第十二讲：不定方程的整数解
五年级奥数春季实验班第12讲 计算综合之不定方程
第十二讲计算综合之不定方程模块一、基础不定方程的解法例1．不定方程x+y=2有组解，有组自然数解，有组正整数解。
解：不定方程x+y=2有无穷组解，对于自然数有0+2=2，1+1=2，2+0=2，所以自然数解有3组，正整数解有1组。
例2．求不定方程的正整数解：2x+3y=8.解：不定方程2x+3y=8，两边取模2的运算得，y≡0 (mod 2)，取y=2，x=1，所以方程的解是12 xy=⎧⎨=⎩。
例3．求不定方程的正整数解：3x+5y=31.解：方程3x+5y=31，两边取模3运算，2y≡1 (mod 3)，得到y=2，x=7所以方程的解是72xy=⎧⎨=⎩或25xy=⎧⎨=⎩。
例4．已知5x−14y=11，x和y都是正整数，x+y的最小值是。
解：方程5x−14y=11，两边取模5的运算，y≡1 (mod 3)，解得x=5，所以方程的解是51xy=⎧⎨=⎩，196xy=⎧⎨=⎩，……，51415x ky k=+⎧⎨=+⎩（k为自然数）。
所以x+y的最小值是6.模块二、复杂不定方程的解法例5．小张带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块3角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买块橡皮和支圆珠笔。
解：设买了x块橡皮，y支圆珠笔，所以3x+11y=50，两边取模3的运算得2y≡2 (mod 3)，所以y=1，x=13，或x=2，y=4，即方程的解是131xy=⎧⎨=⎩或24xy=⎧⎨=⎩。
所以买13块橡皮和1支圆珠笔或2块橡皮和4支圆珠笔。
例6．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，则鸡翁、鸡母、鸡雏各只。
解：设买到x只鸡翁，y只鸡母，则有100−x−y只鸡雏，则5x+3y+1003x y--=100，整理得7x+4y=100，两边取模4的运算3x≡0 (mod 4)，所以x=0，y=25，方程的解为418xy=⎧⎨=⎩，解得z=100−x−y=78，或811xy=⎧⎨=⎩，z=81，或124xy=⎧⎨=⎩，z=84.例7．现有一架天平和很多3克和4克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。
不定方程
不定方程的求解【知识要点】如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程 x-2y=3，方程组10032180 x y zx y z++=⎧⎨++=⎩等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．定理：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．【经典例题】例1 求不定方程x-y=2的正整数解．例2 求11x+15y=7的整数解．例3 求方程6x+22y=90的非负整数解．例4 求方程7x+19y=213的所有正整数解．例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？例6 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？+-=，求,a b的值。
例7 已知正整数,a b满足6432a b ab【经典练习】1.求方程的整数解。
(1)11x+16y=3 (2) 3x+6y=8 (3)3x+5y=31(4) 72x+157y=1； (5)9x+21y=144； (6)103x-91y＝5．(7)3x-5y=19； (8)12x+5y=125．5.民用电收费规定：每月每户不超过24度按每度9分收费，超过24度时，超，过部分每度按2角收费。
并且规定用电按整度收费。
某月甲户比乙户多交电费9角6分，问甲、乙两户各交的电费是多少？6.一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初每辆汽车坐22人，结果有1人未上车，若开走一辆空车，则所有人平均分乘其余各辆车，每辆车最多容32人，问：起初有多少车？有多少旅客？7.若整数a 、b 满足6910303ab a b -+=，求a b +。
8.设x 、y 是两个不同的正整数，且5211=+y x ，试求x+y 的值。
与数列有关的不定方程的整数解问题初探
与数列有关的不定方程的整数解问题初探一、引言数列是我们在数学学科中常见的概念，而不定方程则是我们在初等数论和高等代数中学习的一个重要概念。
在实际应用中，数列和不定方程经常出现在一起，这篇文章将重点探讨与数列有关的不定方程的整数解问题。
二、数列与不定方程数列是按一定规律排列的数，也可称为序列。
数列在数学中的基本概念是不同的，它们可能是线性、比例、等差、等比数列等各种类型，但无论哪种类型，数列都可以用递推公式进行表达。
而不定方程则是一种带有未知数的方程，它通常的形式是$f(x,y)=0$，其中 $x$ 和 $y$ 都是未知数，每个 $x$ 和 $y$ 的取值都可以使该方程成立。
不定方程的解通常被称为整数解（或非负整数解、正整数解等）。
三、与数列有关的不定方程的整数解问题在实际应用中，我们有时需要求解与数列有关的不定方程的整数解问题，例如下面这个经典问题：【问题】求解正整数 $a$ 和 $b$，使得 $a^2-b^2=100$。
我们可以通过枚举发现 $a=11$，$b=9$ 或者 $a=50$，$b=48$ 都是方程的解。
但这种方法并不是很高效，特别是当方程的解特别多时，我们很难通过枚举的方式来找到所有的解。
对于这种问题，我们可以采用分析的方法。
对于上面的问题，我们不妨设$a+b=p$，$a-b=q$，其中$p$ 和$q$ 都是正整数。
不难发现，由于 $a$ 和 $b$ 都是正整数，所以 $p$ 和 $q$ 都大于 $1$。
将上面的式子代入原方程得：$$(\frac{p+q}{2})^2-(\frac{p-q}{2})^2=100$$这是一个关于 $p$ 和 $q$ 的不定方程，我们可以将它化简为：$$pq=50$$这时，我们可以列举 $50$ 的各个因数来确定 $p$ 和 $q$ 的值，从而得到 $a$ 和 $b$ 的值。
例如，当 $p=25$，$q=2$ 时，我们有：$$a=\frac{p+q}{2}=13,b=\frac{p-q}{2}=12$$当 $p=10$，$q=5$ 时，我们有：$$a=\frac{p+q}{2}=7,b=\frac{p-q}{2}=3$$通过这种方法，我们可以找到所有的解，而不必进行枚举。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲 不定方程
第十二讲 不定方程趣题引路】暑假里，《新民晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮中负了两场，总积分为17分.比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．试求该队在本轮比赛中胜的场次和平的场次．解析 设胜x 场，平y 场，则有 3x ＋y ＝17， 即3x ＝17－y ． ∵x ，y ∈N ，∴0≤3x ≤17，∴0≤x ≤5，可得⎩⎨⎧==170y x ，⎩⎨⎧==141y x ，⎩⎨⎧==112y x ，⎩⎨⎧==83y x ，⎩⎨⎧==54y x ，⎩⎨⎧==25y x ．点评：问题中含有两个未知数，但只有一个等量关系得到一个方程，即未知数的个数多于方程的个数，一般会有无数多个解，所以我们把这种方程叫做不定方程，但上面的问题中隐含了条件x ，y ∈N ，我们对其进行分析，得出了x ，y 的有限解，也就说明了不定方程虽然解不确定，但我们可以对其自然数解、整数解进行研究．知识延伸】一、不定方程的整数解求不定方程的整数解、正整数解是竞赛中的热点考题，通常有以下几种思路：利用方程的特点确定未知数的取值范围，再在这个范围中取值求解．1．构造不等式缩小取值范围求解 例1 求21x ＋15y ＝123的正整数解．解析 原方程可以化为7x ＋5y ＝41， 7x ＝41－5y ， ∵x ，y ∈N ＋， ∴7≤7x ≤36， ∴1≤x ≤5．∵5｜5y ，∴5｜(41－7x )， ∴7x 的个位数必是1或6， ∴⎩⎨⎧==43y x ．点评：通常先确定系数较大的未知数的范围，本题求出1≤x ≤5后，本可以使x 分别取1~5五个整数代入求解，但充分利用整除的性质，可使问题简便．2．利用通解定理求解定理：如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程ax ＋by ＝c 有一组解⎩⎨⎧==00y y x x ，则此方程的一切整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=at y y btx x 00，(其中t 为整数)例2 (198年“希望杯”试题)篮球、排球、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，那么排球的个数是 ．解析 设足球x 个，排球y 个，则篮球7x 个． 依题意有 8x ＋y ＝25．∵x ，y ∈N ＋，易知⎩⎨⎧==13y x 是方程的解，∴其通解为⎩⎨⎧-=+=t y t x 813(t ∈N ＋)又∵x ≥1，y ≥1，⎩⎨⎧≥-≥+18113t t ，可解得－2≤t ≤0 当t ＝－2时，⎩⎨⎧==171y x ；当t ＝－1时，⎩⎨⎧==92y x ；当t ＝0时，⎩⎨⎧==13y x ．所以，排球数为1个、9个或17个．点评：对于一些系数比较简单的不定式方程，我们可以先观察得出一组特解，再由定理得出通解，然后根据题意求出t 的取值范围，再代入求出未知数的值．3．分离整系数求解例3 (2002年新加坡数学竞赛题)正整数m 、n 满足8m ＋9n ＝mn ＋6，则m 的最大值为 ． 解析 8m －mn ＝－9n ＋6；即(8－n )m ＝－9n ＋6． 当n ＝8时，原方程无解； 当n ≠8时，m ＝869+-+-n n ＝866729+--+-n n ＝9＋866-n ．当n －8＝1，即n ＝9时，m 有最大值9＋66＝75，满足题意． 所以，m 的最大值为75．二、不定方程组一般来说，求一个未知数需要一个关于它的方程，求n 个未知数需要n 个独立的关于它的方程．当未知数的个数大于方程的个数时的方程组称之为不定方程组．例4 已知x 、y 、z 满足⎩⎨⎧=++=++143715452z y x z y x ，则x ＋y ＋z ＝ ．解析 要求出x ＋y ＋z 的值就需要对①、②式通过加减法将它们的系数和(差)变成1︰1︰1． ①×k 得 2kx ＋5ky ＋4kz ＝15k ，③ ③＋②得(2k ＋7)x ＋(5k ＋1)y ＋(4k ＋3)z ＝15k ＋14，④ 依题意得 2k ＋7＝5k ＋1＝4k ＋3， 解之得 k ＝2． 将k ＝2代人④式得 11x ＋11y ＋11z ＝44， ∴x ＋y ＋z ＝4．点评：两个未知数三个方程，一般不能求出唯一解，所以所求代数式一定能由两个方程通过变形而来，否则是求不出来的．如本题求x ＋y ＋2z 是求不出来的，因为由2k ＋7＝5k ＋1得出k ＝2，代入2(4k ＋3)不能等于5k ＋1．例5 已知4330 30 x y z x y z --=⎧⎨--=⎩①②且xyz ≠0，求2222xy yzx y z ++-的值.解析： ①－②得3x －2z ＝0，即x ＝23z . 将x ＝23z 代人②得 y ＝19-z . 再将x ＝23z ，y ＝19-z 代人所求代数式222222211()()2()263992111()()39z z z zxy yz x y z z z z -+-+==+-+--z 点评：同例4一样，本题也求不出x 、y 、x 的具体值，但方程组和求出的代数式是关于x 、y 、z 的齐次式，所以只要将其中一个未知数看成常数，用它表示另两个未知数即可求出.三、不定方程组的整数解不定方程的整数解问题一般利用消元的方法，将其化为不定方程求解.例6 中国鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？解析：设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为x 、y 、z ，则有 100 53=100 3x y z zx y ++=⎧⎪⎨++⎪⎩①② 消去x 得7x ＋4y ＝100 ③ ①②∴0≤7x ＝100－4y ≤100， ∴0≤x ≤14，∵4 | (100－4y )，∴4 | 7x ，∴4 | x ， ∴x ＝0，4，8，12，代入③式得y ＝25，18，11，4， 代人①式得z ＝75，78，81，840 2575x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴，41878x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，81181x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，12484x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩点评：本题转化成求7x ＋4y ＝100的非负整数问题后，也可以用通解方法求解，易知x ＝0，y ＝25是特解.好题妙解】佳题新题品味例 不定方程4x ＋7y ＝2001有_____组正整数解. 解析： 4x ＋7y ＝3×667易知667667x y =-⎧⎨=⎩是其一组特解，∴其通解为66776674x t y t=-+⎧⎨=-⎩，t ∈Z∵x ，y ∈N *，∴6677166741t t -+⎧⎨-⎩≥≥解之得 96≤t ≤166∴t 可取整数值共71个∴4x ＋7y ＝2001有71组正整数解.点评：将常数项分解，结合未知数系数的特点，使找特解变得容易，像这类解的组数较多的问题，一般用通解定理解决.中考真题欣赏例 (广州市中考题)在车站开始检票时，有a (a ＞0)名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定速度增加，检票口检票速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min 方可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10min 方可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5min 内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客随到随检，至少要同时开放几个检票口？解析：题中有几个未知量，不妨设旅客增加的速度为b 名/分钟，每个窗口检票的速度为c 人/分钟，需要开x 个窗口.依据题意，有3030 10=20c 55 a b c a b a b cx +=⎧⎪+⎨⎪+⎩①②≤③ 则①、②式，得1c2=15cb a ⎧=⎪⎨⎪⎩， 代入③式得x ≥3.5，∵x ∈N *，∴x min ＝4，即最少需要开4个窗口.点评：检票进站涉及原有旅客、新增旅客、检票速度、需开检票口等多个未知量，依据题中的相等关系竞赛样题展示例(1999年湖南省竟赛题)一个盒子里装有不多于200粒棋子，若每次2粒、3粒、4粒、6粒的取出，最终盒内都剩一粒棋子；若每次11粒取出，那么刚好取完.求盒子里共有多少粒棋子？解析：设盒子中有棋子y粒，则易知12| (y－1)，11 | y，不妨设12 111y my n=+⎧⎨=⎩(m，n∈N*)，则有11n－12m＝1.易知001 1n m =-⎧⎨=-⎩，是其一组特解，故有1+12111n tm t=-⎧⎨=-+⎩(t∈Z )，由m≤16，n≤18，又m≥1，n≥1，∴11+1218 11+1116tt-⎧⎨-⎩≤≤≤≤解之得t＝1，∴n＝11，m＝10，y＝121.故盒子里共有121粒棋子.点评：由2 | (y－1)，3 | (y－1)，4 | (y－1)，6 | (y－1)，可得12 | (y－1).过关检测】A级1.求方程13x＋5y＝8的整数解.2.求方程7x＋19y＝213的所有正整数解.3.求方程5x－15y＝22的所有整数解.4.用2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同凑法？5.一个六位数，若将它们的前三位数字与后三位数字整体地互换位置，则所得的新六位数恰为原来的六位数的6倍.求此六位数.6.小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少套中了一次，共得61分，问小鸡至少被套中了几次？7.李林在银行兑换了一张面值100元以内的支票，兑换员不小心将支票上的元数与角、分数字看倒置了(如：把12.34元看成了34.12元)，并按看错的数字支付，李林将其款花去了3.50元，发现其余数恰为支票面额的2倍，于是急忙到银行退钱，那么李林应退回多少元？B级1.求所有可使得19m＋90＋8n＝1998的正整数对(m，n)的对数.2.某校一学期举行了20次数学测试，共出题347道，每次出题16、21或24道.问有多少次测试出题21道？3.求所有被29整除余7、被41整除余28的正整数中，能被7整除的最小正整数.4.求不定方程x＋2y＋3z＝18的非负整数解的组数.5.证明：存在无穷多组正整数(x、y、x)使得x、y、z两两不等，且x、y、z中任意两个数之积是另一个数的倍数，并且x＋y－x＝1.6.在0～1之间，将所有分母不超过99的最简分数从小到大排列，求与1776相邻的两个数.。
不定方程的整数解问题及其方法简介(含答案)
专题三：不定方程的整数解问题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。
在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。
【基础知识】1．不定方程整数解的常见类型：（1）求不定方程的整数解；（2）判定不定方程是否有整数解；（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程整数解问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；（2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（4）枚举法：列举出所有可能的情况；（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（6）无穷递推法。
【典型例题分析】一、代数恒等变形1、因式分解法【例1】已知,x y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，求22x y +的最大值.分析：由22()xy x y +=+，得(2)(2)2x y --=因为(2),(2)x y --都是整数，所以2221x y -=⎧⎨-=⎩，或2122x y -=⎧⎨-=⎩，或2221x y -=-⎧⎨-=-⎩，或2122x y -=-⎧⎨-=-⎩ 解得43x y =⎧⎨=⎩，或34x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或10x y =⎧⎨=⎩ 故22x y +的最大值为25注：一般地，整系数,,,a b c d 的二次方程0axy bx cy d +++=，可变形为：20a xy abx acy ad +++=分解，得 ()()ax c ay b bc ad ++=-.求整数解时，只需把整数()bc ad -分解成两个整数的积，转化为解几个方程组#ax c ay b +=∆⎧⎨+=⎩，（这#bc ad ∆⨯=-）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。
求不定方程整数解的常用方法
求不定方程整数解的常用方法摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.关键字：不定方程;整数解;整除性1引言不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技巧的积累与总结.不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能力、运算能力、解决问题能力的好材料.2不定方程的定义所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系.下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结：3一般常用的求不定方程整数解的方法(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程025=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 231232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此5,1,3,1,3,3,1,12---=--=+x x 即相应的.0,2,0,4=y所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解:18433,413337,33237107+⨯=+⨯=+⨯=从最后一个式子向上逆推得到19107)26(37=⨯+-⨯所以25)259(107)2526(37=⨯⨯+⨯-⨯则特解为⎩⎨⎧=⨯=-=⨯-=225259650252600y x 通解为Z t t t y t t x ∈⎩⎨⎧++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650或改写为.,3731078Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=--= (3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程1111=++zy x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为z y x ≥≥所以zy x 111≤≤ 所以zz z z y x z 1111111++≤++〈 即 zz 311≤〈 所以31≤〈z所以.32==z z 或当2=z 时有2111=+y x 所以y y y x y 11111+≤+〈 所以y y 2211≤〈 所以42≤〈y所以;46,43或相应地或===x y y当3=z 时有3211=+y x 所以yy y x y 11111+≤+〈 所以 y y 2321≤〈 所以.3;3,3==≤x y y 相应地所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.有10737〈，用y 来表示x ，得 37412313710725y y y x +-+-=-=则令 12374,37412=-∈=+-m y Z m y 即 由4<37,用m 来表示y ,得 49343712m m m y ++=+=令.4,4t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为 Z t t y t x ∈⎩⎨⎧=+--=,3731078 注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.②对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.⎩⎨⎧⎩⎨⎧∈-=+=∈+=-=)(,)(,0000Z t at y y bt x x Z t at y y bt x x 或 (5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.解 原方程等价于0)28(5)1(331405314353=-+-⇔+=+⇔=+y x y x y x因为()15,3=所以⎩⎨⎧∈=-=-Z t t y t x ,32851 所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=-= (6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程32822=+y x 的正整数解.解 显然y x ≠,不妨设0〉〉y x因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.令112,2v y x u y x =-=+则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且所以1111,v u y v u x -=+=代入原方程得1642121=+v u同理，令2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且于是，有822222=+v u 再令3223222,2v v u u v u =-=+得412323=+v u此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且 []641033=≤〈〈u v取,5,4,3,2,13=v 得相应的16,25,32,37,4023=u所以，只能是.4,533==v u从而2,18==y x结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程7111=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7111=+y x 可化为717171=+++n m 整理得 ()()()().49,777777=++=+++mn n m n m 即所以49,1;7,7;1,49332211======n m n m n m相应地56,8;14,14;8,56332211======y x y x y x所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且bc a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.解 由题意得⎩⎨⎧==++acb c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程()().0132622=-+-+a c a c 因为()().3520,01342622≤≤≥---=∆a a a 解得因,0≠a若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时;9311641⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时;912161416⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或 (9)配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若.,24522的值求x y y x y x y x ++=++ 解 由题意 045222=+-+-y y x x 即()021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 所以21,1==y x 所以23211=+=+x y y x (10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p解 设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤由根与系数关系得⎩⎨⎧=⋅-=+pq x x q p x x 51082121 因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数. 所以⎩⎨⎧==p q p q pq pq x q p q p x ,,5,5,,55,5,,,5,121 所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以,1,5885,1710⎩⎨⎧--=-=+q p 解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对. ④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或(11)整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()A.2个B.4个C.6个D.8个解 当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数;当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩⎨⎧+=-=kkx y x y 3的解，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=1413k k y k k x 因为x 、y 均为整数,所以1-k 只能取4,2,1±±±解得.3,5,1,3,0,2-=k综上，答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值. 解 因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为()()(),25223229843222k k k k k k k x ++±+-=++±+-= 由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式. 可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即 ()(),512222⨯=--++k m k m因为m 、k 均是整数,所以⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩⎨⎧=--=++122522k m k m ⎩⎨⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m 解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程431112=++xy y x 的整数解. 解 已知方程可化为()044342=-+-xy y x因为x 、y 均为整数，所以,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.于是，令(),464481622n x x =+-其中n 为正整数所以()04322=-+-n x x因为x 、n 均为整数所以(),04492≥--=∆n 且为完全平方数，即有，742-n 为完全平方数.于是，再令,7422m n =-其中m 为正整数所以()()722=-+m n m n因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22所以12,72=-=+m n m n由上.2=n相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为,⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解. 解 已知方程可化为ab a b =-128所以()()9696812-=+-+b a ab即()()96128-=+-b a因为a 、b 都是正整数所以1212,0〉+〉b b这样964832241612或或或或=+b所以4=b 或12或20或36或84相应地2=a 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,24小结本文只针对不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义;并且，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.不定方程（组）在人们的实际生活中有一定的现实意义和应用价值.正确解决这类问题的关键,是在把实际问题转化为数学问题后,依据问题中的条件，特别注意挖掘隐含的条件，使理论化与实际化相结合，灵活运用所学的数学知识，从而讨论出符合题意的解.本文对解决这类问题的方法做以总结，在解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活选用方法技巧，这对于学生的思维能力、分析问题、解决问题的能力的提高有很大的帮助.参考文献[1] 王云峰.判别式法[J].数学教学通讯,2011(07):14—16.[2] 濮安山.中学数学解题方法[M].黑龙江:哈尔滨师范大学出版社，2003年10月.[3] 王秀明.浅析不定方程的解法[J].数理化学习,2009(8）:22—25.[4] 黄一生.因式分解在解题中的应用[J].初中生之友，2011(Z):32—35.[5] 张东海，尹敬会.浅谈韦达定理在解题中的应用[J].中学数学教学参考，1994(5):22-23.[6] 范浙杨 .初中数学竞赛中整数解问题的求解方法[J].中学数学研究，2006(12):17-19.[7] 黄细把.求不定分式方程整数解的几种方法[J].数理化学习（初中版），2005（3）:27—31.[8] Grinelord.On a method of solving a class of Diophantineequations[M].Mathcomp.,32(1978):936-940[9] 陈志云.关于不定方程(组)的一些常用的初等解法[J].高等函数学报(自然科学版)，1997(2):14-29.[10] 敏志奇.不定方程的若干解法[J].(自然科学版)，1998(3):87-91.谢辞经过一点时间的查找资料、整理资料、写作论文，今天，我的论文已接近尾声，这也意味着我的大学生活即将拉上帷幕，此时此刻真的让我感慨万分.论文撰写过程的每一个细节都影响着整篇论文的质量，稍一疏忽变出差错，这使我联想到我们的做人处事又何尝不是如此，每一个标点符号对我的考验是千真万确的事,标点符号竟然有着如此重要的地位，我想标点符号大概与我们在日常生活中的每一个细节的决定、每一次不经意的言谈举止一样吧！虽然非常细微却同样举足轻重.当然，在这将要完结的时刻，我将送上我真诚的感谢.首先，我要感谢我的论文指导老师—高丽老师.从初稿的批阅到最后的完成自然都离不开高老师的悉心指导，大体上论文撰写过程中高老师的指导模式是这样的：学生写好—高老师逐一批改—高老师进行当面指导—学生改写一次高老师再批注、再指导，如此不厌其烦的进行指导.在这里我要感谢高老师的随和、平易近人带给我很多心灵上的启迪，我想这是我大学里最后的有意义的一课.我想多少年之后我依然会清晰地记着高老师的和蔼可亲.其次，我要感谢我的同学，你们不但给了我很多宝贵的意见，有时候会亲自帮我修改论文.尤其是在大家时间都这么紧的情况下，竟然有同学花费整天的时间帮助我，在这里，我想表达我的感谢.谢谢！非常感谢！除过这些良师益友，最后我要感谢那些学识渊博并愿意把他所拥有的知识发表于书刊、网站的编写者们，让我有机会了解那么多知识，让我在论文中有了自己的想法和研究，谢谢你们的启迪.再次送上我诚挚的感谢!。
第十二讲：不定方程的整数解
第十二讲：不定方程的整数解上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲不定方程的整数解【例题】例1、求方程5x－9y=18整数解的通解.例2、求方程90x非负整数解.+y6=22例3、求方程213x的所有正整数解.（练习：+y7=19求方程25x的整数解）+y37=107例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻且排在7617之前的一个数.例5、求方程 162852100=++z y x 的整数解.例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。
如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。
如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数.例7、求不定方程2196+ca正整数解的组数.b29=3130+【练习】1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）①4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③上海市中学生数学业余学校讲义 第十二讲 不定方程的整数解（教师用）我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。
例如方程32=+y x ，或 方程组⎩⎨⎧=+-=-+235432z y x z y x ，它们的解都是不确定的。
象这类的方程或方程组就称为不定方程或方程组。
如何求解整系数二元一次方程c by ax =+的整数解？一、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程c by ax =+中，若b a ,的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即如果（a,b ）|c 则方程c by ax =+有整数解，显然b a ,互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
求不定方程的整数解
不定方程的整数解是指在给定的方程中，寻找满足整数条件的解。一般来说，求解不定方 程的整数解可以使用数学方法，如贝祖定理、模运算等。以下是一些常见的不定方程及其整 数解的求解方法：
1. 一元一次方程：形如ax + by = c的一元一次方程，可以使用贝祖定理求解。贝祖定理 告诉我们，如果a和b互质，那么方程有整数解。具体的求解方法是使用扩展欧几里得算法， 找到满足ax + by = gcd(a, b)的整数解x和y。
3. 二元二次方程：形如ax^2 + bxy + cy^2 = d的二元二次方程，可以使用整数平方根 的性质求解。首先，将方程转化为完全平方形式，即将方程两边同时乘以4ac，得到(2ax + by)^2 - (4ac - b^2)y^2 = 4acd - b^2y^2。然后，使用整数平方根的性质，找到满足该等 式的整数解。
求不定方程的整数解
4. Diophantine方程：Diophantine方程是一类更一般的不定方程，形如ax + by = c的 方程，其中a、b、c为整数。求解Diophantine方程的整数解可以使用模运算和数学归纳法。 具体的求解方法可以根据方程的特点和形式进行推导和求解。
需要注意的是，不定方程的整数解可能有多个或无解，具体的解个数和形式取决于方程的 特点和系数的取值。在实际求解时，可以根据具体的方程形式选择合适的方法和工具进行求 解。
求不定方程的整数解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 二元一次方程：形如ax + by = c的二元一次方程，可以使用扩展欧几里得算法求解。 首先，使用欧几里得算法找到a和b的最大公约数d，如果c是d的倍数，那么方程有整数解。 然后，使用扩展欧几里得算法找到满足ax + by = d的整数解x和y。最后，将x和y分别乘以 c/d，得到方程的整数解。
不定方程的整数解修改稿
∴其通解是107＋105n.
例2现在把上一个问题改为：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后余3个；每次取7个，最后余2个；问这堆鹅卵石共多少个
…余
下面我们就要研究这一类问题的一般解法。
一、求整系数二元一次不定方程的整数解之1一般解法
求一个不定方程的整数解问题，如果都这样去凑数，就太麻烦了，下面介绍“求整系数的一次方程组的整数解”的一般方法.
【定义】我们把方程ax＋by＝c（系数a，b，c为整数，并且a，b都不为零）叫做二元一次不定方程.（如果a，b之中有一个为零，就不是不定方程了）
得到方程组的通解是 （t＝0， 1， 2， 3，…）
解法2其中x的系数比y的系数小，先解出x，
x＝ ＝ ＝3－4y－ (1)
设 ＝t，（t为整数）得y＝2＋5t(2)
代回(1)得：x＝3－4(2＋5t)－t＝－5－21t
得到方程组的通解是 （t＝0， 1， 2， 3，…）
从上面的两种解法可以看出，虽然方程组的通解的形式不同，但结果是一样的.
不定方程的整数解修改稿
一次不定方程的整数解讲稿
序言什么是不定方程
我们知道在方程（方程组）里，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。
例如2x－y－1＝0，则：y＝2x－1.
分别令x＝1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的n值.
我们可以列表说明：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y
1
这种解法叫做“辗转相除法”．
不定方程的整数解
不定方程的整数解不定方程形如ax+by=c（a，b，c均为常数，且a，b均不为0），一般情况下，每一个x的值都有一个y值和它相对应，有无穷多组解。
如果方程（组）中，解的数值不能唯一确定，这样的方程（组）称为不定方程。
对于不定方程，我们常常限定于只求整数解，甚至只求正整数解，在加上这些限定条件后，解可能只有有限个或唯一确定。
不定方程有整数解的条件整系数二元不定方程ax+by=c中的系数a，b的最大公约数能整除c。
不定方程的基本解法解不定方程主要根据一个未知数的取值进行讨论，如果抓住方程自身的特点，可以大大减少讨论的次数，节省解题时间。
1、尾数法例、求方程4x+5y=76的所有正整数解。
分析：由题意知5y的尾数只能是0或5，因为4x、76是偶数，所以5y只能是偶数，故其尾数只能是0，那么4x的尾数就只能是6，因此x的尾是4或9，又4x<76，所以整数x<19，故x可取4，9，14。
当x=4时，y=12；当x=9时，y=8；当x=14时，y=4。
所以原方程的正整数解为：x=4，x=9，x=14，y=12；y=8；y=4。
2、枚举法例、求方程3x+11y=53的所有正整数解。
分析：因为y前面的系数较大，且x、y均为正整数，故11y≤53，所以y可取1、2、3、4，四个数值，分别将y=1，2，3，4代入原方程，可以发现y=2、3时方程无整数解。
当y=1时，x=14；当y=4时，x=3。
所以原方程的解为：x=3，x=14，y=4；y=1。
3、奇偶判断例、求方程5x+4y=43的所有正整数解。
分析：因为4y是偶数，43是奇数，所以5x应该是奇数，所以x可取1，3，5，7四个数值。
将x=1、3、5、7分别代入原方程，可以发现x=1、5时方程无整数解。
当x=3时，y=7；当x=7时，y=2。
所以原方程的解为：x=3，x=7，y=7；y=2。
4、余数分析余数的和等于和的余数。
例、求4x+5y=102的整数解。
不定方程的解法
数论的方法和技巧之一不定方程的解法一． 几种特殊的不定方程1. 二元一次不定方程c by ax =+ ，形如c by ax =+（b a Z c b a ,,,,∈不同时为零）的方程称为二元一次不定方程．有以下结论：(1)不定方程c by ax =+有整数解的充要条件是.|),(c b a(2)若,1),(=b a 设),(00y x 是方程c by ax =+的一组整数解，则此方程的一切整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=,,00at y y bt x x .Z t ∈例l 将属于[0，1]之间分母不超过99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻的两个数．解：设,1),(*,,=∈y x N y x 且y x 是上述排列中7617左边的数，则 .07676177617>-=-yxy y x 注意到x y 1617-为整数，所以.17617≥-x y 下面先求不定方程 17617=-x y ① 满足991≤≤y 的正整数解(x ，y)．,17184Z x x y ∈++= 试算可知)9,2(),(=y x 是一个特解．所以①的全部整数解为⎩⎨⎧∈+=+=.,,769172Z t t y t x满足①的正整数解中)85,19(),(=y x 是符合991≤≤y 且y 最大的解，而此时,29985>=y 所以，与7617相邻的两个数中左边那个是⋅8519 类似可知，所求的右边那个数为⋅6715评注：对一次不定方程求解可以用辗转相除法、同余及试验等方法来寻找其特解．2. 勾股方程222z y x =+设勾股方程222z y x =+ ①的一组正整数解是(x ，y ，z)，如果,),(d y x =则,|22z d 即.|z d 这样仅需在1),(=y x 时讨论，此时x ，y ，z 实际上是两两互质的．这种两两互质的勾股数(x ，y ，z)，称为①的本原解或本原勾股数．定理 不定方程①满足 y z y x z x |2,0,0,0,1),(>>>= ② 的全部整数解(x ，y ，z )可表示成 ,,2,2222b a z ab y b a x +==-= ③ 其中a ，b 为满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且(a ，b )=1的任意整数．例2 证明方程 222221y x x x n =+++ 有无穷多组整数解。
浅谈不定方程整数解的求解方法
浅谈不定方程整数解的求解方法摘要：不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容,所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组.古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一.不定方程解的范围可以是有理数域，整数环，或某一代数域上的代数整数环，本文讨论的是不定方程的整数解的求解方法.) .对于一般的不定方程(组)，除个别情况外，没有统一的解法，因此必须就所给的不定方程(组)的具体形式进行分析，以便确定解题方向.本文具体的从二元一次不定方程，三元一次不定方程，二次不定方程，三次不定方程的求整数解的方法进行探讨并举例说明不定方程的整数解的方法二元一次不定方程整数解的求解方法怎么判断整系数方程有无整数解.用定理1来判断。
定理1 若整系数方程（）有整数解，则必有，反之若，则整系数（）有整数解.其中表示的最大公约数；表示整除c。
若整系数方程有整数解,怎么求出它的整数解时就用以下方法来求解。
1通法：若整系数方程（）满足，，且，是它的一个特解，则方程（）的所有整数解（通解）可以表示为2观察法在二元一次不定方程中，当系数a、b以及c的绝对值比较小时，可以用观察法求它的一个特解，从而得到其通解。
例1.求二元一次不定方程2x + 5y=45的一切整数解。
解:因为(2|5)=1，得(2,5) |45，所以原方程有整数解又因为5|45，所以得到方程的一个特解为并且， .故原方程的一切整数解为:3辗转相除法两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。
辗转相除法基于原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。
由辗转相除法也可以得出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，这个重要的等式叫贝祖等式。
例2.求方程的一切整数解。
二元二次不定方程的整数解
二元二次不定方程的整数解要求解二元二次不定方程的整数解，可以使用整数域上的一些求根方法。
一种常见的方法是使用整数参数法。
首先，我们假设x和y都为整数，即x = m和y = n，其中m和n都是整数。
将这些表达式代入方程中，我们得到一个仅含有m和n的二元二次方程：am² + bmn + cn² + dm + en+ f = 0。
使用例如绝对值法、分析法、母函数法等数学工具，我们可以找到该方程的一组整数解。
考虑方程的系数a、b和c，我们可以将它们分为以下几种情况来解决具体的整数解问题：情况一：当a、b和c都为奇数时，方程可能无整数解。
这是因为奇数加上奇数等于偶数，而方程中的dm + en项是一个奇数项（m和n都是整数），所以方程左侧是一个奇数，而不会等于0。
情况二：当a、b和c中有一个为偶数，而另外两个为奇数时，方程可能有整数解。
具体解的情况取决于方程中的其他系数d、e和f。
如果方程中的三项dm + en + f都是偶数，那么方程也可能无整数解。
这是因为三个偶数相加等于一个偶数，而方程的左侧是一个奇数，与0不相等。
如果方程中至少有一项dm + en + f是奇数，那么方程可能有整数解。
我们可以通过遍历整数值来解决这个问题，找到方程的具体解。
情况三：当a、b和c中有两个为偶数，而另一个为奇数时，方程可能无整数解。
与情况二类似，具体解的情况取决于方程中的其他系数d、e和f。
情况四：当a、b和c都为偶数时，方程可能有整数解。
具体的解法取决于方程的其他系数d、e和f。
以上是解决二元二次不定方程整数解的一些基本思路和方法。
在实际问题中，根据方程的具体形式和系数情况，我们可以结合以上方法进行具体的求解。
这个过程可能比较繁琐，需要综合运用数学知识和方法，因此需要耐心和细心进行推导和计算。
最后，解二元二次不定方程整数解是一个有挑战性的问题，也是数学中的一个重要研究领域。
在实际应用中，解决整数问题可以帮助我们理解和应用该方程模型，解决一些工程和科研问题。
关于不定方程整数解的求法
不定方程整数解求法
一、贝祖定理
贝祖定理又称贝祖重定理，是指在一般的多项式方程中，要求求
出该方程的多个整数的解。
这个定理指出，一定可以在多项式方
程中找到一个特定的整数解。
特别的，若多项式中的项数为２，
那么可以求出１个整数的解。
具体的，贝祖定理通过贝祖重根函數（Bazarenko Roots Function）来实现，它表示为：
B（x）=f（x）+f（-x）
其中，ｆ（x）就是要求解的多项式方程，－ｘ代表变换。
二、变量特征技巧
特征技巧是一种基于整数解的全局解法。
特征技巧以把多变量问
题转换为单变量问题为基础，采取基于变量特征技巧来解决不定
方程整数解。
具体步骤为：
1、计算多项式方程（即原问题中的不定方程）的最大位数。
2、取不定方程的最大位数的一半为特征值（c），即：
C=max{S}/2
3、计算 C 与多项式方程的各项乘积的最大位数，即：
S=max{S*C}
4、把多项式方程的每一项乘以（2^（ｓ-1））作为新变量，再根据新变量求解新的不定方程，即：
Y=2^（s-1） * 不定方程
5、根据贝祖定理，求出新不定方程的一组整数解，再根据特征值
c 与得出的解，解出不定方程整数解，即：
不定方程整数解=Y/2^（s-1） / c。
不定方程的整数解修改稿
一次不定方程的整数解讲稿序言 什么是不定方程我们知道在方程（方程组）里，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。
例如2x －y －1＝0，则：y ＝2x －1.分别令x ＝1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的n 值. 我们可以列表说明：∴它的解有无穷多组：⎩⎨⎧==11y x ，⎩⎨⎧==32y x ，⎩⎨⎧==53y x ，⎩⎨⎧==74y x ，⎩⎨⎧==95y x ，……. 也就是说：2x －y －1＝0的所有的解（称为通解）为：y ＝2x －1. 注意：上面只列出了它的正整数解.如果用k 代替x ，用n 代替y ，并且k 和n 只代表正整数，得到的答案是： 2k －n －1＝0的所有的解（称为通解）为：n ＝2k －1.n ＝1，3，5，7，9，….这个结论表明：如果k 取一切正整数1，2，3，…，那么n 表示所有的奇数（1，3，5，7，9…）.请记住这个结论：n ＝2k －1表示所有的奇数. 又如 x －2y ＝300的解是：x ＝2y ＋300，每给出一个y 的值，就有一个x 的值与之对应.例如y ＝0，1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的x 值， 我们可以列表说明：∴它的解有无穷多个.又如方程组⎩⎨⎧=++=++)2....(18023)1........(100z y x z y x ，(2)－(1) 消去一个未知数y 之后，就变形为一个二元一次方程：2y －z ＝80所以它的解也是不确定的．像这类方程或方程组就叫不定方程或不定方程组．例1 有一堆鹅卵石，不知总个数.但知道：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后也是余2个；每次取7个，最后还是余2个；问这堆鹅卵石共多少个?…余…余…余分析与解：实际上这个问题转化为数学问题就是：有一个正整数，无论被3除，被5除或者被7除，都余2；求这个数. 如果列方程组就是：求个正整数M ：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=)3...(27)2...(25)1...(23z M y M x M 我们不妨这样来解：因为这个整数不论被3除，被5除或者被7除，总是余2；我们先求出它的一个特解：∵3×5×7＝105可以被3、5、7整除，∴3×5×7＋2被3、5、7除余数都是2，∴105＋2＝107就是这个问题的一个特解；∵3×5×7 ×n 也可以被3、5、7整除，∴这个问题的特解107加上105n 之后，被3、5、7除，余数也是2；∴其通解是107＋105n .例2 现在把上一个问题改为：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后余3个；每次取7个，最后余2个；问这堆鹅卵石共多少个?…余…余…余分析与解：我们不妨凑凑看，因为这个数被3和7余数都是2， 这个数可能是3和7的最小公倍数21的k 倍＋2，即21k ＋2：23，44，65，86，107，…中哪一个能被5除余3，就是它的特解.太巧了，第一个23被5除余3，就是它的一个特解，根据上例的分析，其通解是3×5×7n ＋23＝105n ＋23.【说明】先求出它的一个特解是问题的关键．这就是《子算经》中的“物不知数”问题．原题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”意思就是，有一些物品，如果三个、三个的数，最后剩2个；如果五个、五个的数，最后剩3个；如果七个、七个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？注：《子算经》是南北朝时一部重要的数学著作。
第十二讲：不定方程的整数解
上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲 不定方程的整数解【例题】例1、求方程5x －9y =18整数解的通解.例2、求方程90226=+y x 非负整数解.例3、求方程213197=+y x 的所有正整数解.（练习：求方程2510737=+y x 的整数解）例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻且排在7617之前的一个数.例5、求方程 162852100=++z y x 的整数解.例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。
如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。
如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数.例7、求不定方程2196313029=++c b a 正整数解的组数.【练习】1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号）① 4x ＋2y =11, ②10x -5y =70, ③9x +3y =111,④18x -9y =98, ⑤91x -13y =169, ⑥120x +121y =324.2、求方程5x +6y =100的正整数解.3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？（答案：最多答对12题）5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”.（答案：⎪⎩⎪⎨⎧===75250z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===78184z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===81118z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===84412z y x ）上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲 不定方程的整数解（教师用）我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。
例如方程32=+y x ，或 方程组⎩⎨⎧=+-=-+235432z y x z y x ，它们的解都是不确定的。
不定方程的整数解公式
不定方程的整数解公式不定方程，听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实呀，它在数学世界里可是个很有趣的存在呢！咱们先来说说啥是不定方程。
简单来讲，不定方程就是未知数的个数多于方程个数的方程。
比如说，3x + 4y = 10 ，这里有两个未知数 x 和 y ，但只有一个方程，这就是不定方程。
那不定方程的整数解公式是啥呢？这可得好好琢磨琢磨。
就拿一个例子来说吧，假设咱们有不定方程 5x + 7y = 20 ，咱们想找到它的整数解。
首先，咱们对这个方程进行变形。
5x = 20 - 7y ，然后 x = (20 - 7y) / 5 。
这时候，为了找到整数解，咱们就得想想啦。
因为 x 要是整数，20 - 7y 就得是 5 的倍数。
那怎么才能是 5 的倍数呢？咱们可以一个个去试。
假设 y = 1 ，那么 20 - 7×1 = 13 ，不是 5 的倍数；再假设 y = 2 ，20 - 7×2 = 6 ，也不是5 的倍数；当 y = 3 时，20 - 7×3 = -1 ，还不是 5 的倍数。
一直试到 y = 5 时，20 - 7×5 = -15 ，是 5 的倍数啦，这时候 x = (-15) / 5 = -3 。
但是呢，咱们通常想要的是正整数解或者零解。
那继续往下试，当y = 0 时，x = 4 ，这就是一组整数解啦。
在找不定方程整数解的过程中，有时候可不容易，得有耐心，就像我之前教学生的时候，有个小家伙怎么都弄不明白，急得直挠头。
我就耐心地跟他一点点分析，引导他去尝试不同的数值，最后他终于搞懂了，那高兴的样子，让我也觉得特别有成就感。
再比如说不定方程 2x + 3y = 12 ，咱们同样可以通过变形和尝试来找到整数解。
2x = 12 - 3y ，x = (12 - 3y) / 2 。
假设 y = 0 ，x = 6 ；y = 1 ，x = 4.5 ，不是整数；y = 2 ，x = 3 ；y = 3 ，x = 1.5 ，不是整数；y = 4 ，x = 0 。
不定方程的整数解
解得３ｘｙ＝０８无整数解．同 （＋）２０ ，
经 现 察 ，粕，０＝ 一 ，） 方 程 ７＋ ｙ １ 一 组 特 解 ， 以 （ ｙ） （ ｌ２ 是 ４＝ 的 所
（ｏｙ） （ １ ｏ ２ ０ 是 方 程 ＋ １ ｏ 一 组特 解．所 以方 程 ＋ ，０ 一 ０ ，０ ） ＝ ４： ０ 的
Ａ Ｏ Ｂ Ｃ ３ Ｄ 无 穷 多 ． ．１ ． ．
倒当 ｙ时 方÷１ １ 的整解２ ， ４ ≤ ， 程 ＋ ＝ 正数．０ ≤ 求 ８ （７ ０
太原市初 中数学竞赛 ）
解 析 由题 意 可 知 １ 且 ≥ ＞， ≥ ＞ ．故 ＜ ＋ ＋ ｏ
倒３ 方 程 ２ ２ ２ ｏ 的所 有不 同的整 数解 共 有— — ＋ 什 ０７ ５
倒 １ 鸡 翁一 ， 钱 五 ， 值 鸡母 一 ， 钱 三 ， 值 鸡雏 三 ， 钱 一 ， 钱 值 百
买百鸡 ， 、 、 、 问鸡 翁 母 雏各几何 ？（ 隋代 的百钱买百鸡 问题 ）
解 析 设 鸡 翁 、 母 、 雏 的 数 目分 别 为 ｙｚ 由题 意 得 鸡 鸡 ，，．
方法 ．
ｙ ｌｚ ＝ ＋．代入 有２＋ ＝ ９７－ ， ％２＝ ９ ６ ￣ ＝ ｔ代入 有２２ ＝ ｚ ｌ １９ － 即ｘ ｚ １９．１ｘ２， ｘ － ｔｚ ＋
９ ８ ｇ ｚ ９ ８ ２ ２ ＝ ９ － ｔ ９ ．ｌ ＿ ９ — ｔ ｙ ９ ９ ２￣ ￣－ ．
所 以对 于任 意 整数ｔ方程 解 ，，） （ ，９ — ｔ９ ８ ２ ） ， ）ｚ＝ ９ ９２２ ９－ ｔ 有 ，
｛ ３ ＝ ｏ． ｌ＋ｒ ： ｏ ＇ 】 ５ ＋ ｘ
３
Ｉ
消－ ｚ ｘ ４ ＝ ０ ．因为 （ ， ） １ 所 以原 方程 Ｌ 得７ ＋ ｙ １０ － ７４ ＝ ，
不定式方程的整数解
不定式方程的整数解嘿，朋友们！今天咱们来聊聊那个像神秘宝藏一样的不定式方程的整数解。
就像是在一个巨大的迷宫里找隐藏的宝石，不过这个宝石得是整数哦。
比如说方程3x + 5y = 17。
这就像是一场数字的捉迷藏游戏，x和y就像两个调皮的小精灵，躲在等式后面，而且还得是整数身份。
你看这个方程，就像是一个密码锁，我们得找到正确的整数组合才能把它打开。
有时候感觉就像大海捞针，茫茫多的数字里，要找出那一对合适的。
这就好比在一个装满各种颜色糖果的大罐子里，只想要找到那两颗特定颜色组合的糖果。
再拿2x - 7y = 1这个方程来说吧。
这就像是一场数字之间的拔河比赛，2x在一边想把结果往大拉，7y在另一边想往小拽，而1就是它们最终平衡的那个点。
我们要做的就是给x和y找到合适的整数力量，让这场拔河比赛完美结束。
还有像5x + 8y = 30这样的方程。
这就像是调配魔法药水，x和y是两种特殊的配料，它们的数量必须是整数，这样才能调出完美的能达到30这个结果的“魔法药水”。
如果不小心弄错了，那就像魔法失控，整个等式就不成立啦。
想象一下，方程4x + 9y = 25就像搭建积木城堡。
x和y是不同形状的积木，而且数量得是整数，这样才能搭出那个刚好是25高度或者面积或者什么度量的城堡。
要是有一块积木的数量不是整数，那城堡就会变得歪歪扭扭，根本不符合要求。
对于方程6x - 11y = 5，这就像是两个间谍在传递秘密情报。
x和y就是他们传递的密码数字，而且这个密码得是整数。
如果传错了，那可就像情报被泄露或者被误解一样，整个任务就失败啦。
再看7x + 10y = 48这个方程。
这仿佛是一场数字的舞蹈，x和y是两个舞者，它们要跳出完美的整数舞步，才能在音乐停止（也就是等式成立）的时候，恰好达到48这个精彩的结果。
方程8x - 13y = 7呢，就像一场数字的赛车比赛。
8x是一辆超级赛车想往前冲，13y是一股逆风想往后拉，而7就是它们在赛道上最终较量后的差距。
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上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲 不定方程的整数解【例题】例1、求方程5x －9y =18整数解的通解.例2、求方程90226=+y x 非负整数解.例3、求方程213197=+y x 的所有正整数解.（练习：求方程2510737=+y x 的整数解）例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻且排在7617之前的一个数.例5、求方程 162852100=++z y x 的整数解.例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。
如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。
如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数.例7、求不定方程2196313029=++c b a 正整数解的组数.【练习】1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号）① 4x ＋2y =11, ②10x -5y =70, ③9x +3y =111,④18x -9y =98, ⑤91x -13y =169, ⑥120x +121y =324.2、求方程5x +6y =100的正整数解.3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？（答案：最多答对12题）5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”.（答案：⎪⎩⎪⎨⎧===75250z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===78184z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===81118z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===84412z y x ）上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲 不定方程的整数解（教师用）我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。
例如方程32=+y x ，或 方程组⎩⎨⎧=+-=-+235432z y x z y x ，它们的解都是不确定的。
象这类的方程或方程组就称为不定方程或方程组。
如何求解整系数二元一次方程c by ax =+的整数解？一、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程c by ax =+中，若b a ,的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即如果（a,b ）|c 则方程c by ax =+有整数解，显然b a ,互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
二、二元一次方程整数解的求法：若方程c by ax =+有整数解，一般都有无数多个，常引入整数t 来表示它的通解（即所有的解）。
t 叫做参变数。
整数解的通解的表达方式不是唯一的。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法： 设c by ax =+ ① 有整数解，其中b a ,互质，且方程有一组整数解⎩⎨⎧==00y y x x ，则通解是⎩⎨⎧+=-=aty y bt x x 00其中t 为整数证明：因为00,y x 是方程①的整数解，当然满足c by ax =+00②，因此c by ax at y b bt x a =+=++-0000)()(，这表明bt x x -=0，at y y +=0也是方程①的解。
反过来，若','y x 是方程①的解，则有c by ax =+''③，③-②得)'()'(00y y b x x a --=-④，由于1),(=b a ，所以0'|y y a -，即at y y +=0'，其中t 为整数，代入④得bt x x -=0'，因此','y x 都可以表示为bt x x -=0，a y y +=0的形式，所以⎩⎨⎧+=-=at y y bt x x 00表示方程①的一切整数解。
用公式法求解二元一次方程组的关键是找到一组特殊解。
例1、求方程5x －9y=18整数解的通解解：特解2,000-==y x ，所以通解为⎩⎨⎧+-==ty t x 529（t 为整数） 例2、求方程90226=+y x 非负整数解解：因为2)22,6(=，所以方程两边均除以2得45113=+y x ，特解 3,400==y x ，所以通解为⎩⎨⎧+=-=ty t x 33114（t 为整数）由⎩⎨⎧≥+=≥-=0330114t y t x （t 为整数），得01≤≤-t 当0=t 时，3,4==y x ；当1-=t 时，0,15==y x例3、求方程213197=+y x 的所有正整数解。
分析：这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解。
解：用方程 213197=+y x ①的最小系数7除方程中的各项，并移项得753230719213y y y x -+-=-=，因为y x ,为整数，故u y =-753也是整数，于是有375=+u y 。
再用5除以此式的两边得523573u u u y -+-=-=此时，由观察知2,1=-=y u 是方程的解。
从而25=x 。
于是方程①有一组解2,2500==y x ，所以它的一切解为⎩⎨⎧+=-=ty t x 721925由于y x ,为正整数，所以1,0=t ，因此原方程的正整数解为⎩⎨⎧==225y x 或 ⎩⎨⎧==96y x （课内练习：求方程2510737=+y x 的整数解）（答案：t x 1078--= ，t y 373+=，t 为整数）例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻且排在7617之前的一个数。
解：设p q 是与符合条件的数，且p q 7617<，其中n m q p ,,,为正整数，则07617>-q p ，于是17617≥-q p ，先考虑17617=-q p 中满足99≤p 且使p 最大的正整数解。
为此需先找到它的一个特解2,9==q p ，于是不定方程的通解为t q t p 172,769+=+=，t 为整数。
这时在条件99≤p 下，p 最大为85，此时19=q 。
另一方面pq p q p 7676177617-=-，可知， 若27617≥-q p ，则 8519761785761993813817627617-=⨯>⨯≥=≥-p p q p 所以在所给条件下，比7617小且最接近它的数为8519。
例5、求方程 162852100=++z y x 的整数解。
解：原方程化简为 471325=++z y x ，（1） 把方程①分为两个方程 ⎩⎨⎧=+=+(3)47(2)1325z u u y x对于方程（2），由观察得u u u =⨯+-⨯213)(25于是方程（2）的解为⎩⎨⎧+=--=1125213t u y t u x （I ） 对于方程（3），不难看出417)3(1=⨯+-⨯于是方程（3）的解为⎩⎨⎧+=--=22173t y t u （II ） 由（I ）（II ）消去u 得⎪⎩⎪⎨⎧+=-+-=+-=221211142567133t z t t y t t x （21,t t 为整数）例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。
如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。
如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数。
解：设获得一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,人，于是由题意有⎩⎨⎧=++=++)2()1(284634235z y x z y x从（1），（2）中消去z ，得 2257=+y x （3）由观察可得3,1==y x 是方程（3）的一组特解，所以（3）的解为⎩⎨⎧+=-=u y u x 7351 （4），将（4）代入（2）得102=-u z （5） 而10,0==z u 是方程（5）的一组特解，所以（5）的解为⎩⎨⎧=+=t u t z 210，将t u =代入（4），得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y t x 2107351（t 为整数） 由于z y x ,,都是正整数，所以t 只能取0，于是得10,3,1===z y x ，因此获得一、二、三等奖的人数分别为1人，3人，10人。
例7、求不定方程2196313029=++c b a 正整数解的组数。
解：将原方程变为)2()1(2196)2()(312196)2()(29⎩⎨⎧=+-++=++++b a c b a c b c b a因为c b a ,,是正整数，由方程（1）得)2(2196)(29c b c b a +-=++2193)121(2196=⨯+-≤，所以291875≤++c b a （3） 由方程（2）得2199)112(2196)2(2196)(31=+⨯+≥++=++b a c b a 所以，312970≥++c b a ， 由（3）（4）得71=++c b a 或72或73或74或75 当71=++c b a 时，与原方程组合，解得,66,25+=-=a c a b 由1≥b ，得125≥-a ，解得1=a 或2。
此时原方程有2组正整数解。
同理，当75,74,73,72=++c b a 时，分别可得出原方程有17，33，24，10组正整数解。
因此，原方程的正整数解共有86102433172=++++组。
练习1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号）② 4x ＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.2、求方程5x+6y=100的正整数解。
3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？（答案：最多答对12题）5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”。