2019届人教B版(文科数学) 推理与证明 单元测试

2019届人教B版（文科数学）推理与证明单元测试(1)

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.用反证法证明“若x+y≤0则x≤0或y≤0”时，应假设（）

A. x＞0或y＞0

B. x＞0且y＞0

C. xy＞0

D. x+y＜0

【答案】B

【解析】

分析：假设结论的反面成立，注意“或”与“且”转换．

详解：“x≤0或y≤0”的反面是“且”．

故选B．

点睛：本题考查反证法，实际上用反证法证明时，涉及到命题的否定，结论的反面要注意“或”与“且”转换，存在量词与全称量词的互相转换．

2. 我们把1,4,9,16,25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形(如图)．

由此可推得第n个正方形数应为 ( )

A. n(n－1)

B. n(n＋1)

C. n2

D. (n＋1)2

【答案】C

【解析】

解：因为1,4,9,16,25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形，结合图像可知第n 个正方形数应为n2，选C

3.观察下列各式:,,,…,则

等于( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

观察下列各式，右边分母组成以3为首项，1为公差的等差数列；分子组成以1为首项，1为公差的等差数列，即可得出结论．

【详解】,,,…,则

。

故选C.

【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

4.由①正方形的对角线相等,②平行四边形的对角线相等,③正方形是平行四边形,根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是 ( )

A. 正方形的对角线相等

B. 平行四边形的对角线相等

C. 正方形是平行四边形

D. 以上均不正确

【答案】A

【解析】

【分析】

三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”．另外一个是结论．

【详解】演绎推理三段论可得

“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：”正方形的对角线相等“，

故选：A ．

【点睛】三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，

又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．

5.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N),验证n=1时,左边应取的项是( )

A. 1

B. 1+2

C. 1+2+3

D. 1+2+3+4

【答案】D

【解析】

【分析】

由等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N),当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．

【详解】在等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N),中，

当n=1时，n+3=4，

而等式左边起始为1的连续的正整数的和，

故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4

故选：D．

【点睛】本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意n的取值范围．

6.三角形面积为S=(a+b+c)r,a,b,c为三角形三边长,r为三角形内切圆半径,利用类比推理,可以得出四面体的体积为( )

A. V=abc

B. V=Sh

C. V=(ab+bc+ac)·h(h为四面体的高)

D. V=(S1+S2+S3+S4)·r(其中S1,S2,S3,S4分别为四面体四个面的面积,r为四面体内切球的半径,设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是r)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可

【详解】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，

根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O与四顶点连起来，

可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，V=(S1+S2+S3+S4) ·r·故选：D．

【点睛】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．

7.用数学归纳法证明时，由k到k+1，不等式左边的变化是（）

A. 增加项

B. 增加和两项

C. 增加和两项同时减少项

D. 以上结论都不对

【答案】C

【解析】

时，左边，时，左边，由

“”变成“”时，两式相减可得，故选C.

点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．

8.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:

22=1+3,

32=1+3+5,

42=1+3+5+7,

23=3+5,