元二次方程应用握手问题送卡片问题数论问题专练教师版

68.
答案： 68
三、解答题
17. 【题文】为了满足铁路交通的快速发展，安庆火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，
甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多
5 个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等
于两队单独完成所需时间之和的 6 倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
答案： 【答案】甲队单独完成这项工程需要 【解析】
程即为所求．
解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：
α +β =-=10 ，αβ ==9， 令 a=1，那么关于α、β的一元二次方程是
x2-10x+9=0 ．
x2-10x+9= （ x-5 ）2-25+9=0 ，
故（ x-5 ）2=16，
解得： x=9 或 x=1，
故方程两根为： 9，1．
21. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有
x 1 ＝ 8，x 2 ＝－ 10(舍去 )． (1＋ x) 3 ＝ (1＋ 8) 3 ＝ 729＞ 700. 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 22. 解方程 x 2 +bx+c=0 时，甲看错了
8 台电脑， 3 轮感染后，被感染的电脑会超过 700 台． b，解得两根为－ 1 与 6；乙看错了 c，解得两根为－ 3 与 4，求
一 元二次方 程应 用握 手问 题 送 卡片 问题 数论 问题专练 教师版 命题人： 潘 五洲
一、
1. 【题文】某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送
片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为（）
A． x（ x+1） =1035
B． x（x-1 ） =1035
1035 张照
答案： x2-10x+9=0 ； x1=9,x2=1 本题主要考查了根与系数的关系及用配方法解一元二次方程
. 先设这
个方程的两根是α、 β，由于乙把一次项系数看错了， 而解得方程的两根为 -9 和 -1 ，则有αβ = =9，
甲把常数项看错了，解得两根为 8 和 2，则有α +β =- =10，令 a=1，那么关于α、β的一元二次方
原来的两根 .
答案：略
23. 三个连续整数两两相乘后相加得 431，求这三个数 .
答案：思路分析：此题关键是依据所设写出另两个数的表达式
, 再列方程求解 .
解：设三个连续整数中间的一个数为 x，则另外两个数分别为 (x-1) 、 (x+1) ，依题意，得
16. 有一两位数， 其个位和十位数字之和是 14，交换数字位置后， 得到的新的两位数比原两位数大 则原两位数为 ____________.
18，
答案：思路解析：这类与多位数有关的问题，不可直接设“元”，间接设数位上的数字为宜
. 设个位上
的数字为 x，则十位上的数字为（ 14-x ）, 于是有 10x+(14-x)=10(14-x)+x+18. 解得 x=8. 故该两位数为
∴正确的分数是 2070，共有 46 名选手参加比赛．
20. 在解一元二次方程时 , 粗心的甲、 乙两位同学分别抄错了同一道题 , 甲抄错了常数项 , 得到的两根分
别是 8 和 2; 乙抄错了一次项系数 , 得到的两根分别是 -9 和-1. 你能找出正确的原方程吗 若能 , 请你用配
方法求出这个方程的根 .
1 =4,x 2 =-6( 舍去 ). 故所求的两个正数为 4， 6. 答案： C
8. 如果两个连续偶数的积为 288，那么这两个数的和等于 ( )
或 -35 或 -34 答案：思路解析：两个连续偶数差
2，设较小的数为 x，较大的为 x+2，则 (x+2)x=288. 解方程即可 .
答案： D
二、填空题 9. 【题文】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，
数 =所得分数，根据所得分数应是 2 的倍数可舍去 2025， 2085，把剩下的分数代入看哪个有整数解即
可．
解：设这次比赛中共有 x 名选手参加．易得分数一定不是 2025， 2085，
2×× x（x-1 ） =2070，
解得 x1=46， x2=-45 （不合题意，舍去）
∵只有一位同学是正确的，
答案： C 6. 若某三个连续偶数的平方和等于
56，则这三个数是 ( )
、4、 6 、 6、 8
、-4、 -2 或 2、 4、 6 、 -6、 -4 或 4、 6、 8 答案：思路解析：设中间的偶数为 x ，然后列方程得 (x-2) 2 +x 2 +(x+2) 2 =56. 解得 x=± 4, 所以这三
B．
考点：一元二次方程的应用．
4. 【题文】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛
程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛．设比赛组织者应邀请
个队参赛，则 满足的关系式为（ ）
A． C． 答案： 【答案】 B． 【解析】
试题分析：每支球队都需要与其他球队赛（
∴ x=0 （舍去） .∴十位数字为 8.
答案： 8
15. 某次足球赛中 , 每两个足球队之间要进行一场主场和一场客场比赛
, 共有 20 场比赛 , 则这次足球比
赛共有 _________ 支足球队参加 .
答案：
5 点拨：设共有 x 支足球队参加 .依题意可列方程 : x （ x － 1）＝ 20.解得 x ＝ 5.
所以可列方程为：
x（ x-1 ） =28．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
10. 【题文】若两数和为 -7 ，积为 12，则这两个数是 .
答案： 【答案】 3 和 4
【解析】
试题分析： 设其中的一个数为 x，则另一个是 7x，根据 “积为 12”可得 x（ 7x）=12，解方程即可求解．
设其中的一个数为 x，则另一个是 7x，
2025,2070,2080,2085 分 , 经核实 , 其中只
有一位同学是正确的 , 试求这次比赛中共有多少名选手参加
答案： 46 名 本题考查了一元二次方程的应用；得到局数是解决本题的难点；判断出相应的分数是解
决本题的易错点．
每局的得分均为 2 分， 2 人的比赛只有一局；局数 = ×选手数×（选手数 -1 ）；等量关系为： 2×局
15 个月，乙队单独完成这项工程需要
10 个月．
试题分析：设甲队单独完成这项工程需要
x 个月，则乙队单独完成这项工程需要（ x5）个月，根据两
队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的
6 倍建立方程求出其解即可．
试题解析：
设甲队单独完成这项工程需要 x 个月，则乙队单独完成这项工程需要（ x5 ）个月，由题意，得
∴总共送的张数应该是 x（x-1 ） =1035．
故选 B
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
2. 【题文】摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了
182
张，若全组有 x 名学生，则根据题意列出的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
答案： 【答案】
B．
【解析】
试题分析： 设全组有 件，
试题分析：设参加聚会的同学共有 x 人，根据大家一见面就互相握手，有人统计了一下，大家一共握
了 45 次手，从而可列出方程．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程
12. 【题文】某班师生十年后再次聚会，见面时相互握手一次，共握手
820 次，问原来班级师生 人 .
答案： 【答案】 41．
【解析】
试题分析： 设这次参加聚会的同学有
15 场比赛求应邀请多少
个球队参赛？（ 6 分）
答案： 【答案】 6．
【解析】
试题分析：设邀请 x 个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（
x1 ）场球，第二个球队和其他
球队打（ x2）场，以此类推可以知道共打（ 1+2+3+… +x1）场球，然后根据计划安排 15 场比赛即可列
出方程求解．
试题解析：设邀请 x 个球队参加比赛，依题意得：
x（x5） =6（x+x5 ），
解得： x 1 =2（舍去）， x 2 =15． ∴乙队单独完成这项工程需要 155=10 个月
答：甲队单独完成这项工程需要 15 个月，乙队单独完成这项工程需要 10 个月．
考点：一元二次方程的应用．
18. 【题文】要组织一场篮球赛，每两队之间都赛一场（单循环赛）计划安排
试题分析：设每轮传染中平均一个人传染的人数为
x 人，第一轮过后有（ 1+x）个人感染，第二轮过后
有（ 1+x） +x（ 1+x）个人感染，那么由题意可知 1+x+x（ 1+x） =100，整理得，
，解
得 x=9 或-11 ， x=-11 不符合题意，舍去．那么每轮传染中平均一个人传染的人数为
9 人．故选
人，则每人应握 （
）次手，由题意得：
，
即：
，解得：
，
（不符合题意舍去），所以，这次参加同学聚
会的有 41 人．故答案为： 41． 考点：一元二次方程的应用． 13. 【题文】网民小李的 QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息， 这样共有 90 条消息，设小李的 QQ群里共有好友 个，可列方程为 : ．
根据题意得 x（ 7x） =12，
解得 x=3 或 x=4，
那么这两个数就应该是 3 和 4．
考点：一元二次方程的应用．
11. 【题文】在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手。有人统计了一下，大家一共握了
45 次手，
参加这次聚会的同学共有多少人？若参加聚会有
名同学，可列方程 。
答案： 【答案】
【解析】
81 台电脑被感染．请你
用学过的知识分析， 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，
3 轮感染后，
被感染的电脑会不会超过 700 台？
答案：解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染
x 台电脑，依题意，得
1＋ x＋ (1＋ x)x ＝ 81. (1＋ x) 2 ＝ 81.
x＋ 1＝ 9 或 x＋ 1＝－ 9.
名同学， 则每名同学所赠的标本为： （
）件，那么 名同学共赠：
所以，
．故选
B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
3. 【题文】有一人患了流感，经过两轮传染后共有
100 人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传
染的人数为（）．
A． 8 人
B．9 人
答案： 【答案】 B
C． 10 人
D． 11 人
【解析】
C． x（ x+1） =1035
D． x（ x-1 ） =1035
答案： 【答案】 B
【解析】
试题分析：如果全班有 x 名同学，那么每名同学要送出（ x-1 ）张，共有 x 名学生，那么总共送的张数
应该是 x（ x-1 ）张，即可列出方程．
∵全班有 x 名同学，
∴每名同学要送出（ x-1 ）张；
又∵是互送照片，
赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请
x 各队参赛，
可列出的方程为 _________ ．
答案： 【答案】 x（x-1 ） =28．
【解析】
试题分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷
2=4× 7，把相关数值代入即可．
试题解析：每支球队都需要与其他球队赛（ x-1 ）场，但 2 队之间只有 1 场比赛，
个数分别为 -6 、 -4 、-2 或 2、4、 6, 由于此题为选择题也可以直接验证选项 .
答案： C 7. 两个正数的差是 2，它们的平方和是 52，则这两个数是 ( )
和 4 和 8 和 6 和 10 答案：思路解析：常规题型可直接列方程求解
. 设较小的正数为 x，较大的为 x+2, 则 x 2 +(x+2) 2 =52,x
ห้องสมุดไป่ตู้，∴
，
∴x=6 或 x=5（不合题意，舍去）．
答：应邀请 6 个球队参加比赛．
考点： 1．一元二次方程的应用； 2．比赛问题．
19. 象棋比赛中 , 每个选手与其他选手将比赛一场 , 每局胜者记 2 分 , 败者记 0 分 , 如果平局 , 每人各记 1
分, 今有 4 位同学统计了比赛中全部选手得分的总和分别为
B． D．
）场，但 2 队之间只有 1 场比赛，
所以可列方程为：
．故选
B． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 5. 若一个数和它的一半的平方和等于 5，则这个数是 ( )
或 -2 D. 以上都不对
答案：思路解析：依据条件列方程即可求解
. 设这个数为 x, 可列方程 x 2 +( ) 2 =5. 解得 x=± 2.
答案： 【答案】
【解析】
试题分析：设有 x 个好友，依题意，
x（ x1） =90，
故答案为： x（ x1）=90
考点 : 由实际问题抽象出一元二次方程 14. 某两位数的十位数字是方程 x 2 － 8x=0 的解，则其十位数字是 .
答案：思路解析：不要忽视对所求方程解的分析
.
解方程 x 2 － 8x=0，得 x 1 =0， x 2 =8，由于两位数的十位数字不能为 0，