吉林大学646数学分析2008年(回忆版)考研专业课真题试卷

5、 设 V 是 数 域 上 的 n 阶 矩 阵 构 成 的 向 量 空 间 ， AV ， f (x) 是 A 的 极 小 多 项 式 ， 令
U h( A) | h(x) (x) ，证明：
（1）U 是V 的子空间，而且 dimU dim f (x)
（2） f (x) 不可约，则U 的每个非零元素都是可逆矩阵。
b a
K ( x,
y)
dy
1 时，
fn (x) 于 (a, b) 一致收敛。
（2）、 f (x) 满足 f (x) b K (x, y)dy g(x) a
3、 f (x) 在 , 上具有连续的一阶导数。(x) (0) f (0) x f (t) f (x t)dt 0
求证：(x) x f (t) f (x t)dt 0
4、
fn (x)

1 nx, 0
0,
1 n

x
x 1

1 n,n
1, 2,...
1
1
证明：
fn (x) 在 (0,1)
上不一致收敛，且 lim n
o fn ( x)dx
lim
o n
fn (x)dx
2、求曲面 x2 y2 2yz 4 在点 P(1,1,1) 处的切平面。
3、写出内积、外积和混合积的定义。 4、设 f (x) xn 2n1xn1 2n2 xn2 2x a 为在有理数域上大于 1 的多项式，给出 a 的两个非零值，
使得相应的两个多项式分别可约，不可约。 5、在复数域上，当 g 取何值时，多项式 f (x) x3 3x g 有重因式。

a 2
b 2
c 2
，其中 d
是向量 OP
的长度， , ,
是向量

OP 的方向余弦。
3、 V 是数域 上的向量空间， 是V 上的线性变换，记： a* ，a 当且仅当V 是 的特征子空 间。
4、 假设 A 是正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵 B ，使得 A B2 。
011 6、 A 1 0 1 ，求正交矩阵 P 及对角矩阵 D，使得 PT AP D
110 7、
2a0 8、V 是实数域上三元列向量空间， A a 2 1 ，为 n 阶正定矩阵。定义 uv uT Av ，u, v V ，则
011 当 a 满足什么条件时，V 为欧式空间。 9、当 a,b 为何值时，5 个平面 ak x 2k y 3k z bk 0, 0 k 4 经过一条直线。
证明：存在 , 使 f ( )
2 、 f (x) 和 g(x) 皆 为 区 间 a,b 上 的 连 续 函 数 ， K (x, y) 在 [a,b][a,b] 上 二 次 连 续 ，
fn (x)
b a
K
(
x,
y)
f
n
1(
y
)dy

g
(
x)
，其中

为常数。证明
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（1）、 sup
5、 f (x) 在 , 上具有连续的一阶导数，又(x) x f (t) f (x t)dt ，证明： 0
(x) f (x) f (0) x f (t) f (x t)dt 0
高等代数与空间解析几何卷
一、
1、求点 P(1,1, 0) 到平面 x y z 1的距离。
10、 求V 上的线性变换 , ，使 1*, 1*
二、
1、 设 f (x), g(x) 为有理数域上的两个非零多项式，且有无穷多个整数 n ，使得 f (n) 都是整数，证明： f (x) 是
g(n)
g(x)
整数多项式。
2、
P 在曲线 ax2
by2
cz2

1
的充要条件是
1 d2
吉林大学
2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
数学分析卷
一、
二、
3、
1
dx
1 e y2 dy
0
x
4、 2xy 3x2 4 y2 ds ， L 为椭圆 x2 y2 1，周长为 a。
L
43
三、
1、设 f (x) 于 , 上二次连续、可微，存在不低于整数 x 的常数 r 0 ，使得 f (x) r 。记 ( f (0), ) ，