弯曲内力图
合集下载
材料力学 弯曲内力图(2)
集中力偶
m C
Q
图 特 征
水平直线
Q Q Q
斜直线
Q x x
自左向右突变
Q Q 1 C x
无变化
Q C x
x
Q>0 Q<0
x
斜直线 M M2 图 x 与 x x x x x 特 m 征 M 反 M M1 M M M M 增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 向 M1 - M 2 = m
160
kNm
130
210
340
280
4.9 å m = 0
Ai
例题 &
解:(1)求支反力:
m=160kN
P=20kN q=20kN/m
A
ÞLeabharlann D B E
1 R = ( 20 ´ 12 + 20 ´ 10 ´ 7 - 160 ) = 148 kN ( -) B 10 å m Bi = 0 Þ 1 Y = ( 160 + 20 ´ 10 ´ 3 - 20 ´ 2 ) = 72 kN ( -) A 10 校核 : å Y OK ! ) i = Y A + R B - 20 ´ 10 - 20 = 0 (
（+） O
9a / 4
4a 4a
a F By 3
qa
＝ qa 4 当FS = 0时; x = 9a / 4; M max = 81qa 2 / 32
x 3．建立坐标系建立
（）
7qa / 4
O
81 qa 2 / 32
qa
FS－x和M－x坐标系
4．确定控制面上的剪 x 力值，并将其标在 FS－x中。 5．确定控制面上的 弯矩值，并将其标在 M－x中。
第4章 弯曲内力
§4.3 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图
一、剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截
面的位置而变化。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
2m
1m 1m
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
FQ FQ (x), M M (x)
称为剪力方程和弯矩方程
x
AB段:
a
B a
Cx
FQ (x) 0 (0 x a)M (x) m a (0 x a)BC段:
m=Pa P
FQ (x) P (a x 2a) M (x) m P(x a)
A
xB a
a
2Pa Px (a x 2a)
2、作梁的剪力图和弯矩图
3、求
FQ
和M
max
max
第四章 弯曲内力
目录
§4-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
§4.1.1 平面 弯曲的概念
起重机大梁
q
P
A
B
工程实际中的弯曲问题
P
P
P
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
受力特点：在构件的纵向对称平面内，受 到垂直于梁的轴线的力或力偶作用，使构 件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的 弯曲称为平面弯曲。
内力偶M是与横截面垂直的内力系的合
力偶矩，有使梁产生弯曲的趋势，故称 力偶矩M弯矩。
4.2.3 剪力与弯矩正负号规定
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。
剪力Q ：截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为 顺时针转向时，剪力为正；反之为负。 概括 为“左段下右段上，剪力为正”。
弯曲内力剪力图
第四章 弯曲内力
§4–1 弯曲的概念和实例 §4–2 受弯杆件的简化 §4–3 剪力和弯矩
§4–4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
§4–5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4–6 平面刚架的内力图 §4–7 按叠加原理作弯矩图
§4-1 弯曲的概念和实例
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时 ,轴
FOy P ; MO PL
FOy
Fs
x
P
Fs(x)
② 写出内力方程
M
Fs ( x) FOy P
M ( x) FOy x M O
x
P ( x L)
PL
–
x
③ 根据方程画内力图
例5. 求图示梁的内力方程，并画出内力图。 q q 解：① 写出内力方程 L Fs(x) M ( x)
对称轴
FAy
FBy
对称弯曲时，由于梁变形后的轴线所在平面与外力所在
平面相重合，因此也称为平面弯曲。
起重机大梁
工 程 实 例
火车轮轴
工 程 实 例
§4-2 受弯杆件的简化
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分
析计算，应进行必要的简化，抽象出梁的计算简图。
1. 构件本身的简化: 通常以梁的轴线代替梁。 2. 载荷简化: 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。 3. 支座简化：
解：
q — 均布载荷
106.30 1.855 rad
g A2 L 2 g L
mg Vg A L q
1
1
L
L
A1 1 g A2 2 g
1 2 Dt 1 g [R R ( sin )] 2 g 2 3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52
§4–1 弯曲的概念和实例 §4–2 受弯杆件的简化 §4–3 剪力和弯矩
§4–4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
§4–5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4–6 平面刚架的内力图 §4–7 按叠加原理作弯矩图
§4-1 弯曲的概念和实例
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时 ,轴
FOy P ; MO PL
FOy
Fs
x
P
Fs(x)
② 写出内力方程
M
Fs ( x) FOy P
M ( x) FOy x M O
x
P ( x L)
PL
–
x
③ 根据方程画内力图
例5. 求图示梁的内力方程，并画出内力图。 q q 解：① 写出内力方程 L Fs(x) M ( x)
对称轴
FAy
FBy
对称弯曲时，由于梁变形后的轴线所在平面与外力所在
平面相重合，因此也称为平面弯曲。
起重机大梁
工 程 实 例
火车轮轴
工 程 实 例
§4-2 受弯杆件的简化
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分
析计算，应进行必要的简化，抽象出梁的计算简图。
1. 构件本身的简化: 通常以梁的轴线代替梁。 2. 载荷简化: 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。 3. 支座简化：
解：
q — 均布载荷
106.30 1.855 rad
g A2 L 2 g L
mg Vg A L q
1
1
L
L
A1 1 g A2 2 g
1 2 Dt 1 g [R R ( sin )] 2 g 2 3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52
学习情境四 2.弯曲内力图
qL2 2
M B M BP M BP
M (x )
Px
qx 2 2
,MP (x )
Px ,Mq (x )
qx 2
2
;
M (x ) M P (x ) M q (x ).
可以看出：
当结构受到两个或两个以上力的作用时， 合力作用产生某一量值的大小等于各个单独力 作用在该结构上产生该量值的大小之和，这个 量值可以是支座反力、内力、变形等等。
A
+
C
1 P
Pl
P 4
4-
+
1 Pl 4
m Pl C
l
P P
2
-
6kN
6kN 3kN m
AC
B
D=
2m 2m 2m
6
-
+
+
3
6
3kN m
+
2m 2m 2m
6
-
4、 区段叠加法
作法：截取直杆任一有均布荷载区段，以相邻控制截面 弯矩竖标所连虚线为基线，叠加以该段长度为跨度的 简支梁，在跨间荷载作用下的弯矩图，得该区段最后 弯矩图。
P左或
P 右
据 M MC左或M MC右
3.据剪力方程和弯矩方程作图。
学习任务一 绘制剪力图和弯矩图 方法二 简捷法绘制梁的内力图
一、Q(x)、M(x)和q(x)之间的微分关系 取微段dx:
y0
Q(x) q(x) dx Q(x) dQ(x) 0
mc 0
Mx=M(x) 上式称作剪力方程和弯矩方程。
列内力方程即求任意截面的内力 P
Q(x ) P qx (0 x l )
材料力学第五章 弯曲内力PPT课件
存在平行于截面的内力（剪 力）。
FAX A
mF B
FAY
x
m
FBY
A FAY
Fs
C
M
Fs
F
M
C
FBY
13
二、内力的正负规定:
①剪力Fs: 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之 矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
5
五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——
有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
B Fy 0, R A R B 0 .8 1 .2 3 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB M R A B 1 0 ., 5 1 (. 2 k 3 ) N 1 ,. R 5 B 0 . 8 2 .9 4 ( . 5 k R )N A 6 0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
第五章 弯曲内力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图 §5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5—5 按叠加原理作弯矩图 §5—6 平面刚架和曲杆的内力图 作业
1
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例 工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：
FAX A
mF B
FAY
x
m
FBY
A FAY
Fs
C
M
Fs
F
M
C
FBY
13
二、内力的正负规定:
①剪力Fs: 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之 矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
5
五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——
有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
B Fy 0, R A R B 0 .8 1 .2 3 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB M R A B 1 0 ., 5 1 (. 2 k 3 ) N 1 ,. R 5 B 0 . 8 2 .9 4 ( . 5 k R )N A 6 0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
第五章 弯曲内力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图 §5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5—5 按叠加原理作弯矩图 §5—6 平面刚架和曲杆的内力图 作业
1
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例 工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：
弯曲内力图
C
(2x<6)
x
x
A
D
B
由
dM ( x) Fs ( x) 0 dx
得
2m 4m
x=4.83m 8.5kN
x
2m
14.5 - 3x = 0 x = 4.83m 为弯矩的极值点
3 M max 14.5(4.83 2) 4.832 6.04kN.m 2
+ 6kN
3.5kN
画弯矩图
m-m 截面上内力为 Fs(x) ， M(x)
nn 截面处内力分别为 Fs(x)+dFs(x) , M(x)+dM(x) 。
m
Fs(x) M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n
Fs(x)+dFs(x)
写出平衡方程
Fy= 0 Fs(x) - [Fs(x)+dFs(x)] + q(x)dx = 0 dFs(x) dx
得到
= q(x)
m
Fs(x) M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n
Fs(x)+dFs(x)
写出平衡方程
MC 0
dx [ M ( x) dM ( x)] M ( x) Fs ( x)dx q( x)dx 0 2
略去二阶无穷小量即得
m
Fs(x) M(x)
n
M(x)+dM(x)
A x
B
l
Fs x F
x
M
例题2： 图示的简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载 作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。
8-ch41-弯曲内力
2
Mx ql x qx x
2
2
_q_l x
_q_l 2
2
(0 x l)
M
8
3. 作内力图
x
例 3 作图示梁的内力图。
解：1.求支反力
a
Fb
2.列内力方程
A x
C
B
Fb
FS
x
l FbFa F ll
0 x a aaxxl l
Fb l
FFSQ
Fb
x
l
Fa
l
l
M
x
Fb x 0 x a
qLx2
M2
1 2
q(x2
a)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
FS2
图（c）
4.1 平面弯曲梁的内力 四，剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
FS FS(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
FS(–)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
4.1 平面弯曲梁的内力 例题
[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。
qL 1
2q
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体
1a
2b
如图（b）示。
y x
qL A
图（a）
第四章 梁的弯曲 强度
材料力学课件：弯曲内力
例：试建立图示简支梁的剪
力、弯矩方程，画剪力、弯 A
B
矩图。
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
21
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
A
FS
FS:
M
M:
q
qa2
B
C
a
a
x
_
qa qa2/2 +
_
qa2/2
x
_x qa2/2
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
FS=-qa M=qa2-qa(x-a/2)
(a x < 2a) (a < x < 2a)
16
剪力与弯矩一般与坐标x有关
剪力方程： FS=FS (x) 弯矩方程： M=M(x) 剪力图：剪力沿梁轴的变化曲线 弯矩图：弯矩沿梁轴的变化曲线
剪力图与弯矩图是解决梁弯曲问题的基础， 也是材料力学课程最重要的内容。(考试主体)
17
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的 解析表达式。
0< x<l 0 xl
19
FS=q(l-2x)/2 M= qx(l-x)/2
0< x<l 0 xl
4、根据剪力、弯矩方程画 剪力、弯矩图
弯曲内力—单跨静定梁的内力图(材料力学课件)
FA
FB
ql 2
()
(2)列剪力方程和弯矩方程
FS (x)
FA
qx
1 2
ql
qx
(0< x l)
M (x)
FA x
1 2
qx 2
1 2
qlx
1 2
qx 2
(0 x l)
(3) 绘制剪力图和弯矩图
两端支座处： 梁跨中：
ql FSmax 2
M max
ql 2 8
q
A C
x
FA
l
1 ql
2
1 ql 2 8
剪力为常数，FS图为
平直线；弯矩为一次
FaFS图FS图(b) (b) 函数，M图为斜直线。
l
Fa
M图
l (c)
M图 (c)
集中力F处，剪力图 发生突变，弯矩图
有尖角。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
A
解：(1)求支座约束力
FA
由梁的整体平衡条件可求得：
M l
e
()
FA
(2)列剪力方程和弯矩方程
单跨静定梁的内力图
1. 剪力方程和弯矩方程 为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化的规律，以沿梁轴线的横坐标x表示梁横
截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，按剪力方程和弯矩方程绘出 图形，这种图形分别称为剪力图和弯矩图，即梁的内力图。
剪力方程
FS FS (x)
正剪力画在x轴上方负 剪力画在x轴下方,并在
图中标明“ ”、x轴下方负 剪力画在x轴上方,并在
图中标明“ ”、“ ”。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
材料力学课件ppt-4弯曲内力
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
工程力学第15讲 弯曲内力：某个截面上的内力 内力方程 内力图
3、根据方程画内力图
29
A
2kN C D
1kN/m B x3 FBY
解：1、支反力 Y 0 FAY FBY 2 1 2 0
x1
FAY 1m
x2 1m 2m
M
B
0 1 2 1 2 3 FAY 4 0 FBY 2(kN )
FAY 2(kN );
M(x)
x
③根据方程画内力图 x –FL
25
解：1、支反力（省略） 2、写出内力方程
q
Fs ( x) qx
1 2 M ( x) qx 2
(0 x l ) (0 x l )
A
x
L
B
Fs(x) x M(x) – qL x
3、根据方程画内力图
qL2 26 2
F a A C l b B X2 FBY
Fs 2 q( x2 a L)
qL
图（a） B M2 x2 Fs2
mB (Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x2 a)2 0 2
1 M2 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
18
[例]：求图所示梁1--1、2--2截面处的内力。 Fa F 1 2 解：（1）确定支座反力 A a B FBY a FCY 1.3a 1 C a 2 D
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
8
六、梁、荷载及支座的简化 （一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化： 1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。 2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。 （四）、支座的简化： 1、固定端——有三个约束反力。 FAX FAY MA
工程力学第16讲 弯曲内力：不写方程直接画内力图PPT课件
[例] 试作图示刚架的内力图。
F2
a
F1
B
C
l
A
F1
+
F2 +
Fs 图
F1 –
FN 图
F1a F1a
M图 F1a+ F2 l
[例] 已知：如图所示，F及R 。试绘制Fs、M、FN 图。
解：建立极坐标，O为极点，OB
R
F
极轴，q表示截面m–m的位置。
A
q
B
O
x
F F2 F1
M (q ) Fx F (R Rcosq ) FR(1 cosq ) (0 q ) Fs (q ) F1 Fsinq (0 q ) FN (q ) F2 Fcosq (0 q )
Fs(x) （kN）
15
20
M(x) kNm 20
20
10kN/m 4m
2.5m 31.25
解：1、支反力
B Y 0 FAY FBY 20 10 4 0
FBY
M B 0 10 4 2 205 40 FAY 4 0 FAY 35 (kN); FBY 25 (kN).
x
2、画内力图
mA (Fi ) 0 ,
Fs
( x)dx
1 2
q( x)(dx) 2
M
(x)
[M
(x)
dM
( x)]
0
dM (x) dx
Fs
(x)
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M(x)
q(x) Fs(x)+d Fs(x) A
Fs(x) dx M(x)+d M(x)
dM 2(x) dx2
q(x)
材料力学弯曲内力ppt课件
受均布载荷
8
§4–2 梁的剪力和弯
矩F
F
A
a l
B
A
FAx
FAy
B FB
Fx 0; FAx 0
mA 0; FBl Fa 0,
FB
Fa l
Fy 0; FAy FB F 0,
FAy
F (l a) l
荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。
9
x
31
根据M、 Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下： ⒈ 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； ⒉ 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载两端，支座处都应 取作分段点；
⒊ 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由Fs = 0确定弯矩抛物线顶 点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；
M1 2kN.m
17
m1=2kN.m m2=14kN.m
A
1 1
23 23
2 C2
FA m
m
B
FB
m1 A
FA
2 2
M2
Fs2
M3
3 3
B
Fs3
FB
2－2截面
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 3kN
m2 0; M 2 m1 FA 2 0
M 2 8kN.m
10
Fs ⊕
Fs Fs
○ － Fs M
⊕
MM
○－
M
剪力正负的规定
弯矩正负的规定
内力通过平衡方程计算。
x A
FAy
Ⅰ
Fs M
Ⅰ
Fy 0; FAy Fs 0,
8
§4–2 梁的剪力和弯
矩F
F
A
a l
B
A
FAx
FAy
B FB
Fx 0; FAx 0
mA 0; FBl Fa 0,
FB
Fa l
Fy 0; FAy FB F 0,
FAy
F (l a) l
荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。
9
x
31
根据M、 Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下： ⒈ 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； ⒉ 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载两端，支座处都应 取作分段点；
⒊ 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由Fs = 0确定弯矩抛物线顶 点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；
M1 2kN.m
17
m1=2kN.m m2=14kN.m
A
1 1
23 23
2 C2
FA m
m
B
FB
m1 A
FA
2 2
M2
Fs2
M3
3 3
B
Fs3
FB
2－2截面
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 3kN
m2 0; M 2 m1 FA 2 0
M 2 8kN.m
10
Fs ⊕
Fs Fs
○ － Fs M
⊕
MM
○－
M
剪力正负的规定
弯矩正负的规定
内力通过平衡方程计算。
x A
FAy
Ⅰ
Fs M
Ⅰ
Fy 0; FAy Fs 0,
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弯矩值最大 ，
+ Fa l
+
Fba l
作剪力图和弯矩图的几条规律
（1）取梁的左端点为座标原点，x 轴向右为正；剪力图向
上为正；弯矩图向下为正。
（2）以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束 处， 及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方 程，然后绘出剪力图和弯矩图。
（3） 梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）
Fb Fs ( x) l
Fa Fs ( x) l
(0 x a )
(a x l )
(1)
(3)
A
FA
a
F
b
FB
B
c
x
x
l 由（1），（3）两式可知，AC， CB 两段梁的剪力图各是一条平 行于 x 轴的直线。
Fb l
+ Fa l
Fb M ( x) x l
Fa M ( x) (l x) l
(0 x a )
(a x l )
(2)
(4)
A
FA
a
F
b
FB
B
c
x
x
l 由（2），（4）式可知，AC，
CB 两段梁的弯矩图各是一
条斜直线
Fba l
+
在集中荷载作用处的左， 右 两侧截面上:
A
FA
a
F
b
FB
B
c
x
x
l
剪力值（图）有突变 ,
突变 值等于集中荷载F。
Fb l
弯矩图形成尖角，该处
(0 x l )
弯矩图为一条二次抛物线, 由
x 0,
x =l ,
M 0
M=0
FA
A x
FB
B
l
x qlx qx 2 M ( x) FA x qx 2 2 2
(0 x l )
l 2
令
dM ( x ) ql qx 0 dx 2
得驻点
ql M x l 2 8
有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成 一个尖角。
（4）梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图） 也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处 剪力图没有变化。
（5）梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处； 梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面， 或 Fs= 0 的截面处。
剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在 x 轴下侧
弯矩图为正值画在 x 轴下侧，负值画在 x 轴上侧
Fs(x) Fs 图的坐标系
o
x
o
M 图的坐标系
M(x)
x
例题1：图 a 所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁的剪力图和弯矩图。
F
A
B
l
F
A x
B
l
解：将坐标原点取在梁的左端， 写出梁的剪力方程 和 弯矩方程 ：
处剪力的大小。
2. q(x)、Fs（x）图、 M（x）图三者间的关系 （1）梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0 Fs(x) 图为一向右下方倾斜的直线 M(x) 图为一向下凸的二次抛物线
dM ( x) Fs ( x) dx
dFs ( x) q ( x) dx
dM ( x ) dx
2 2
一、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图 1. 剪力方程和弯矩方程 用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化
规律，分别称作剪力方程和弯矩方程 。 即：
Fs = Fs (x )
M = M（x ）
2. 剪力图和弯矩图
绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的 剪力方程 和 弯矩方程 ，然后根据它们作图。
2
x
弯矩的极值
M max
x qlx qx 2 M ( x) FA x qx 2 2 2
(0 x l )
FB
B x
FA
绘出弯矩图
A
l
+
l 2
ql 8
2
FA
A x
FBห้องสมุดไป่ตู้
B
梁跨中截面上的弯矩值为最大
l
M max
ql 8
2
但此截面上 ，Fs = 0
ql 2
+
ql 2
两支座内侧横截面上剪力 绝对值为最大
m-m 截面上内力为 Fs(x) ， M(x)
nn 截面处内力分别为 Fs(x)+dFs(x) , M(x)+dM(x) 。
m
Fs(x) M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n
Fs(x)+dFs(x)
写出平衡方程
Fy= 0 Fs(x) - [Fs(x)+dFs(x)] + q(x)dx = 0 dFs(x) dx
C
(2x<6)
x
x
A
D
B
由
dM ( x) Fs ( x) 0 dx
得
2m 4m
x=4.83m 8.5kN
x
2m
14.5 - 3x = 0 x = 4.83m 为弯矩的极值点
3 M max 14.5(4.83 2) 4.832 6.04kN.m 2
+ 6kN
3.5kN
画弯矩图
例题4 ： 一简支梁受移动荷载 P 的作用如图所示。试求梁的
最大弯矩为极大时荷载 F 的位置。
F
A B
F FA A C FB B
x
l
解：先设 F在距左支座A 为 x 的任意位置。求此情况下梁的
最大弯矩为极大。
荷载在任意位置时，支反力为：
F (l x) FA l Fx FB l
F
当荷载 F 在距左支座为 x 的任意位置 C 时，梁的弯 矩值为 ：
FA
q
m
FB
C
( 6 x <8 )
x
x
A
D
B
x
M ( x ) 3.5(8 x )
(6<x8)
2m
4m
2m
画剪力图 CA: Fs(x)= -qx = -3x
FA
q
m
FB
( 0 x< 2 )
AD:
Fs ( x) FA qx 14.5 3x
C
x
x
A
D
B
x
2m
8.5kN
( 2<x 6 )
C
m
q(x)
n
Fs(x)+dFs(x)
得到
dM ( x) Fs ( x) dx
dM ( x) Fs ( x) dx
公式的几何意义
剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小
dFs ( x) q ( x) dx
dM ( x ) dx
2 2
q( x )
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点
FA A C
FB B
x
F (l x) M C FA x x l
l
令
dM C 0 dx
F (l 2 x) 0 l
l x 2
此结果说明：当移动荷载 F在简支梁的跨中时， 梁的最大弯矩为极大。 将 x = l/2 代入式
F (l x) M C FA x x l
得最大弯矩值
FA
q
m
FB
C
x
x
A
D
B
( 0 x 2) AD:
Fs ( x) FA qx 14.5 3x
2m
4m
2m
( 2<x 6 ) (2x<6)
q 2 3 2 M ( x) FA ( x 2) x 14.5( x 2) x 2 2
DB:
Fs ( x) FB 3.5kN
表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
向下的均布 荷载 q<0 无荷载 集中力 F C 集中力偶 Me
一段梁上 的外力情 况
C
剪力图的特征
向下倾斜的 直线
水平直线
在C处有突变
在C处无变化 C
弯矩图的特征
或
+
一般斜直线
或
下凸的二次 抛物线
在C处有尖角
或
在C处有突变 Me 在紧靠C的某 一侧截面
得到
= q(x)
m
Fs(x) M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n
Fs(x)+dFs(x)
写出平衡方程
MC 0
dx [ M ( x) dM ( x)] M ( x) Fs ( x)dx q( x)dx 0 2
略去二阶无穷小量即得
m
Fs(x) M(x)
n
M(x)+dM(x)
ql Fs ( x) qx 2
(0 x l )
FA
A x
FB
B
剪力图为一倾斜直线。
ql Fs 2
Fs ql 2
ql
l
x=0 处 ， x= l 处 ，
2
+
ql 2
绘出剪力图。
FA
A x
FB
B
l
x qlx qx 2 M ( x) FA x qx 2 2 2
FA
A
FB
B
l
解：求得两个支反力
+ Fa l
+
Fba l
作剪力图和弯矩图的几条规律
（1）取梁的左端点为座标原点，x 轴向右为正；剪力图向
上为正；弯矩图向下为正。
（2）以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束 处， 及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方 程，然后绘出剪力图和弯矩图。
（3） 梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）
Fb Fs ( x) l
Fa Fs ( x) l
(0 x a )
(a x l )
(1)
(3)
A
FA
a
F
b
FB
B
c
x
x
l 由（1），（3）两式可知，AC， CB 两段梁的剪力图各是一条平 行于 x 轴的直线。
Fb l
+ Fa l
Fb M ( x) x l
Fa M ( x) (l x) l
(0 x a )
(a x l )
(2)
(4)
A
FA
a
F
b
FB
B
c
x
x
l 由（2），（4）式可知，AC，
CB 两段梁的弯矩图各是一
条斜直线
Fba l
+
在集中荷载作用处的左， 右 两侧截面上:
A
FA
a
F
b
FB
B
c
x
x
l
剪力值（图）有突变 ,
突变 值等于集中荷载F。
Fb l
弯矩图形成尖角，该处
(0 x l )
弯矩图为一条二次抛物线, 由
x 0,
x =l ,
M 0
M=0
FA
A x
FB
B
l
x qlx qx 2 M ( x) FA x qx 2 2 2
(0 x l )
l 2
令
dM ( x ) ql qx 0 dx 2
得驻点
ql M x l 2 8
有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成 一个尖角。
（4）梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图） 也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处 剪力图没有变化。
（5）梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处； 梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面， 或 Fs= 0 的截面处。
剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在 x 轴下侧
弯矩图为正值画在 x 轴下侧，负值画在 x 轴上侧
Fs(x) Fs 图的坐标系
o
x
o
M 图的坐标系
M(x)
x
例题1：图 a 所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁的剪力图和弯矩图。
F
A
B
l
F
A x
B
l
解：将坐标原点取在梁的左端， 写出梁的剪力方程 和 弯矩方程 ：
处剪力的大小。
2. q(x)、Fs（x）图、 M（x）图三者间的关系 （1）梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0 Fs(x) 图为一向右下方倾斜的直线 M(x) 图为一向下凸的二次抛物线
dM ( x) Fs ( x) dx
dFs ( x) q ( x) dx
dM ( x ) dx
2 2
一、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图 1. 剪力方程和弯矩方程 用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化
规律，分别称作剪力方程和弯矩方程 。 即：
Fs = Fs (x )
M = M（x ）
2. 剪力图和弯矩图
绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的 剪力方程 和 弯矩方程 ，然后根据它们作图。
2
x
弯矩的极值
M max
x qlx qx 2 M ( x) FA x qx 2 2 2
(0 x l )
FB
B x
FA
绘出弯矩图
A
l
+
l 2
ql 8
2
FA
A x
FBห้องสมุดไป่ตู้
B
梁跨中截面上的弯矩值为最大
l
M max
ql 8
2
但此截面上 ，Fs = 0
ql 2
+
ql 2
两支座内侧横截面上剪力 绝对值为最大
m-m 截面上内力为 Fs(x) ， M(x)
nn 截面处内力分别为 Fs(x)+dFs(x) , M(x)+dM(x) 。
m
Fs(x) M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n
Fs(x)+dFs(x)
写出平衡方程
Fy= 0 Fs(x) - [Fs(x)+dFs(x)] + q(x)dx = 0 dFs(x) dx
C
(2x<6)
x
x
A
D
B
由
dM ( x) Fs ( x) 0 dx
得
2m 4m
x=4.83m 8.5kN
x
2m
14.5 - 3x = 0 x = 4.83m 为弯矩的极值点
3 M max 14.5(4.83 2) 4.832 6.04kN.m 2
+ 6kN
3.5kN
画弯矩图
例题4 ： 一简支梁受移动荷载 P 的作用如图所示。试求梁的
最大弯矩为极大时荷载 F 的位置。
F
A B
F FA A C FB B
x
l
解：先设 F在距左支座A 为 x 的任意位置。求此情况下梁的
最大弯矩为极大。
荷载在任意位置时，支反力为：
F (l x) FA l Fx FB l
F
当荷载 F 在距左支座为 x 的任意位置 C 时，梁的弯 矩值为 ：
FA
q
m
FB
C
( 6 x <8 )
x
x
A
D
B
x
M ( x ) 3.5(8 x )
(6<x8)
2m
4m
2m
画剪力图 CA: Fs(x)= -qx = -3x
FA
q
m
FB
( 0 x< 2 )
AD:
Fs ( x) FA qx 14.5 3x
C
x
x
A
D
B
x
2m
8.5kN
( 2<x 6 )
C
m
q(x)
n
Fs(x)+dFs(x)
得到
dM ( x) Fs ( x) dx
dM ( x) Fs ( x) dx
公式的几何意义
剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小
dFs ( x) q ( x) dx
dM ( x ) dx
2 2
q( x )
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点
FA A C
FB B
x
F (l x) M C FA x x l
l
令
dM C 0 dx
F (l 2 x) 0 l
l x 2
此结果说明：当移动荷载 F在简支梁的跨中时， 梁的最大弯矩为极大。 将 x = l/2 代入式
F (l x) M C FA x x l
得最大弯矩值
FA
q
m
FB
C
x
x
A
D
B
( 0 x 2) AD:
Fs ( x) FA qx 14.5 3x
2m
4m
2m
( 2<x 6 ) (2x<6)
q 2 3 2 M ( x) FA ( x 2) x 14.5( x 2) x 2 2
DB:
Fs ( x) FB 3.5kN
表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
向下的均布 荷载 q<0 无荷载 集中力 F C 集中力偶 Me
一段梁上 的外力情 况
C
剪力图的特征
向下倾斜的 直线
水平直线
在C处有突变
在C处无变化 C
弯矩图的特征
或
+
一般斜直线
或
下凸的二次 抛物线
在C处有尖角
或
在C处有突变 Me 在紧靠C的某 一侧截面
得到
= q(x)
m
Fs(x) M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n
Fs(x)+dFs(x)
写出平衡方程
MC 0
dx [ M ( x) dM ( x)] M ( x) Fs ( x)dx q( x)dx 0 2
略去二阶无穷小量即得
m
Fs(x) M(x)
n
M(x)+dM(x)
ql Fs ( x) qx 2
(0 x l )
FA
A x
FB
B
剪力图为一倾斜直线。
ql Fs 2
Fs ql 2
ql
l
x=0 处 ， x= l 处 ，
2
+
ql 2
绘出剪力图。
FA
A x
FB
B
l
x qlx qx 2 M ( x) FA x qx 2 2 2
FA
A
FB
B
l
解：求得两个支反力