整式的乘法与因式分解知识点及例题

整式乘除与因式分解

一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质：

a m ·a n ＝a m ＋

n （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()n

m a ＝ a mn （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例： (－a 5)5

3．

()n n n

b a ab = （n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a 2b )3 练习：

（1）y x x 2

325⋅ （2）)4(32

b ab -⋅- （3）a ab 23⋅

（4）222z y yz ⋅ （5）)4()2(2

32xy y x -⋅ （6）2

2253)(63

1ac c b a b a -⋅⋅

4．n m a a ÷＝ a m －

n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2

（4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )2

5．零指数幂的概念：

a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0

=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？

6．负指数幂的概念：a －

p ＝p a 1

（a ≠0，p 是正整数）

任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．

也可表示为：p

p

n m m n ⎪

⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）

7．单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

例：（1）2

2

3

1

23abc abc b a ⋅⋅ （2）423

3)2()2

1(n m n m -⋅- 8．单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

例：（1）)35(22

2b a ab ab + （2）ab ab ab 2

1)232

(2⋅

- （3）)32()5(-2

2

n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23

2

2

9．多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）

2)2n m +-（ 练习：

1．计算2x 3·(－2xy)(－

1

2

xy) 3的结果是 2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝

3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为 4．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是

5．－[－a 2(2a 3－a)]＝

6．(－4x 2＋6x －8)·(－

12

x 2

)＝ 7．2n(－1＋3mn 2)＝ 8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝

9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝ 10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－

1

2

x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝

11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为

，体积为

。

12．一个长方形的长是10cm ，宽比长少6cm ，则它的面积是

，若将长方形的长和都扩大了2cm ，则面积增大

了

。

10．单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

例：（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 3

11．多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个

单项式，再把所得的商相加．

例： 练习： 1．计算： （1）223247173y x z y x ÷-

； （2）()⎪⎭

⎫

⎝⎛-÷-2232232y x y x ； xy

xy y x 6)63()1(2÷-)

5()15105()2(3223ab ab b a b a -÷--

（3）()()2

6

416b a b a -÷-． （4）()()3

2

2324n n

xy y x -÷

（5）(

)(

)3

9

102104⨯-÷⨯

2．计算：

（1）33233212116⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅÷xy y x y x ； （2）3

2232512152⎪⎭⎫

⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛xy y x y x

（3）2

2

221524125⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅⎪

⎭

⎫

⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n b a b a b a

3．计算：

（1）()()[]()()[]

2

3

4

5

64y x x y y x y x +⋅-÷+-； （2）()()[

]()()[

]

2

3

5

616b a b a b a b a -+÷-+．

4.若 (ax 3my 12)÷(3x 3y 2n )=4x 6y 8 , 则 a = , m = ,= ;

易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误； 有关多项式的乘法计算出现错误； 误用同底数幂的除法法则；

用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错； 乘除混合运算顺序出错。

12．乘法公式：

①平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2

文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． ②完全平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 （a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2

文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍． 例1： （1）(7+6x)(7−6x)； （2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m ＋2n)(−m−2n)． 例2： (1) (x+6)2

(2) (y-5)2

(3) (-2x+5)2