大学物理学第12章 机械波和电磁波

T
可见，波速把波的时间周期性与空间周期性联系在了一起。 波速的大小取决于介质的性质，与波源无关。
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例如固体内横波和纵波的传播速度：
u横波
G
u纵波
E 式中G、E和 ρ分别为固体的切变 模量、弹性模量和密度。
在液体和气体内，纵波的传播速度为
u K
注意：
K为体积模量。水例中如，15声00波m在s空1气钢中铁中34500m00sm1s1
例2： 一平面波在介质中以速度u =20m/s沿x 轴负方向传播，
已知 a 点的振动表式为：ya 3cos4t (1)以a为坐标原点写出
波动方程； (2)以距a点5m处的b点为坐标原点写出波动方程。
解：(1)以a点为原点在x轴 上任取一点P，坐标为x
ya 3cos4t
y3cos4t 2x0
b.
u .a
为y）随时间的变化关系，即 y ( x , t ) 称为波函数.
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时， 在介质中所形成的波. 平面简谐波：波面 为平面的简谐波.
以速度u 沿x轴正向传播的平面简谐波.令原点O 的初相为零，
其振动方程
yOAcost
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Ay
uv
P
x
O x *
A
x
y
5um
a.
P.
o
x
x
(2)以b点为坐标原点
y
3 cos
4
t
x5 20
3cos
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4
t
x 20
y
u
b.
a.
P.
o
x
5m
例3：一列沿x 正向传播的简谐波，已知 t1= 0时和 t2= 0.25s 时的波形如图所示。试求： (1)P点的振动表式; (2)此波
的波动表式; (3)画出 o 点的振动曲线。
S1 S2
由 W1 W2 得
A1 A2
这表明平面波在媒质不吸收的情况下, 振幅不变。
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b 球面波
同理 1 2A 122uS1T1 2A2 22uS2T
得 A124πr12A2 24πr22
A1r1 A2r2 即
A 1 r
S2 S1
r1
r2
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则球面简谐波的波函数为
情况，即各个质元的振动情况。
从图中可以看出，波速就是
y
uv t t t
波形向前传播的速度，波函
数也描述了波形的传播。
O
x
x x
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(2) 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程，并给出
该点与点 O 振动的相位差.
x2πx
u
λ
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(3) 当t一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡 位置的位移，即此刻的波形.
tu x
G材料的切变模量
Ep
1GV 2
y x
2
E p1 2G V y x 21 2G VA u 222sin 2 tu x Q
u2
G
2020 /5/312VA22sin2tux
相同
(3) 体积元ΔV的机械能
E E k E pA 2 2sin2 tu x V
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12.1.2横波与纵波 横波：在波动中，质元的振动方向和波的传播方向相互垂直。
纵波：在波动中，质元的振动方向和波的传播方向相互平行。
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沙蝎的定位
当甲虫对沙子即使有轻微的扰动，就会
有波沿着沙子表面传开。沙蝎有八条腿，
大体散开成直径为5cm的一个圆。它首
第12章 机械波和电磁波
冲击波
“超级大黄蜂”战斗机在纽约航空展，表演时产生的冲击波。之所
以能“看”到这种波，是因为冲击波内的空气压强突然减小，引起
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空气中的水分子凝结而形成了雾。
本章内容
12.1 机械波的基本特征 12.2 平面简谐波波函数 12.3 波的能量 能流密度 12.4 惠更斯原理 波的衍射 12.5 波的叠加原理 波的干涉 12.6 驻波 相位突变 12.7 多普勒效应 12.8 电磁波的产生及基本性质
波的周期：波前进一个波长的距离所需要的时间，用T表示。
•由于波源做一次完整振动，波就前进一个波长，所以波的
周期等于波源振动的周期。 •由于介质中各质元在依次重复波源的振动，因此介质中质
元2020完/5/3 成一次全振动所需的时间也是波的周期。
•一个完整波形通过介质中某一固定点的时间也等于波的周 期。
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12.1.3 机在械波波传的播几过何程描中述，任一时刻媒质中振动相位相同的点 联结成的面。
波面 沿波的传播方向作的有方向的线。 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。
波线
波前
平面波：波面 为平面，波线 是相互平行的 直线。
波线
波
波面
线 波面
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12.1.4 描述波动的基本物理量
x, y 的单位为 m, t 的单位为s。求(1)波的振幅、波速、频率和
波长(2)绳子上各质点振动最大速度和最大加速度(3)x = 0.2m
处的质点在t =1s时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相
位?(4)分别画出t=1s,1.25s,1.50s时各时刻的波形。
解：与 y(x,t)Acos[t0m 2 x]比较可得
y0.2cos2t103 x2cm
12.3 波的能量，能流密度
dx
波的能量 = 振动动能 + 形变势能 o 12.3.1波的能量 (1) 体积元ΔV 的动能
uA x
dy
B
以横波为例，设 yAcostkx
弦上x 处质元 Δ m =l ΔV 的动能：
E k1 2 V21 2 V A 2 2sin 2 (2) 体积元ΔV的形变势能
平面简谐波 波面为平面的简谐波
说明：简谐波是一种最简单、最基本 的波，研究简谐波的波动规律 是研究更复杂波的基础。
平面简谐波 本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、 各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。
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12.2.1平面简谐波波函数
介质中任一质元（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐标
的、没有扰动的值dx，所以其弹性
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势能是零。
E E k E pA 2 2sin2 tu x V
质元机械能随时空周期性变化，表明质元在波传播过程中
不断吸收和放出能量；因此，波动过程是能量的传播过程。
时间变化：
固定x=x0：⊿Ek 、⊿Ep
2A2
2
E p E k x = x0
y(r,t)A r0co s[(tu r) 0], r 0
球面波的振幅在媒质不吸收的情况下,随 r 增大而减小.
设S为介质中垂直于波传播方向的一面积，则在单位时间内
体积为udS的柱体内的能量将全部流过该面元，流过的能量
应等于
w uS
我们称单位时间内通过与波传播方
s
uv
面垂直的单位面积的平均能量为平
均能流密度，或波的强度，用I 表
u△t
示。按照这一定义，显然有
I wudS wu dS
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通常把 I 看成矢量，方向沿波的传播方向，即波速方向，
1(tx u 1)2π(T tx 1) 2(tx u 2)2π(T tx 2)
12122πx2 x12π
x2 x1
波程差
(4) 当x、t都一定时，波函数是一个确定的值 ，它表示t 时刻 坐标为 x 的质元的相对于平衡位置的位移。
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例1 一横波沿绳子传播的波动表式 y0 .0 5co s1 0 t4 x
因此
r I
wur 1A22ur
A2
r
2
I 称为平均能流密度矢量，也叫做玻印廷矢量。
uv
S
r I
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例. 平面波和球面波的振幅（不吸收能量）
a. 平面波
根W 据1 能I1 量S1 守T恒，w 1u 在S一T周期1 2内A 通1 2过2u SS 1和TS2面的能量应u相v 等，即
W 2I2S2Tw 2uST1 2A 2 2 2uST
体积元的总能量不 是常数
讨论
动能和势能的变化同相位，介质的每个体积元的机械能并
不守恒。这是因为介质的势能取决于所考察的体积元的形变。
当线元通过平衡位置时（即图中的
y
dx
a
x a），动能最大，同时它被拉长到 最大程度，因此弹性势能也最大。 当线元在位移最大处时（即图中的
b
b），动能为零，其长度具有正常
(1) A =0.05m n =5Hz l =0.5m u =l n =0.5×5=2.5m/s
(2)
umA 0.5m g s1 a mA20 .52m •s 1
(3) x =0.2m t =1s
4 4 0 .2 9 .2
在原点处 x =0
2021 0/50 /3 t 9 .2 t 0 .9 2 s
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一定的振动传播称为波动，简称波。 机械振动在介质中的传播称为机械波，如声波、水 波、地震波等。
2019年智利8.8级地震海 啸越洋传播数值模拟
变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波，如无 线电波、X射线等。
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12.1 机械波的基本特征
12.弹1.1性机介械质波是产由生连的续条不件断的无穷多个质元构成，这些质元之 间有弹性力作用、也可以产生相对运动。 ➢产生机械波的条件： 波源：作机械振动的物体 弹性介质：承担传播振动的物质.
先截获较快的纵波并判断其方向（右下
的一只腿）。接着，蝎子感知纵波和截
获较慢的横波的时间间隔⊿t，从而判
断距离d 。
t d d
t l
如果⊿t=4.0ms，纵波波速vt=150m/s；
横波波速vl=50m/s，那么距离为30cm，
这样蝎子就精确的定位出甲虫的位置。
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沙蝎
横波与纵波只是波动简单 的分类，有些波动既不是 纯粹的横波，也不是纯粹 的纵波，但都可以看成是 横波与纵波的叠加。 例:水波是纵波还是横波?
均随 t 周期性变化
o
空间变化：
2A2 u
2
Ek
固定t = t0：⊿Ek 、⊿Ep均
随 x 周期分布
o
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t yT
t = t0
Ek
x
y
(4) 能量密度 定义: 单位体积介质所具有的能量为能量密度，用以表示波 的能量在介质中的分布情况，常用w表示，可以看出
wE V EA22sin2tu x
可w 以E 计T 1算0 出T能A2量2 密si度n2在一t 个u x周d期T内的A平T2均2 值0T1cos22tuxdT
1A2222A22
2
对于各向同性均匀介质中的平面简谐波，这是个与时间及位 置无关的量，它和介质的密度、振幅的平方以及频率的平方 成正比。
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12.3.2平均能流密度矢量
(1)波长：沿波传播 球方面向波两：个波相面邻的、 为相球位面差，为波2π线的振动 是质汇元聚之于间点的波距离， 源即的一直个线完。整波形的
长度，用λ表示。
波 波线
面
波面
u
在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面。
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波线
x
y
A
u
O
x
—A
在波线上，距离为一个波长的两点，振动情况完全相同，
因此波长表征了波的空间周期性。 (2) 周期和频率
解 A=0.2m
y/cm
l=
4 3
×0.45 =0.6m
0.2
u
T = 4×0.25 =1s
o
.
n =1Hz
P
t1= 0 t2= 0.25s x/cm
u=l n =0.6m/s
0.45
y = 0.2 cos 2π t
2π x 0.6 + φ
t =0 x =0
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y =0 v<0
π φ=
2
•波速与质元的运动速度是完全不同的两个概念。波速是振
动状态或相位传播的速度，而质元的运动速度是质元相对
于平衡位置的运动速度。
•波速仅与介质有关，而周期和频率仅与波源有关，波长既
与介质有关又与波源有关。
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12.2 平面简谐波波函数
简谐波 介质传播的是简谐振动，且波所到之处，介质中 各质点作同频率的简谐振动。
利用 2v 和 u v ,可以得到波函数的其他形式： y(x,t)Acos[2π(tm x)0] yy((xx ,,tt)) A A cc o o ss[[2 πt( T t m 0 m x)2 x 0]]
12.2.2波函数的物理意义
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(1) 当x、t 均变化时，y表示任意时刻波线上所有质元的位移
从时间看, P 点 t 时刻的位移是O 点 t x 时刻的位移;
u
从相位看，P 点处质点振动相位较O 点处质点相位落后
yP(x,t)Acos[(tu x)0]
x u
P 为任意点 y(x,t)Acos[(tu x)0] (波函数)
当波沿 x 负方向传播时， y(x,t)Acos[(tu x)0]
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综合以上3点可以看出，波的周期反映了波的时间周期性。 波的频率：单位时间内波通过某点的完整波的数目，用ν表 示。频率与周期的关系为
1 T
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(3) 波速 波速：在波动过程中，某一个振动状态（即振动相位） 在单位时间内所传播的距离，也叫相速，用u来表示。 波速与波长、周期和频率的关系为
u