线性方程组与矩阵特征值求解的数值方法
第6章 求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法
数值计算与MATLAB1《数值计算与MATLAB 》第6章求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法§1 求解线性代数方程组的迭代法§2 方阵特征值和特征向量的计算§3 矩阵一些特征参数的MATLAB计算《数值计算与MATLAB 》6.1 求解线性代数方程组的迭代法1、迭代法的基本原理如果线性方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异，则方程组有唯一解。
把这种方程中的方阵A分解成两个矩阵之差：A=C-D若方阵C是非奇异的，把A它代入方程Ax=b中，得出 (C-D)x=b，两边左乘C-1，并令 M=C-1D，g= C-1b，移项可将方程Ax=b变换成：x=Mx+g据此便可构造出迭代公式： xk+1=Mx k+g，M=C-1D称为迭代矩阵。
《数值计算与MATLAB 》2. 雅可比（Jacobi）迭代法如果方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异，aii≠0，若可以把A 分解成： A=D-L-U=D+(-L)+(-U)，D=diag(a11,a22,…,a nn)；-L是严格下三角阵；-U是严格上三角矩阵；x= D-1((L+U)x +b)=D-1(L+U)x+ D-1bx k+1=D-1((L+U)x k+b)= D-1(L+U)x k + D-1bMM=D-1(L+U)称为雅可比迭代矩阵《数值计算与MATLAB 》⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=67-4121-26-3-115-12A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61-3-2D⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=74-1-2-1-L⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2-61-51-UM=D-1(L+U)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7/62/3-1/6-222-1/31/2-5/21/2-《数值计算与MATLAB 》雅可比迭代公式的向量形式x k=[( x k) 1,( x k) 2, …,(x k) n]T, k=0,1,2,……，D-1=diag( , ,… ,)，11a122a1nna1))((1)(11∑≠=++-=nijjijijiiikbxaaxk《数值计算与MATLAB》3. 赛德尔（Seidel）迭代法))((1)(11∑≠=++-=nijjijijiiikbxaaxkM= (D-L)-1U称为赛德尔迭代矩阵《数值计算与MATLAB 》4. 迭代法的敛散性方阵的谱半径《数值计算与MATLAB 》向量范数非负性：||x||≥0齐次性：||ax||=|a|||x||；三角不等式：||x||+||y||≥||x+y||。
矩阵特征值问题的数值方法.
矩阵特征值问题的数值方法矩阵特征值设A 是n 阶矩阵，x 是非零列向量. 如果有数λ 存在，满足那么，称x 是矩阵A 关于特征值λ的特征向量. 很显然一般地有主特征值的乘幂迭代法设n 阶矩阵A 的n 个特征值按模从大到小排序为：n 其对应的n 个线性无关的特征向量分别为：设是任意一个非零的n 维向量，则：假设，构造一个向量序列：则：或者：当时：如果是矩阵A 的关于特征值的一个特征向量，特征值个特征那么对于任意一个给定的，也是特征值的特征向量。
所以，是对主特征值对应的特征向量的近似。
如果则会变得很大或者如果，则会变得很大，或者如果，则会变得非常小，在实际计算中，为避免这种情况的出现需对做归一化处理况的出现，需对做归一化处理：由：左乘得：所以主特征值的近似值所以主特征值的近似值：残余误差向量定义为：当迭代次数充分大时，残余误差将充分小。
逆乘幂法：类似地，也可以求模最小特征值和对应的特征向量特征向量。
上述问题的主特征值问题就是矩阵A 的模最小特征值问题。
结果，逆乘幂法的迭代公式为：在实际应用中，无需计算逆矩阵，但需求解线性系统实对称矩阵的基本定理：对实对称矩阵A ，一定存在一个正交相似变换使得为对角矩阵且其对角矩阵P ，使得：为对角矩阵，且其对角的特征值元素为矩阵A 的特征值。
相似变换：相似变换保持矩阵特征值（但不是特征向量）不变不变。
(证明略)正交相似变换：中。
正交相似变换的例子—坐标旋转：叫旋转矩阵。
容易验证：。
适当选择旋转角，可消去xy 项—得到对角阵D 。
矩阵特征值问题的数值方法实对称矩阵的基本定理再看下面的例子：令：O 平面的坐标旋转变换适当同样地有：。
则是在x-O-z 平面的坐标旋转变换。
适当x z —D 。
选择旋转角可消去z 项得到对角阵实对称矩阵的Jacobi 方法：全部特征值和特征向量根据实对称矩阵的基本定理，求得矩阵A 的全部特征值的关键是找到正交相似变换矩阵P 使部特征值的关键，是找到正交相似变换矩阵P ，使得为对角阵。
数值分析-第7章 矩阵特征值问题的数值解法n
7
9 11 12
6.104716
6.026349 6.006637 6.003327
(-0.450275, -0.322058, 1.0)
(-0.445914, -0.318617, 1.0) (-0.444814, -0.31775, 1.0) (-0.444630, -0.317606, 1.0)
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
P -1 AP D
2
n
2
定理7.1.3 ARnn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即 tr ( A) aii i
i 1 i 1
n
n
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
1 xi(k +1) / xi(k )
i 1,2,, n
可见，当k充分大时， ( k ) 近似于主特征值， ( k +1) 与x ( k )的对应非零分量的比值 x x 近似于主特征值。
在实际计算中需要对计算结果进行规 , 范化。因为当 1 1时，x (k ) 趋于零， 当1 1时, x ( k )的非零分量趋于无穷。 从而计算时会出现下溢 或上溢。
特征值的范围. 解 我们先分别求出各个圆盘区域。 D1 = {z：|z – 1|£0.6}；D2 = {z：|z – 3|£0.8} D3 = {z：|z + 1|£1.8}；D4 = {z：|z + 4|£0.6}. 易见D2和D4为 弧立圆盘分别 包含A的两个实 特征值.
求特征值的技巧
求特征值的技巧特征值（eigenvalue）是矩阵在线性代数中非常重要的一个概念，它具有广泛的应用。
本文将探讨特征值的求解技巧。
首先，我们来了解一下特征值的定义。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得满足Av=λv，其中λ为常数，那么λ就是A的特征值，v就是对应于λ的特征向量。
特征值与特征向量的求解可以分为数值方法和解析方法两种。
下面分别介绍这两种方法。
一、数值方法：1. 幂迭代法：幂迭代法是一种较为简单和常用的求矩阵最大特征值的方法。
其基本思想是通过迭代过程不断逼近最大特征值的值和对应的特征向量。
具体步骤如下：（1）取一个初始向量v0，通常为单位向量。
（2）迭代计算出序列：v1 = Av0, v2 = Av1, ..., vn = Avn-1。
（3）计算序列vn的模长：vn = √(vn * vn)。
（4）对vn进行归一化得到单位向量: vn = vn / vn 。
（5）判断收敛条件，如果满足收敛条件，则取vn为最大特征值对应的特征向量。
2. QR算法：QR算法是一种用于求解特征值的数值方法，可以同时求得所有特征值和特征向量。
它的基本思想是通过不断迭代，将矩阵A转化为上三角矩阵R，并使其对角线上的元素逼近A的特征值。
具体步骤如下：（1）将矩阵A分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
（2）计算矩阵A的逆：A^-1 = R^-1 * Q^-1。
（3）计算新矩阵B = R * Q。
（4）重复步骤1-3，直到矩阵B对角线上的元素收敛为止。
收敛时，矩阵B 的对角线元素即为矩阵A的特征值。
二、解析方法：1. 特征多项式：给定一个n阶方阵A，A的特征多项式定义为P(λ) = A - λI ，其中I为n 阶单位矩阵。
特征多项式的根即为矩阵A的特征值。
特征多项式可以通过展开矩阵A-λI的行列式来求解。
2. 特征向量的求解：通过求解特征多项式得到的特征值，可以求得对应的特征向量。
对于每个特征值λi，我们需要求解线性方程组(A - λiI)v = 0，其中v为特征向量。
第七章 求矩阵特征值的数值方法和习题
zk Azk 1 A2 zk 2 ... Ak z0 ，
又设 z0 a1 x1 a2 x2 ... an xn ，
Ax j j x j ( j 1, 2,..., n) ，
n j k k 因此有： zk 1 a1 x1 a j ( ) x j 。 1 j 2
k
12
k 1 n j A a1 x1 a j x j 1 j 2 mk max( Azk 1 ) max ， k 1 n j max a1 x1 a j x j j 2 1
am m x am1 m1 x ...... a1 x a0 x P x
即， P 是 P A 的一个特征值
5
定理 5． 为方阵 A 的特征值， 若 x1 , x2 都是属于 的特征向量， 则：
a1 x1 a2 x2 a1 a2 0
其中 max( yk ) 是 yk 中绝对值最大的分量（注意，不是绝对值！ ） ．
例如， y 2, 3,1 ，则 max y 3 ． y 2, 3, 1 ，则
max y 3 。
10
Azk 1 A2 zk 2 Ak z0 Ak z0 于是， zk ， ...... k k mk mk mk 1 max( A z0 ) mj
j 1
由此可得：
j a1 x1 a j x j 1 j 2 zk ， k n j max a1 x1 a j x j j 2 1
n
11
k
矩阵特征值问题的数值方法
H
x x xCni1且x0
H
由定理9.2.3，xCmnia1且xx0
xH Ax xH x
i
又由定理9.2.2，对任意x≠0，有
1
max
xCni1且x 0
xH Ex xH x
n
从而有 i i 1
另一方面, A=(A+E)-E. 记 1 2 E的特征值，那么， i ni1
为n 矩阵-
重复上面的过程,可得 i i 1
第9章 矩阵特征值问题的数值 方法
9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法
9.1 特征值与特征向量
设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有
数λ存在，满足
， (1)
那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向 量.
f () 0的根. 反之，如果λ是
的根，
f () 0
那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式
成立. 从而，λ是A的一个特征值.
A的特征值也称为A的特征根.
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质：
定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值.
定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值.
从而有 i i n
定理9.2.5通常又称为Hermite矩阵特征值 的扰动定理
பைடு நூலகம்
定理9.2.6 设矩阵A和A′=A+E都是n阶Hermite矩
阵，其特征值分别为 1 2 n 和1 2 ，n 那么 i E 2 2 i E 2
这个定理表明，扰动矩阵E使A的特征值的变化
求解矩阵的技巧
求解矩阵的技巧矩阵是线性代数中的一种重要工具，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
求解矩阵的技巧可以说是运用线性代数知识进行计算和分析的基石。
首先，矩阵的求解可以分为多个方面，包括求解线性方程组、特征值和特征向量、矩阵分解等。
下面将分别从这几个方面介绍求解矩阵的技巧。
1. 求解线性方程组：矩阵可以表示为线性方程组的系数矩阵，求解线性方程组可以通过高斯消元法、LU分解、QR分解等方法进行。
其中，高斯消元法是最常用的方法之一，通过初等行变换将系数矩阵转化为上三角矩阵，从而求解未知数。
LU分解将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，可以有效地进行后续计算。
QR分解将系数矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，也是一种常用的求解方法。
2. 求解特征值和特征向量：特征值和特征向量是矩阵在线性代数中一个重要的概念。
求解矩阵的特征值和特征向量可以通过特征方程进行。
特征方程是通过将矩阵的特征值代入到方程中得到的，解特征方程可以求解出矩阵的特征值。
而求解特征向量则是通过将特征值代入到方程组中得到的。
对于实对称矩阵，可以通过正交相似变换将其对角化，从而求得特征值和特征向量。
3. 矩阵的分解：矩阵的分解可以将一个复杂的矩阵分解成多个简单矩阵的乘积形式，从而简化矩阵的运算和分析。
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、Cholesky分解、SVD分解等。
LU分解将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，可以用于求解线性方程组。
QR分解将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，可以应用于矩阵的最小二乘问题。
Cholesky分解则用于对称正定矩阵，将其分解为一个下三角矩阵和其转置的乘积。
SVD分解将矩阵分解为一个正交矩阵、一个对角矩阵和其转置的乘积，可以应用于奇异值分解和主成分分析等问题。
4. 矩阵的运算：矩阵的加法、减法、乘法和求逆是矩阵运算中的基本操作。
矩阵的加法和减法通过对应元素相加或相减，得到一个新的矩阵。
矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量
矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在众多学科领域中都有广泛的应用。
而矩阵的特征值和特征向量则是矩阵分析与应用中的核心内容之一。
本文将详细介绍矩阵特征值的计算方法，以及如何求解矩阵的特征向量。
1. 特征值和特征向量的定义首先，我们来了解一下什么是矩阵的特征值和特征向量。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个数λ以及一个非零n维列向量X，使得满足下述条件：AX = λX那么，λ就是矩阵A的一个特征值，而X则是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量的求解在很多应用中都具有重要的意义。
2. 特征值的计算方法接下来，我们介绍几种常见的特征值计算方法。
2.1 特征多项式法特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。
它利用方阵A减去λ乘以单位矩阵I之后的行列式为零的性质，构造出特征多项式，并求解多项式的根即可得到特征值。
举个例子，对于二阶方阵A = [a, b; c, d]，其特征多项式为：| A - λI | = | a-λ, b; c, d-λ | = (a-λ)(d-λ) - bc = 0解这个方程可以得到A的特征值。
2.2 幂迭代法幂迭代法也是一种常见的特征值计算方法。
它利用特征向量的性质，通过迭代计算来逼近矩阵的特征值。
其基本思想是，给定一个初始向量X0，不断迭代计算：Xk+1 = AXk然后对得到的向量序列进行归一化处理，直到收敛为止。
最后得到的向量X就是对应的特征向量，而特征值可以通过如下公式计算：λ = X^TAX / X^TX2.3 QR方法QR方法是一种数值稳定性较好的特征值计算方法。
它利用矩阵的QR分解的性质来逐步逼近矩阵的特征值。
首先，对矩阵A进行QR分解，得到一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R。
然后，将分解后的矩阵R与矩阵Q逆序相乘，得到一个新的矩阵A'。
重复进行QR分解和相乘的操作，直到收敛为止。
最后，得到的矩阵A'的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
方法求矩阵全部特征值
方法求矩阵全部特征值求解矩阵的全部特征值是一个重要的问题，它在线性代数和数值计算中都有广泛的应用。
在本文中，将详细介绍几种方法来求解矩阵的全部特征值，包括特征值分解方法、幂迭代方法、QR方法、Jacobi方法和带位移的QR方法。
特征值是一个矩阵的最重要的性质之一，它描述了矩阵的行为和性质。
特征值可以用于计算矩阵的条件数、正交变换、矩阵的相似性和对角化等。
求解矩阵的全部特征值可以通过特征值分解来实现。
特征值分解是将一个矩阵分解成一个对角矩阵和一个特征向量矩阵的乘积。
根据特征值分解的定义，可以得到以下公式：A=QΛQ^(-1)其中A是一个n×n的矩阵，Λ是一个对角矩阵，Q是一个n×n的正交矩阵，^(-1)表示矩阵的逆。
通过特征值分解，可以求解矩阵的全部特征值和对应的特征向量。
特征值分解的方法有很多种，比如QR方法、Jacobi方法和带位移的QR方法。
幂迭代是一种求解矩阵最大特征值和对应特征向量的迭代方法。
幂迭代的基本思想是通过不断迭代矩阵的幂次来逼近最大特征值和对应特征向量。
幂迭代的过程可以通过以下公式表示：x(k+1)=Ax(k)其中x(k)表示第k次迭代的特征向量，A表示待求解的矩阵。
幂迭代的收敛性取决于一个非零初始向量的选择和特征值的大小。
当初始向量与最大特征值对应的特征向量接近时，幂迭代可以得到最大特征值的逼近值。
通过迭代可以不断逼近最大特征值，同时得到对应特征向量。
QR方法是一种求解实对称矩阵全部特征值的方法，它通过迭代将矩阵变换为上三角矩阵。
QR方法的基本步骤包括QR分解、矩阵相似变换和迭代。
在每一次迭代中，矩阵A都被变换为一个上三角矩阵R，并且特征值逐步靠近对角线的元素。
Jacobi方法是一种通过旋转矩阵将矩阵对角化的方法。
Jacobi方法的基本思想是通过多次相似变换将矩阵的非对角元素逐步置为零，使得矩阵对角化。
Jacobi方法的关键步骤是选择旋转角度和旋转矩阵，通过旋转操作将非对角元素置为零。
矩阵特征值计算
其 中 每个 对角 块 ������������������ 均 为方阵 ， 则矩 阵 ������ 的 特征 值为各 对 角块 矩阵 特征 值的合 并 ，即 ������(������) = ⋃������ ������=1 ������(������������������ ). 定理 5.5： 矩阵的相似变换(similarity transformation)不改变特征值. 设矩阵������和������为相似矩阵， 即存在非奇异矩阵������使得������ = ������−1 ������������，则 (1) 矩阵������和������的特征值相等，即 ������(������) = ������(������) ; (2) 若������为������的特征向量，则相应地，������������为������的特征向量. 通过相似变换并不总能把矩阵转化为对角阵，或者说矩阵 ������ 并不总是 可对角化 的 (diagonalizable). 下面给出特征值的代数重数、几何重数，和亏损矩阵的概念，以及几个定 理.. ̃1 , ⋯ , ������ ̃������ ，若������ ̃������ 是特征方程的������������ 重 定义 5.2: 设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 有 m 个（mn）不同的特征值������ ̃������ 的代数重数(algebraic multiplicity)，并称������ ̃������ 的特征子空间(ℂ������ 的子空间)的维数 根，则称������������ 为������ ̃������ 的几何重数(geometric multiplicity). 为������ ̃1 , ⋯ , ������ ̃������ ，特征值������ ̃������ , (������ = 1, ⋯ , ������)的代数 定理 5.6：设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 的 m 个不同的特征值为������ 重数为������������ ，几何重数为������������ ，则 (1) ∑������ ������=1 ������������ = ������，且任一个特征值的几何重数不大于代数重数，即∀������，������������ ≥ ������������ . (2) 不同特征值的特征向量线性无关，并且将所有特征子空间的∑������ ������=1 ������������ 个基(特征向量)放在 一起，它们构成一组线性无关向量. (3) 若每个特征值的代数重数等于几何重数，则总共可得������个线性无关的特征向量，它们是 全空间ℂ������ 的基. 定义 5.3：若矩阵������ ∈ ℝ������×������ 的某个代数重数为 k 的特征值对应的线性无关特征向量数目少于 k（即几何重数小于代数重数） ，则称 ������为亏损阵（defective matrix） ，否则称其为非亏损阵 （nondefective matrix）. 定理 5.7：设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 可对角化，即存在非奇异矩阵������ ∈ ℂ������×������ 使得 ������−1������������ = ������, 其中������ ∈ ℂ������×������ 为对角阵, 的充要条件是������为非亏损矩阵. 此时，������的对角线元素为矩阵������的特 征值，而矩阵������的列向量为 n 个线性无关的特征向量. 定理 5.7 中方程的等价形式为������ = ������������������−1, 它被称为特征值分解，也叫谱分解(spectrum decomposition). 特征值分解存在的充要条件是������为非亏损矩阵. 但现实中还有很多矩阵是亏 损矩阵，例如例 5.2 中的矩阵，它的特征值 2 的代数重数为 2，而几何重数仅为 1. 这种矩阵
线性代数特征值求解技巧
线性代数特征值求解技巧线性代数中，特征值（eigenvalue）是矩阵最重要的概念之一，它代表了矩阵在特定向量上的放大或缩小的因子。
特征值的求解在很多线性代数的应用中都是非常关键的，因此我们需要掌握一些求解特征值的技巧。
下面将介绍几种常用的特征值求解技巧。
1. 特征值定义对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v和一个常数λ，使得Av=λv，那么λ称为矩阵A的特征值，v 称为A的特征向量。
2. 特征方程求解特征值的求解首先需要解特征方程。
给定一个n×n的矩阵A，特征方程为|A-λI|=0，其中I是单位矩阵。
具体来说，特征方程的求解步骤如下：- 计算矩阵A与单位矩阵I的差矩阵：A-λI；- 计算差矩阵的行列式：|A-λI|，得到一个关于λ的多项式；- 解多项式方程|A-λI|=0，求出λ的值。
3. 特征向量求解特征值求解完成后，需要对每个特征值求出对应的特征向量。
给定一个特征值λ，求解其对应的特征向量的步骤如下：- 替换特征值λ回特征方程中，得到(A-λI)v=0，其中v 表示特征向量；- 解(A-λI)v=0，求出v的值。
4. 对称矩阵的特征值求解技巧对称矩阵的特征值求解相对简单。
对称矩阵具有以下性质：- 对称矩阵的特征值是实数；- 对称矩阵的特征向量是正交的。
基于这些性质，对称矩阵的特征值求解可以通过以下步骤进行：- 求解特征方程|A-λI|=0；- 求解特征方程的根，得到特征值；- 对每个特征值，计算其对应的特征向量。
5. 数值方法求解对于大型矩阵，特征值的求解可能是非常耗时的，使用数值方法可以加快计算速度。
常用的数值方法有幂法、反幂法和QR分解等。
幂法是求解矩阵特征值的一种简单且基础的数值方法。
幂法的基本思想是利用向量的放大效应，通过迭代近似得到特征向量，从而估计特征值。
反幂法和幂法类似，但是反幂法是求解最小特征值而不是最大特征值。
QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的方法，在QR分解的过程中，可以通过迭代得到特征值的近似值。
矩阵特征值求解
矩阵特征值求解的分值算法12组1.1矩阵计算的基本问题(1)求解线性方程组的问题•即给定一个n阶非奇异矩阵A和n维向量b，求一个n维向量X,使得Ax =b (1. 1. 1 )(2)线性最小二乘问题，即给定一个mx n阶矩阵A和m维向量b ,求一个n维向量X,使得|AX -b| =min{ | Ay -比严R n} (1.1.2 )(3)矩阵的特征问题，即给定一个n阶实(复)矩阵A,求它的部分或全部特征值以及对应的特征向量，也就是求解方程(1. 1. 3 )一对解(4 X),其中R(C), x- R n(C n),即A为矩阵A的特征值，X为矩阵Ax = ZxA的属于特征值A的特征向量。
在工程上，矩阵的特征值具有广泛的应用，如大型桥梁或建筑物的振动问题：机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题；无线电电子学及光学系统的电磁振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题•又如天文、地震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。
在科学上，计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马尔可夫链模拟等实际问题，最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用，因此对矩阵的特征值问题的求解理论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题，国际上这方面的研究工作十分活跃。
1.2矩阵的特征值问题研究现状及算法概述对一个nxn阶实(复)矩阵A,它的特征值问题，即求方程(1.1.3)式的非平凡解，是数值线性代数的一个中心问题•这一问题的内在非线性给计算特征值带来许多计算问题•为了求(1.1.3)式中的A ,—个简单的想法就是显式地求解特征方程det (A 一几I)二0 (121 ) 除非对于个别的特殊矩阵，由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由行列式的计算来求得，既使能精确计算出特征方程的系数，在有限精度下，其特征多项式f〃)二det(A-ZJ)的根可能对多项式的系数非常敏感能•因此，这个方法只在理论上是有意义的，实际计算中对一般矩阵是不可行的数 _ . _ . 人较大，则行列式det (A -几I)的计算量将非常大；其次，根据•首先，右矩即AfbJ阳数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法，基于上述原Galois理论对于次因，人们只能寻求其它途径•因此，如何有效地！精确地求解’矩阵特征值问题，就成为数值线性代数领域的一个中心问题.目前，求解矩阵特征值问题的方法有两大类：一类称为变换方法，另一类称为向量迭代方法•变换方法是直接对原矩阵进行处理，通过一系列相似变换，使之变换成 一个易于求解特征值的形式，如Jacobi 算法,Givens 算法,QR 算法等。
线性方程组与矩阵特征值求解的数值方法
线性方程组与矩阵特征值求解的数值方法线性方程组与矩阵特征值求解是线性代数中的两个重要问题。
线性方程组解决了形如Ax=b的方程组，其中A为一个m×n的矩阵，b为一个m 维的向量，求解x使得该方程组成立。
矩阵特征值求解是求解形如Ax=λx的特征值和特征向量问题，其中A为一个n×n的矩阵，λ为特征值，x为特征向量。
这两个问题在实际应用中有广泛的应用，如计算机图形学、仿真和优化等领域。
本文将介绍线性方程组和矩阵特征值求解的数值方法。
一、线性方程组的求解方法1.1直接法直接法是指通过一系列的代数运算和变换直接求解线性方程组的解。
经典的直接法有高斯消元法、LU分解法和Cholesky分解法等。
这些方法的时间复杂度通常为O(n^3)。
直接法的优点是解的精度高，稳定性好，适用于小规模的问题。
1.2迭代法迭代法是指通过迭代计算逼近线性方程组的解。
迭代法的基本思想是将原方程组转化为递推的形式，并选择一个初始解，通过递推计算得到趋于或精确的解。
常用的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法等。
这些方法的时间复杂度通常为O(n^2)。
迭代法的优点是适用于大规模问题，但收敛速度慢，精度较差。
二、矩阵特征值求解方法2.1幂法幂法是求解特征值最大的特征值与对应特征向量的方法。
假设有一个n×n的矩阵A，选择一个初始向量x(0)，通过迭代计算x(k)=Ax(k-1)/，Ax(k-1)，其中，·，表示向量的范数，直到收敛为止。
最后得到的x为特征向量，特征值为λ=(Ax·x)/(x·x)。
幂法的收敛速度较慢，但适用于特征值分布差异较大的情况。
2.2反幂法反幂法是求解特征值最小的特征值与对应特征向量的方法。
和幂法类似，反幂法选择一个初始向量x(0)，通过迭代计算x(k)=(A-λI)^-1x(k-1)/，(A-λI)^-1x(k-1)，其中I为单位矩阵，λ为近似的特征值，直到收敛为止。
特征值的求法
特征值的求法
特征值是线性代数中的一个重要概念，主要用于描述矩阵的某些重要性质。
对于方阵，特征值可以通过求解特征多项式得到。
以下是特征值的基本求法：
1.写出矩阵A的特征多项式f(λ)。
对于n阶矩阵A，其特征多项式为f(λ)=|λE-A|，其中E是n阶单位矩阵。
2.求解特征多项式f(λ)=0的根，这些根就是矩阵A的特征值。
这个方程的解可能是一个或多个实数，也可能是复数。
3.对于每个解出的特征值λ，求解齐次线性方程组(λE-A)x=0的非零解x，这个解x就是对应于特征值λ的特征向量。
以上步骤是求解特征值和特征向量的基本方法。
需要注意的是，对于具体的矩阵，可能需要根据其特点选择合适的求解方法，例如对于大型稀疏矩阵，可能需要使用迭代法等数值方法求解特征值和特征向量。
此外，对于一些特殊的矩阵，如对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵等，其特征值和特征向量具有一些特殊的性质，可以利用这些性质简化求解过程。
以上信息仅供参考，如需更多信息，建议查阅线性代数相关书籍或咨询专业教师。
求解矩阵特征值问题的算法研究
求解矩阵特征值问题的算法研究求解矩阵特征值问题是线性代数和数值计算中的重要问题。
特征值问题的一般形式为Ax = λx，其中A是一个矩阵，x是一个非零向量，λ是一个标量。
求解特征值问题即寻找矩阵A 的特征值λ和对应的特征向量x。
以下是一些常用的求解矩阵特征值问题的算法：1. 幂迭代法：幂迭代法是求解特征值问题的一种迭代方法。
该方法的基本思想是选择一个随机的初始向量x0，通过迭代计算xk+1 = Axk / ||Axk||，其中||.||表示向量的2-范数。
随着迭代的进行，x收敛到矩阵A的主特征向量，而λ则收敛到对应的主特征值。
2. QR迭代法：QR迭代法是求解特征值问题的一种迭代方法。
该方法首先通过QR分解将矩阵A分解为Q和R的乘积，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。
然后，将分解后的矩阵重新相乘得到新的矩阵A'，迭代此过程直到A'的对角线元素收敛到矩阵的特征值。
3. 特征向量分解法：特征向量分解法是求解特征值问题的一种直接方法。
该方法通过对矩阵A 进行特征向量分解得到矩阵V和对角矩阵Λ，其中V的列向量是A的特征向量，Λ的对角线元素是A的特征值。
特征向量分解法在理论上可以得到A的所有特征值和特征向量，但实际计算中对大型矩阵会较为困难。
4. Davidson方法：Davidson方法是求解特征值问题的一种迭代方法。
该方法采用子空间迭代的方式逐步构建特征子空间，并寻找特征值和对应的特征向量。
Davidson方法可以有效地处理大型矩阵，特别适合于求解特征值问题中的一部分特征对。
这些算法都有各自的优点和适用范围，研究者可根据具体问题选择合适的算法进行求解。
矩阵特征值的求法举例
矩阵特征值的求法举例矩阵是线性代数中的重要概念，它在科学计算、工程领域以及图像处理等领域都有着广泛的应用。
而在矩阵中，特征值是一个非常重要的概念，它不仅能够描述矩阵的性质，还能够在很多实际问题中起到关键作用。
那么，特征值又是如何求解的呢？本文将通过几个具体的例子来说明矩阵特征值的求法。
一、矩阵特征值的定义我们来介绍一下矩阵的特征值是什么。
对于一个n阶矩阵A（n*n），如果存在一个数λ和一个非零向量v，使得Av=λv，那么我们称λ是矩阵A的特征值，v是对应的特征向量。
特征值和特征向量的求解对于矩阵的性质和应用有着非常重要的作用。
下面我们就通过具体的例子来说明矩阵特征值的求法。
二、特征值的求法1. 对角矩阵的特征值我们来看一个简单的例子，对于一个对角矩阵，特征值的求法非常简单。
对于一个对角矩阵D，我们有D=diag{d1, d2, …, dn}，其中对角线元素为d1, d2, …, dn。
那么，对角矩阵的特征值为其对角线元素，即λ1=d1, λ2=d2, …, λn=dn。
特征向量可以取对应的单位向量，如e1=[1, 0, 0, …, 0]，e2=[0, 1, 0, …, 0]，以此类推。
对于一个2*2的对角矩阵A= [3, 0; 0, 5]，其特征值为λ1=3, λ2=5，对应的特征向量可以分别取为v1=[1, 0]和v2=[0, 1]。
接下来，我们来看一个稍复杂一点的例子，对于一个3*3的矩阵，特征值的求法比较繁琐，通常采用特征多项式的方法进行求解。
假设矩阵A= [a, b, c; d, e, f; g, h, i]，我们可以先求解其特征多项式：|A-λI| = det|a-λ, b, c; d, e-λ, f; g, h, i-λ|简化上式得到：(a-λ)(e-λ)(i-λ) + (b*d*λ + c*f*λ + a*e*λ) - (a*f*λ + c*d*λ + b*i) = 0然后，我们解出多项式的根，即为矩阵A的特征值。
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（m-k)次乘法运算
A(k与1) A前(k)k行元素相同， A(k的1)左上角k阶阵
a (1) 11
A(k) 11
a1(kk )
为上三角阵。
a
(k kk
)
第k步约化公式：
Lk A(k ) A(k1)
Lk
b
(k
)
b(k 1)
（3）继续上述约化过程，且设a
(k kk
)
0(k
1,2,
, s)，
(2.1)
A~
1 2
4 5
7 8
1
1
( (
E2 E3
) )
2( 3(
E1 E1
) )
E E
2 3
1 0
4 3
7 6
1(E3 ) 2(E2 ) E3 1
1
0
4 3
7 6
11，
3
6
11
1
0
6
10
2
0
0
2
0
（2）回代求解，得：x1
1， 3
x
2
1， 3
x
3
0。
结论：
整个计算过程可分为两部分：（1）消元：把原 方程组转化为系数矩阵为上三角矩阵的方程组； （2）回代：由系数矩阵为上三角矩阵的方程组求解
0， 计算乘数
m ik
a(k) ik
a
(k kk
)
，(i
（m-k）次除法运算 k 1, , m)，
k)
)进行行初等变换,使
A( k )第k列
a(k kk
) 以下元素约为零,
即 ri mikrk ri (i k 1,L , m) ，得到与原方程组等价的方程组 A(k 1) x b(k 1)
a (1) 1n
a(k) kn
a
(k) k 1n
a(k) mn
a (1) 11
a(k) kk
a (k1) k 1k 1
a (k1) mk 1
a (1) 1n
a
(k) kn
A(k1)
a
( k 1) k 1n
a
( k 1) mn
因此上述约化过程，可用矩阵变换来描述为：
其中
LS
L1 , L2 , Ls
1
0.7
0
0.3333333333 1012
0.2333333333 1012
1 1 0.3333333333 1012 0.9 0.7 0.3333333333 1012
舍去/被 “吃”
计算解：
x2 x1
0.7000000000 0.0000000000
。
舍去/被“吃”
计算解与真解相差太大,
1
其 中 Lk
1
mk1,k 1
mmk
1
Lk Lk
A(k) b (k)
A( k 1) b (k1)
1
即
Lk A(k )
1 mk1,k
mmk
1
a (1) 11
1
a(k)
kk
a(k) k 1k
a(k) mk
a(k) kk 1
a (k ) k 1k 1
a(k) mk 1
第二章 线性方程组与矩阵特征值 求解的数值方法
引言 高斯消元法 矩阵分解法
向量范数与矩阵范数 迭代法求解 方程组的病态问题与误差分析
方阵特征值计算
§1 引言
在自然科学和工程技术中，有很多问题的解决都需要 用到线性方程组的求解。因此，求解线性方程组的问题 是一个在科学技术中常见的普遍问题。
U
a
(n) nn
mn
（ii）当m
=
n时，
s
=
n-1,且设a
(k kk
)
0，(k
1,2,
, n 1)，则
a1(11)
A( n )
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
U
an( nn
)
(iii)当m
<
n时，s
=
m-1，且设
a
(k kk
)
0，(k
1,2,
,m
1) ,则
对于一般情形： m个方程，n个未知数的线性方程组 的高斯消元法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
(2.2)
a11
其
系
数
矩
阶A
a21 am1
a12 a22 am2
, n；j
k
1,
,n
(k
1,2,
, n 1) bi(k1)
b(k) j
mik bk(k) (i
k
1,
, n)
回代计算：
x
n
bn( n )
/
a
(n) nn
n
xi (bi(i)
a
(i ij
)
x
j
)
/
a
(i ii
)
j i 1
(i n 1, n 2, ,2,1)
法，（将2）Ax如果bA化为为非等奇价异的矩三阵角，形则方可程通组过。带行交换的高斯消去
直到完成第S步计算，得到与原方程组等价的方程组
A(s1) xr
r b
( s 1)
其中A(s1) 为上梯形，具有以下三种情况（讨论）：
（i）
当m
>
n时，s
=
n，且设
a
(k kk
)
0，(k
1,2,
, n)，则
a1(11)
a112 a (2)
22
A( S 1)
0
a (1) 1n
a (2) 2n
注：Gauss消元法中, 若ak(kk )
0，直接消元计算，若a
(k kk
)
0，
则要求在算法中增加一判断，并进行行交换。
a
(k kk
)
(
k
1,2
, ) 是否是零，可以根据顺序主子式来判断。
二、高斯主元消去法
主元选择的重要性
例2.2 用高斯消去法解方程组
0.3 1011
x1
x2
0.7
x1 x2 0.9
bi(2) bi(1) mi1b1(1) (i 2,3, , m)
（m-1)次乘法运算
a (1) 11
a (1) 12
A(1)
x
b (1)
a (2) 22
a (2) m2
记为
A(2) xr
r b (2)
a (1) 1n
x1
b (1) 1
a (2) 2n
a (2)
mn
x2 xm
要求用具有舍入的10位浮点数进行计算。
精确到10位真解： x* (0.2000000000, 0.7000000000)T
解法1（高斯消去法） 绝对值很小
消元：
(
A,
b)
0.3
1011 1
1 1
0.7 0.9
m 21
1 0.3 1011
0.3333333333 1012
0.3 1011
即， a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
x1
x2
bb12((12))
an( nn
)
xn
bn(n
)
消元计算：
mai(ijkk
1)
a(k) ik
/
a(k) kk
(i
a(k) ij
mij
a(k kj
)
k i
1, n) k 1,
L2 L1 A U （上梯形） 为高斯变换，即给定Ax
b
，在a
(k kk
)
0，(k
1,2,
, s)，
条件下存在高斯变换 Lk (k 1, , s) ，使将A 约化为上梯形。
程（组2A）(S元1)素x 过abk(程kk(s)称1称) 为为约消化元的过主程元，素，且特原别方当程A组约R化nn为为等非价奇方异阵，
(i n 1, n 2, ,2,1)
j i 1
由消元过程和回代过程构成了高斯消元法。
（3）若Ax=b,其中
A
Rnn非奇异矩阵，若此时
a(1) 11
为零。
但 det( A) 0，所以A第1列一定存在元素 ai1 ,1 此时可交换（A, b）第1 行与第i1行元素（即r1
0(i1 ri1
对于 A(k1) x b(k1) ，则有：
其中 A(k1) , b元(k素1) 计算公式为：
（m-k)(n-k)次乘法运算
a (k1) ij
ai
(k) j
mik ak(kj )
i k 1, ,m，j k 1, ,n
b(k 1) i
bi(k )
mik bk(k )
(i k 1, ,m)
其中
a (1) 11
A(k)
a (1) 12
a (2) 22
a(k) kk
a(k) mk
a (1) 1n
a
(2) 2n
，
a(k) kn
a(k) mn
b1(1)
b2(2)
b(k)
。
bk( k
)
bm(k )
第 k步具体计算：
设a
(k kk
对 ( A(k )
) r