04第四章：卷积的计算.ppt

∫
t
=
1 −t e + sin(t ) − cos(t ) u (t ) 2
[
]
4.3卷积的计算 4.3卷积的计算
2t 4.3例 4.3-2 计算 f (t ) = e u (−t ) ∗ sgn(t ) 。
解
f (t ) =
∫
∞
−∞
sgn(τ )e
2(t − τ )
u (τ − t )dτ =
∫
f (t ) = f1 (t ) * f 2 (t ) =
∫ f (τ ) f (t − τ )dτ
1 −∞ 2
∞
给定 t 值， f 2 (−τ ) 沿 τ 正轴平移 t ， 的波形， 4.1- （ ； （ 3） 将 得到 f 2 (t − τ ) 的波形， 如图 4.1-2 d） 相乘， （4）将 f1 (τ ) 和 f 2 (t − τ ) 相乘，得到 f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ；
用式（4.2- 计算， 解 用式（4.2-5）计算，令 i = 2 ， j = 0 ，得
d2 dt
2
[ f (t ) ∗ tu (t )] = f (t ) ∗
−t
d2 dt
2
[tu (t )]
即 求得
d2 dt
2
[(t + e
− 1)u (t ) = f (t ) ∗
]
d2 dt
2
[tu (t )]
u (τ − t )dτ = ∫ e 2(t − τ ) dτ =
t
0
1 1 2t − e 2 2
得
∫
1 1 e 2(t − τ ) u (τ − t )dτ = − e 2t u (−t ) 。 −∞ 2 2
0
再计算
∫
∞
e 2(t − τ ) u (τ − t )dτ
0
4.3卷积的计算 4.3卷积的计算
t → −∞
lim f 2 (t ) = f 2 (−∞) = 0 ， 即要求 f1 (t ) 和 f 2 (t )
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
例 4.2-4 计算 tu (t ) ∗ u (t ) 。 4.2解 4.2由（4.2-7）得
t
t du (t ) = ∫ τdτ ⋅ u (t ) ∗ δ (t ) tu (t ) ∗ u (t ) = ∫ τu (τ )dτ ∗ −∞ 0 dt 1 2 1 2 = t u (t ) ∗ δ (t ) = t u (t ) 2 2
R xy (t ) = x (t ) ∗ y ( −t )
同理
R yx (t ) = y (t ) ∗ x (−t )
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
−t 4.2例 4.2-7 计算 u (t ) 与 e u (t ) 的相关函数 R xy (t ) 和 R yx (t ) 。
解
R xy (t ) = x(t ) ∗ y (−t ) = u (t ) ∗ e u (−t ) = u (τ )e t −τ u (τ − t )dτ
1 1 1 1 f (t ) = − − e 2t u ( −t ) + e 2t u ( −t ) + u (t ) 2 2 2 2 1 = e 2t u ( −t ) + sgn(t ) 2
图 4.2-3 例 4.2-6 用图
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
( −1) 解 利用式 s (t ) = f (t ) ∗ f (t ) = f ′(t ) ∗ f (t ) 计算
f ′(t ) = Eδ (t + τ ) − Eδ (t − τ )
f
(− (−1)
(t ) = E (t + τ )[u (t + τ ) − u (t − τ )] + 2 Eτu (t − τ )
d2 dt 2
[tu (t )] = δ (t )
d2
， dt 2
[(t + e −t − 1)u (t )] = e −t u (t )
−t −t 即 e u (t ) = f (t ) ∗ δ (t ) 。由于 f (t ) ∗ δ (t ) = f (t ) ，所以 f (t ) = e u (t ) 。
0
−∞
(−1)e
2(t − τ )
u (τ − t )dτ +
∫
∞
e 2(t − τ ) u (τ − t )dτ
0
先计算
0
∫
−∞
0
0
−∞
e 2(t − τ ) u (τ − t )dτ
当t > 0时, ∫ e 2(t − τ )u (τ − t )dτ = 0
当t < 0时， e ∫
−∞ 2(t −τ )
∫
t
−∞
f 2 (τ )dτ =
∫
t
−∞
f1 (τ )dτ ∗
df 2 (t ) dt
简写为
f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f1′(t ) ∗ f 2 ( −1) (t ) = f1( −1) (t ) ∗ f 2′ (t )
在计算两函数的卷积时，经常使用式（4.2-7） 该性质成立的充要 在计算两函数的卷积时，经常使用式（4.2- ，该性质成立的充要 ， 条件是：lim 条件是：→−∞ f1 (t ) = f1 (−∞) = 0 及 t 都是有始信号。 都是有始信号。
8.与阶跃函数的卷积 8.与阶跃函数的卷积
f (t ) ∗ u (t ) =
9.相关与卷积 9.相关与卷积
∫
t
−∞
f (τ )dτ = f
( −1)
(t )
两个实函数 x(t ) 和 y (t ) 的相关运算，定义如下 的相关运算，
R xy (t ) =
∫ x(τ ) y(τ − t )dτ
−∞
∞
R yx (t ) =
结合律成立的条件是：其中的任意两个函数的卷积要存在。 结合律成立的条件是：其中的任意两个函数的卷积要存在。 4.卷积的微分 4.卷积的微分 简写为 依次类推， 依次类推，有
di dt
i
[ f1 (t ) ∗ f 2 (t )]′ = f 1 (t ) ∗ f 2′ (t ) = f1′(t ) ∗ f 2 (t )
∫
∞
重复以上过程。 （6）在 (−∞,+∞) 区间内改变 t 值，重复以上过程。 正确选择积分的上、下限是计算卷积的关键。 正确选择积分的上、下限是计算卷积的关键。
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
1.交换律 1.交换律 2.分配律 2.分配律 3.结合律 3.结合律
f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f 2 (t ) ∗ f1 (t )
当t > 0时, ∫ e
0 ∞ 2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
t
∞
2(t − τ )
1 dτ = 2
2(t − τ )
当t < 0时， e ∫
0
∞
2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
0
∞
1 2t dτ = e 2
得 所以
∫
∞
e
2(t − τ )
0
1 2t 1 u (τ − t )dτ = e u (−t ) + u (t ) 2 2
= e t u (−t ) + u (t )
∫
∞
−∞
e −τ u (τ )u (τ − t )dτ
∞ e −τ dτ = 1 ∫0 = ∞ e −τ dτ = e −t ∫t
t<0 t>0
= u (−t ) + e −t u (t )
4.3卷积的计算 4.3卷积的计算
4.3.1 用卷积的定义计算
t −∞
∫
∞
∞ e t −τ dτ = −e t ⋅ e −τ ∞ = e t ∫ 0 = 0∞ t −τ t −τ ∞ ∫t e dτ = −e ⋅ e t = 1
R yx (t ) = y (t ) ∗ x(−t ) = e u (t ) ∗ u (−t ) =
−t
t<0 t>0
4.3例 4.3-1 解
计算 f (t ) = e
−t
u (t ) ∗ sin(t )u (t ) 。
τ −t
f (t ) =
∫
∞
−∞
sin(τ )u (τ )e
u (t − τ ) d τ =
∫
t
sin(τ )e τ −t dτ ⋅ u (t )
t
0
e τ [sin(τ ) − cos(τ )] −t τ −t = e u (t ) ⋅ sin(τ )e dτ = e u (t ) ⋅ 2 0 τ =0
f 轴之间的面积； （5）计算 −∞1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ ，即计算乘积 f1 (τ ) f 2 (t − τ ) 波形与 τ 轴之间的面积；
波形， 4.1-2(a)、 ； （b （1）将函数中的变量 t 换为 τ ，得到 f1 (τ ) 和 f 2 (τ ) 波形，如图 4.1-2(a)、 b） （ 波形反褶， 的波形， 4.1（2）将 f 2 (τ ) 波形反褶，得到 f 2 (−τ ) 的波形，如图 4.1-2（c） ；
第四章 卷积的计算
4.1 连续时间信号的卷积
两个连续时间信号 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 卷积定义为 用图解法来说明卷积的计算过程。 用图解法来说明卷积的计算过程。 根据定义式（4.1- ， 根据定义式（4.1-1） 计算 按以下步骤进行： 按以下步骤进行：
f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ，
f 1 (t ) ∗ [ f 2 (t ) + f 3 (t )] = f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) + f 1 (t ) ∗ f 3 (t )
[ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] ∗ f 3 (t ) = f1 (t ) ∗ [ f 2 (t ) ∗ f 3 (t )]
df (t ) df (t ) d [ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] = f1 (t ) ∗ 2 = 1 ∗ f 2 (t ) dt dt dt
∫ y(τ ) x(τ − t )dτ
−∞
∞
R xy (t ) 称为 x(t ) 与 y (t ) 的互相关函数，R yx (t ) 称为 的互相关函数，
y (t ) 与 x(t ) 的互相关函数。 的互相关函数。
的自相关函数。 若 x(t ) = y (t ) ，则 R xx (t ) 称为 x(t ) 的自相关函数。
f (t ) ∗ δ (t − t1 ) = f (t − t1 )
f (t ) ∗ δ ′(t ) = f ′(t )
f (t ) ∗ δ ( n) (t ) = f ( n) (t )
f (t ) ∗ δ ( n ) (t − t1 ) = f
(n)
(t − t1 )
4.24.2例 4.2-6 函数 f (t ) 的波形如图 4.2-3，求 s(t ) = f (t ) ∗ f (t ) 。
[ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] =
dj dt
j
f1 (t ) ∗
d i− j dt
i− j
f 2 (t )
是正整数） （ i 、 j 是正整数）
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4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
−t 4.2例 4.2-3 已知 f (t ) ∗ tu (t ) = (t + e − 1)u (t ) ，求 f (t ) 。
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
5.卷积的积分 5.卷积的积分
∫ [ f ( x) ∗ f ( x)]dx = f (t) ∗ ∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx ∗ f (t)
−∞ 1 2 1 2 −∞ 1 −∞ 2
t
t
t
结合卷积的微、 结合卷积的微、积分性质有
df (t ) f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = 1 ∗ dt
f (t ) = tu (t ) ∗ u (t ) =
1 2 t u (t ) ，则 2
1 tu (t ) ∗ u (t − 2) = f (t − 2) = (t − 2) 2 u (t − 2) 2
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
7.与冲激函数和导数的卷积 7.与冲激函数和导数的卷积
f (t ) ∗ δ (t ) = f (t )
s (t ) = [Eδ (t + τ ) − Eδ (t − τ )] ∗ {E (t + τ )[u (t + τ ) − u (t − τ )] + 2 Eτu (t − τ )}
= E 2 [2τ − | t |][u (t + 2τ ) − u (t − 2τ )]
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
6.卷积的时移性质 6.卷积的时移性质
若 f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f (t ) ，则
f1 (t − t1 ) ∗ f 2 (t − t 2 ) = f (t − t1 − t 2 )
利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 4.2例 4.2-5 计算 tu (t ) ∗ u (t − 2) 。 解 由于