掘隐含的条件，使理论化与实际化相结合，灵活运用所学的数学知识，从而讨论出符合题意的解.本文对解决这类问题的方法做以总结，在解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活选用方法技巧，这对于学生的思维能力、分析问题、解决问题的能力的提高有很大的帮助.参考文献[1] 王云峰.判别式法[J].数学教学通讯,2011(07):14—16.[2] 濮安山.中学数学解题方法[M].黑龙江:哈尔滨师范大学出版社，2003年10月.[3] 王秀明.浅析不定方程的解法[J].数理化学习,2009(8）:22—25.[4] 黄一生.因式分解在解题中的应用[J].初中生之友，2011(Z):32—35.[5] 张东海，尹敬会.浅谈韦达定理在解题中的应用[J].中学数学教学参考，1994(5):22-23.[6] 范浙杨 .初中数学竞赛中整数解问题的求解方法[J].中学数学研究，2006(12):17-19.[7] 黄细把.求不定分式方程整数解的几种方法[J].数理化学习（初中版），2005（3）:27—31.[8] Grinelord.On a method of solving a class of Diophantineequations[M].Mathcomp.,32(1978):936-940[9] 陈志云.关于不定方程(组)的一些常用的初等解法[J].高等函数学报(自然科学版)，1997(2):14-29.[10] 敏志奇.不定方程的若干解法[J].(自然科学版)，1998(3):87-91.谢辞经过一点时间的查找资料、整理资料、写作论文，今天，我的论文已接近尾声，这也意味着我的大学生活即将拉上帷幕，此时此刻真的让我感慨万分.论文撰写过程的每一个细节都影响着整篇论文的质量，稍一疏忽变出差错，这使我联想到我们的做人处事又何尝不是如此，每一个标点符号对我的考验是千真万确的事,标点符号竟然有着如此重要的地位，我想标点符号大概与我们在日常生活中的每一个细节的决定、每一次不经意的言谈举止一样吧！虽然非常细微却同样举足轻重.当然，在这将要完结的时刻，我将送上我真诚的感谢.首先，我要感谢我的论文指导老师—高丽老师.从初稿的批阅到最后的完成自然都离不开高老师的悉心指导，大体上论文撰写过程中高老师的指导模式是这样的：学生写好—高老师逐一批改—高老师进行当面指导—学生改写一次高老师再批注、再指导，如此不厌其烦的进行指导.在这里我要感谢高老师的随和、平易近人带给我很多心灵上的启迪，我想这是我大学里最后的有意义的一课.我想多少年之后我依然会清晰地记着高老师的和蔼可亲.其次，我要感谢我的同学，你们不但给了我很多宝贵的意见，有时候会亲自帮我修改论文.尤其是在大家时间都这么紧的情况下，竟然有同学花费整天的时间帮助我，在这里，我想表达我的感谢.谢谢！非常感谢！除过这些良师益友，最后我要感谢那些学识渊博并愿意把他所拥有的知识发表于书刊、网站的编写者们，让我有机会了解那么多知识，让我在论文中有了自己的想法和研究，谢谢你们的启迪.再次送上我诚挚的感谢!。

不定方程(含答案)-

7．不定方程A 卷1．若⎩⎨⎧==00y y x x 是二元一次不定方程ax + by = c （其中（a 、b ）=1）的一组整数解，则ax + by = c 的所有整数解为____________。

2．方程 6x + 22y = 90的非负整数解为___________。

3．方程 9x + 24y – 5z = 1000的整数解为___________。

4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(100533)1(100z y x z y x 的非负整数解为______________。

5．方程(x – a )(x – 8 ) – 1 = 0有两个整数根，则a 的值是___________。

6．方程0652=--xy x 的整数解为___________。

7．方程xy – 10 (x + y ) = 1的整数解为_____________。

8．满足x > y > 0 且x y y x 7733+=+的整数x = __________，整数y = _____________。

9．不定方程 8822=-y x 的整数解是____________。

10．（1）方程z x y =+1的质数解是__________；（2）方程a zy x =++111（其中a 是整数x 、y 、z 互不相等）的正整数解是___________；（3）方程2009=+y x 的整数解是____________。

（4）方程625.202222=+++d c b a 的整数解是____________。

B 卷1．不定方程22222b a c b a =++的所有整数解是____________。

2．对于正整数a 和b ，方程b a b a y x y x=++的所有正整数解是_____________。

3．方程22225)36(6n c b a =++的所有整数解是____________。

4．方程组⎩⎨⎧=++=--1979206222z y x z y x 的所有正整数解是____________。

不定方程的整数解修改稿

不定方程的整数解修改稿(总13页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-一次不定方程的整数解讲稿序言什么是不定方程我们知道在方程（方程组）里，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。

例如 2x －y －1＝0，则：y ＝2x －1.分别令x ＝1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的n 值.⎩⎨⎧==11y x ，⎩⎨⎧==32y x ，⎩⎨⎧==53y x ，⎩⎨⎧==74y x ，⎩⎨⎧==95y x ，……. 也就是说：2x －y －1＝0的所有的解（称为通解）为：y ＝2x －1.注意：上面只列出了它的正整数解.如果用k 代替x ，用n 代替y ，并且k 和n 只代表正整数，得到的答案是： 2k －n －1＝0的所有的解（称为通解）为：n ＝2k －1. n ＝1，3，5，7，9，….这个结论表明：如果k 取一切正整数1，2，3，…，那么n 表示所有的奇数（1，3，5，7，9…）.请记住这个结论：n ＝2k －1表示所有的奇数.又如 x －2y ＝300的解是：x ＝2y ＋300，每给出一个y 的值，就有一个x 的值与之对应.例如y ＝0，1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的x 值，又如方程组⎩⎨⎧=++=++)2....(18023)1........(100z y x z y x ，(2)－(1) 消去一个未知数y 之后，就变形为一个二元一次方程：2y －z ＝80所以它的解也是不确定的．像这类方程或方程组就叫不定方程或不定方程组．例1 有一堆鹅卵石，不知总个数.但知道：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后也是余2个；每次取7个，最后还是余2个；问这堆鹅卵石共多少个…余…余…余分析与解：实际上这个问题转化为数学问题就是：有一个正整数，无论被3除，被5除或者被7除，都余2；求这个数.如果列方程组就是：求个正整数M：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=)3...(27)2...(25)1...(23zMyMxM我们不妨这样来解：因为这个整数不论被3除，被5除或者被7除，总是余2；我们先求出它的一个特解：∵3×5×7＝105可以被3、5、7整除，∴3×5×7＋2被3、5、7除余数都是2，∴105＋2＝107就是这个问题的一个特解；∵3×5×7 ×n也可以被3、5、7整除，∴这个问题的特解107加上105n之后，被3、5、7除，余数也是2；∴其通解是107＋105n.例2现在把上一个问题改为：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后余3个；每次取7个，最后余2个；问这堆鹅卵石共多少个…余…余…余分析与解：我们不妨凑凑看，因为这个数被3和7余数都是2，太巧了，第一个23被5除余3，就是它的一个特解，根据上例的分析，其通解是3×5×7n ＋23＝105n ＋23.【说明】先求出它的一个特解是问题的关键．这就是《孙子算经》中的“物不知数”问题．原题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何答曰：二十三”意思就是，有一些物品，如果三个、三个的数，最后剩2个；如果五个、五个的数，最后剩3个；如果七个、七个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少注：《孙子算经》是南北朝时一部重要的数学著作。

专题7 一元一次方程的不定方程与整数解问题

2
2例求、2a同的、解值关方；于程若x的解方互程为4倒x-数1=，-5互与为2相反a 3数x时 0，的求解a的相值同程4x-1=-5与 2 a 的x 解 0相同
∴x=-1为 2 a 的x 解0
3
3
将x=-1代入可得 2 a (1) 0
3
∴a=5
练习：当m=
1 4
时，关于x的方程4x-2m=3x-1
的解是x=2x-3m的解的2倍。
1.若关于x的一元一次方程 2x - k - x - 3k = 1 的解是x=-1.则k
的值是_____1___.
3
2
25.有已相知同关的于解x的，方则程a的值2x3为- a__-_x-_12-_1_a__=_x. -1 与方程3（x-2）=4x-
3.小明同学在解关于x的一元一次方程3m+2x=4时，不小心
将+2x看作了-2x，得到方程的解是x=1，那么原方程正确的解是___-_1_____.
4.已知方程6-3（x+1）=0的解与关于x的方程k + x - 3k - 2 = 2x
的解互为相反数，则k的值为____-__15___.
2
3、整数解
例3、已知方程
x-4 6
-
kx - 1 3
=
1 3
是关于x的一元一次方程.
（1）当方程有解时，求k的取值范围；
（2）当k取什么整数值时，方程的解是正整数？
解：（1）去分母，得x-4-2（kx-1）=2.
去括号，得x-4-2kx+2=2.
移项、合并同类项，得（1-2k）x=4.
因为方程有解，所以1-2k≠0，所以k≠
2
解：
∵关于x的方程的解 3a

一次不定方程及方程的整数解问题

一次不定方程（组）及方程的整数解问题【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤：（1）判断有无整数解；（2）求出一个特解；（3）写出通解；（4）有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法；（2）穷举法；（3）因式分解法；（4）配方法；（5）整数的整除性；（6）奇偶分析；（7）不等式分析；（8）乘法公式.【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ；（2）13105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解. 【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ，观察得到⎩⎨⎧==1,1y x 是43=+y x 的一组整数解（特解），根据定理2 ，)(1,31是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ；（2）11145=-y x . 答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=-= 【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解. 【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=，由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【实践】求方程2654731=+y 的正整数解. 答案： x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x 答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？答案：7【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉〈方法二〉特解：)(3116125165是整数通解：t ty t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x x y -∴-=答：此人的生日为5月16日.16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数 .16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和. 答案：432【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 . 【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值. 【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=- 由题意可得，n ≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== .2,1,07181071804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t t y tx y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+ 〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-= 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解，从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-= 又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-= 将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解. 答案：)(.83213,3,238是整数、v u v u z v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+-=【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a .∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If shebuys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag? 答案：96【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1）小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2）若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数. 【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ，整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数. 答案：170，40.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为n a .（1）求3a 的值；（2）求2001a 的值.【分析】审清题中n a 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为32=++z y x ，由于.10,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y ）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y ）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，3a =6.（2）当n=2001时，原方程为20012=++z y x ，由于.10000,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y ）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y ）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组. 综上，2001a =2+4+6+…+2002=1003002.【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题. 【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（） A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和. 4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？ 5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求AB 两地的距离. 答案：5 4.121 5.2731.D2.6733.12。

不定方程和解不定方程应用题经典

不定方程———研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。

然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。

二、不定方程的解法 1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。

当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。

……当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢……﹢1= 29998⨯= 4851∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。

解：× × × × √ √ ∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有x = 5 x = 12y = 5 y = 1 3、分离系数法如：求7x ﹢2 y =38的整数解解： y =2738X -=19-3x-21x令 t=21x x=2 t则 y=22738t⨯-=19-7t2t ＞019-7t ＞0 （t 为整）→ 275＞t ＞0 t=2，1当 t=2时， x=2×2=4 x=4y=19-7×2=5 y =5当 t=1时， x=2×1=2 x=2y=19-7×1=12 y=12第四十周不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

数列中的不定方程整数解问题

p r 2q
无理数≠有理数
处理方法：找矛盾（有理数与无理数）
若p+r-2q=0，则 q2 pr 0 数学思想：分类讨论
……
热身训练
an 7 bm n2 7 4m2
2m n2m n 7 2m n 2m n 15 ?
存在有（正整数）解处理方法：解方程（因式分解、分解质因数、范围）数学思想：分类讨论
2aq
ap
ar
2 2q
2p
2r
2q1 pห้องสมุดไป่ตู้ 1 2r p
偶数 ≠ 奇数
……
不存在无（正整数）解
处理方法：找矛盾（奇数与偶数）数学思想：化归（消元）分类讨论
热身训练
aq2 ap ar q
2
2
p
2 r
2
q2 pr 2 p r 2q
若p+r-2q≠0，则 2 q2 pr
典例剖析
典例剖析
总结反思
解题之道
转化策略数列中的一类存在性问题 → 不定方程的整数解问题
常用处理方法
存在有（正整数）解不存在无（正整数）解
因式分解分解质因数
奇数与偶数
解方程范围
找矛盾有理数与无理数
分离常数整除
利用单调性（有界）
数学思想分类讨论特殊与一般转化与化归
核心素养
心中有数
存在性问题在数列解答题中的考查
在历年江苏高考卷中
2008年第19题
2009年第17题
2014年第20题
2015年第20题
2018年 2019年
第20题
？
江苏省13大市高三期末考试中
无锡
第20题

二元二次不定方程的整数解

二元二次不定方程的整数解要求解二元二次不定方程的整数解，可以使用整数域上的一些求根方法。

一种常见的方法是使用整数参数法。

首先，我们假设x和y都为整数，即x = m和y = n，其中m和n都是整数。

将这些表达式代入方程中，我们得到一个仅含有m和n的二元二次方程：am² + bmn + cn² + dm + en+ f = 0。

使用例如绝对值法、分析法、母函数法等数学工具，我们可以找到该方程的一组整数解。

考虑方程的系数a、b和c，我们可以将它们分为以下几种情况来解决具体的整数解问题：情况一：当a、b和c都为奇数时，方程可能无整数解。

这是因为奇数加上奇数等于偶数，而方程中的dm + en项是一个奇数项（m和n都是整数），所以方程左侧是一个奇数，而不会等于0。

情况二：当a、b和c中有一个为偶数，而另外两个为奇数时，方程可能有整数解。

具体解的情况取决于方程中的其他系数d、e和f。

如果方程中的三项dm + en + f都是偶数，那么方程也可能无整数解。

这是因为三个偶数相加等于一个偶数，而方程的左侧是一个奇数，与0不相等。

如果方程中至少有一项dm + en + f是奇数，那么方程可能有整数解。

我们可以通过遍历整数值来解决这个问题，找到方程的具体解。

情况三：当a、b和c中有两个为偶数，而另一个为奇数时，方程可能无整数解。

与情况二类似，具体解的情况取决于方程中的其他系数d、e和f。

情况四：当a、b和c都为偶数时，方程可能有整数解。

具体的解法取决于方程的其他系数d、e和f。

以上是解决二元二次不定方程整数解的一些基本思路和方法。

在实际问题中，根据方程的具体形式和系数情况，我们可以结合以上方法进行具体的求解。

这个过程可能比较繁琐，需要综合运用数学知识和方法，因此需要耐心和细心进行推导和计算。

最后，解二元二次不定方程整数解是一个有挑战性的问题，也是数学中的一个重要研究领域。

在实际应用中，解决整数问题可以帮助我们理解和应用该方程模型，解决一些工程和科研问题。

不定方程的整数解

ｔ＋ｙ．ｘ２＝１
解得３ｘｙ＝０８无整数解．同（＋）２０，
经现察，粕，０＝一，）方程７＋ｙ１一组特解，以（ｙ）（ｌ２是４＝的所
（ｏｙ）（１ｏ２０是方程＋１ｏ一组特解．所以方程＋，０一０，０）＝４：０的
ＡＯＢＣ３Ｄ无穷多．．１．．
倒当ｙ时方÷１１的整解２，４ ≤ ，程＋＝正数．０ ≤ 求８（７０
太原市初中数学竞赛）
解析由题意可知１且 ≥ ＞， ≥ ＞．故＜＋＋ｏ
倒３方程２２２ｏ的所有不同的整数解共有— — ＋什０７５
倒１鸡翁一，钱五，值鸡母一，钱三，值鸡雏三，钱一，钱值百
买百鸡，、、、问鸡翁母雏各几何？（隋代的百钱买百鸡问题）
解析设鸡翁、母、雏的数目分别为ｙｚ由题意得鸡鸡，，．
方法．
ｙｌｚ＝＋．代入有２＋＝９７－，％２＝９６￣＝ｔ代入有２２＝ｚｌ１９－即ｘｚ１９．１ｘ２，ｘ－ｔｚ＋
９８ｇｚ９８２２＝９－ｔ９．ｌ＿９ — ｔｙ９９２￣￣－．
所以对于任意整数ｔ方程解，，）（，９ — ｔ９８２），）ｚ＝９９２２９－ｔ有，
｛３＝ｏ．ｌ＋ｒ：ｏ＇】５＋ｘ
３
Ｉ
消－ｚｘ４＝０．因为（，）１所以原方程Ｌ得７＋ｙ１０－７４＝，

高中数学_不定方程

不定方程【知识精要】形如x +y =4，x +y +z =3，yx 11+=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解．对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：定理1．二元一次不定方程ax +by =c ，（1）若其中（a ，b ） c ，则原方程无整数解；（2）若（a ，b ）=1，则原方程有整数解；（3）若（a ，b ）｜c ，则可以在方程两边同时除以（a ，b ），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形．如：方程2x +4y =5没有整数解；2x +3y =5有整数解．定理2．若不定方程ax +by =1有整数解⎩⎨⎧==00y y x x ，则方程ax +by =c 有整数解⎩⎨⎧==00cy y cx x ，此解称为特解．方程方程ax +by =c 的所有解（即通解）为⎩⎨⎧-=+=ak cy y bkcx x 00（k 为整数）．对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：（1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解；（2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解；（3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解．【例题精讲】一二元一次不定方程例1．求方程4x +5y =21的整数解．解：因为方程4x +5y =1有一组解⎩⎨⎧=-=11y x ，所以方程4x +5y =21有一组解⎩⎨⎧=-=2121y x ．又因为方程4x +5y =0的所有整数解为⎩⎨⎧-==k y kx 45（k 为整数），所以方程4x +5y =21的所有整数解为⎩⎨⎧-=+-=k y kx 421521（k 为整数）．说明：本题也可直接观察得到方程4x +5y =21的一组特解⎩⎨⎧=-=51y x ，从而得到4x +5y =21的通解⎩⎨⎧-=+-=k y kx 4551（k 为整数）．练习1．求方程5x +3y =22的所有正整数解．解：方程5x +3y =1有一组解为⎩⎨⎧=-=21y x所以方程5x +3y =22有一组解为⎩⎨⎧=-=4422y x又因为5x +3y =0的所有整数解为⎩⎨⎧-==k y kx 53，k 为整数所以方程5x +3y =22的所有整数解为⎩⎨⎧+-=-=445223k y k x ，k 为整数由⎩⎨⎧>+->-04450223k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<>544322k k ，所以k =8，原方程的正整数解为⎩⎨⎧==42y x ．说明：由此题可见，求不定方程的正整数解的方法是先求不定方程的所有整数解（通解），然后再求其中的正整数解．这通常需要解不等式组求出通解中k 的取值范围．若一次不定方程的特解不易观察得出，我们可以用辗转相除法求特解．下面通过例题说明这种方法．例2．求方程63x +8y =－23的整数解．解：（1）用x 、y 中系数较大者除以较小者．63=8×7+7．（2）用上一步的除数除以上一步的余数．8=7×1+1 （3）重复第二步，直到余数为1为此．（4）逆序写出1的分解式． 1=8－7×1=8－（63－8×7）×1=8－63+8×7=8×8－63．（5）写出原方程的特解和通解．所以方程63x +8y =1有一组特解⎩⎨⎧=-=81y x ，方程63x +8y =－23有一组特解⎩⎨⎧⨯-==23823y x ，所以原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-⨯-=+=k y kx 63238823，k 为整数．练习2．求方程37x +107y =25的整数解．解：107=2×37+3337=1×33+4 33=4×8+1所以1=33－4×8=33－（37－1×33）×8=37×（－8）+33×9=37×（－8）+（107－2×37）×9=107×9+37×（－26）所以方程37x +107y =1有一组整数解为⎩⎨⎧=-=926y x ，原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-⨯=+⨯-=k y kx 372591072526，k 为整数．二多元一次不定方程（组）的整数解多元一次不定方程的整数解问题可转化为二元一次不定方程来求解．下面通过例题进行说明．例3．求方程12x +8y +36z =100的所有整数解．解：原方程可化为3x +2y +9z =25．将①分为⎩⎨⎧=+=+25923z t ty x②的一组解为⎩⎨⎧-==t y tx ，所以②的所有整数解为⎩⎨⎧--=+=1132k t y k t xk 1为整数．③的一组解为⎩⎨⎧==27z t ，所以③的所有整数解为⎩⎨⎧-=+=22297k z k tk 2为整数．将⑥代入④⑤，消去t 得，⎪⎩⎪⎨⎧-=---=++=212122397297k z k k y k k x （k 1，k 2为整数）．练习3．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3．小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数最多为几个？解：设红、黄、蓝球各摸出x 、y 、z 个，则⎩⎨⎧=++=++213210z y x z y x )2()1( ②③④ ⑤⑥⑦（2）－（1）消去x 得y +2z =11 （3）（3）的通解为⎩⎨⎧-=+=kz ky 521，k 为整数．所以x =10－y －z =4－k ，当k =0时，x 最大，此时y =1，z =5．所以小明摸出的球中红球个数最多为4个．三其他不定方程例4．求不定方程2111=+y x 的正整数解．解：原式变形为2x +2y =xy ，即（x －2）（y －2）=4所以⎩⎨⎧=-=-2222y x 或⎩⎨⎧=-=-1242y x 或⎩⎨⎧=-=-4212y x解得⎩⎨⎧==44y x 或⎩⎨⎧==36y x 或⎩⎨⎧==63y x ．练习4．求方程x 2－y 2=105的正整数解．解：（x +y ）（x －y ）=105=3×5×7所以⎩⎨⎧=-=+1105y x y x 或⎩⎨⎧=-=+335y x y x 或⎩⎨⎧=-=+521y x y x 或⎩⎨⎧=-=+715y x y x解得⎩⎨⎧==5253y x 或⎩⎨⎧==1619y x 或⎩⎨⎧==813y x 或⎩⎨⎧==411y x ．例5．求方程y 2+3x 2y 2=30x 2+517的所有正整数解解：原方程可变形为y 2+3x 2y 2－30x 2－10=517，即：（y 2－10）（3x 2+1）=3×13×13．由于3（3x 2+1），所以3｜（y 2－10）．又因为3x 2+1>1，所以y 2－10>0，经实验可知y 2－10=39，3x 2+1=13．所以x =2，y =7．说明：本题虽然简单，但也综合运用了恒等变形、估算等多种方法．练习5．求证方程x 3+113=y 3没有正整数解．解：假设方程有正整数解，则由x 3+113=y 3得（y －x ）（y 2+xy +x 2）=113．由于y >x ，y >11，所以y 2+xy +x 2>112，于是y －x =1，y 2+xy +x 2=113．所以（x +1）2+x （x +1）+x 2=3x 2+3x +1=113=1331，即3（x 2+x ）=1330．这与31330矛盾，所以原方程没有正整数解．例6．求方程x +y =x 2－xy +y 2的全部整数解．解：将原方程看成关于x 的一元二次方程：x 2－（y +1）x +（y 2－y ）=0．若此方程有解，则△=（y +1）2－4（y 2－y ）≥0，即3y 2－6y －1≤0．解得：1－3321332+≤≤y ，所以y =0，1或2．将y 的值代入原方程可解得：⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==01y x ，⎩⎨⎧==10y x ，⎩⎨⎧==12y x ，⎩⎨⎧==21y x ，⎩⎨⎧==22y x ．练习6．求方程x 2+y 2=2x +2y +xy 的所有正整数解．解：将原方程看成关于x 的一元二次方程x 2－（y +2）x +（y 2－2y ）=0．若此方程有整数解，则△=（y +2）2－4（y 2－2y ）为完全平方数．又因为△=－3（y －2）2+16∈[0，16]，所以△=0，1，4，9或16．解得y =2或4．代入原方程解得⎩⎨⎧==24y x ，⎩⎨⎧==42y x 或⎩⎨⎧==44y x ．例7．求方程x 6+3x 3+1=y 4的整数解．解：（1）当x >0时，x 6+2x 3+1<y 4<x 6+4x 3+2，即（x 3+1）2<y 4<（x 3+2）2所以x 3+1<y 2<x 3+2，而x 3+1与x 3+2为两个相邻整数，中间不可能有其他整数，这说明x >0不成立．（2）当x =0时，y 4=1，y =±1．（3）当x =－1时，y 4=－1，y 无实数解．（4）当x ≤－2时，x 3+1<0，所以x 6+4x 3+2<y 4<x 6+4x 3+1，即（x 3+2）2<y 4<（x 3+1）2 所以－（x 3+2）<y 2<－（x 3+1），与（1）类似可证x ≤－2不成立．综上所述，⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧-==10y x ．说明：本题先将原方程变形，利用不等式缩小x 的取值范围，再进行求解．练习7．求方程x 2+x =y 4+y 3+y 2+y 的整数解．解：原方程可变形为4x 2+4x +1=4y 4+4y 3+4y 2+4y +1． ∴（2x +1）2=（2y 2+y ）2+3y 2+4y +1 =（2y 2+y ）2+2×（2y 2+y ）+1+（－y 2+2y ） =（2y 2+y +1）2+（－y 2+2y ）（1）当⎩⎨⎧<+->++02014322y y y y ，即当y <－1或y >2时，（2y 2+y ）2<（2x +1）2<（2y 2+y +1）2而2y 2+y 与2y 2+y +1为两相邻整数，所以此时原方程没有整数解．（2）当y =－1时，x 2+x =0，所以x =0或－1．（3）当y =0时，x 2+x =0，所以x =0或－1．（4）当y =1时，x 2+x =4，此时x 无整数解．（5）当y =2时，x 2+x =30，所以x =－6或5．综上所述：⎩⎨⎧-==10y x ，⎩⎨⎧-=-=11y x ，⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧=-=01y x ，⎩⎨⎧=-=26y x ，⎩⎨⎧==25y x ．说明：本题与例7的解法基本思想相同，但各种条件更隐蔽，需要较高的洞察力．。

多元一次不定方程整数解的存在性及求解方法

多元一次不定方程整数解的存在性及求解方法尹国成;叶扩会;石函早【摘要】多元一次不定方程整数解是我们学习数论中的难点,用多种方法研究多元一次不定方程整数解的求法,并由此法推导出三元一次不定方程整数解的通解公式,再依此法推导出四元一次不定方程整数解的通解公式,其中四元一次不定方程整数解的通解公式是新的,以供大家学习与参考.【期刊名称】《保山学院学报》【年(卷),期】2014(033)002【总页数】4页(P56-59)【关键词】多元一次不定方程;整数解;存在性;求解方法【作者】尹国成;叶扩会;石函早【作者单位】保山学院数学学院,云南保山678000;保山学院数学学院,云南保山678000;保山学院数学学院,云南保山678000【正文语种】中文【中图分类】O13我国古代存在着一类问题。

例如：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”题目意思是一只公鸡五个钱，一只母鸡三个钱，三只小鸡一个钱，现有一百个钱要买一百只鸡，则公鸡、母鸡、小鸡各买多少只？我们设买公鸡x 只，母鸡y 只，小鸡为z 只根据题目意思可以列出以下式子:要研究这个问题，就是要求出上述方程的非负整数解。

但上述方程不过是二元一次不定方程的一个具体例子。

下面我们一起来探讨一下多元一次不定方程整数解存在的条件和解法[1]P25-34。

1 三元一次不定方程整数解的存在性与求解方法定义整系数ax+by+cz=d 叫做三元一次不定方程，a,b,c,都是不为零的整数，d 为整数。

1.1 三元一次不定方程整数解存在性定理定理1.1 三元一次不定方程ax+by+cz=d有整数解的充分必要条件是D|d，D=(a,b,c)，a,b,c 都是不为零的整数。

推论1.1 在方程ax+by+cz=d中，如果d不能被(a,b,c)整除，那么这个不定方程无整数解。

1.2 三元一次不定方程整数解求法和通解公式定理1.2 如果不定方程ax+by=1 有整数解x0,y0，那么ax+by+cz=d 的通解为证明：由ax+by=1 有整数解x0,y0，则ax+by=t通解为为任意整数），又因为 t+cz=d得z=，令z=v，则d-cv=t 把它代入通解首先证明x,y,z 的表达式（1）是方程ax+by+cz=d 的解，显然表达式（1）右边的值都为整数，代入方程ax+by+cz=d 左边，并根据ax+by=1 得ax+by+cz=a(x0d-x0cv+bu)+b(y0d-y0cv-au)+cv=(ax0+by0)d-(ax0+by0)cv+abu-abu+cv=d-cv+cv=d故此表达式（1）中的x,y,z 为方程ax+by+cz=d 的整数解。