小波分析课件

dadb R2 W f a, b a,b x a 2
（6）
性质
吸收公式：当吸收条件



2
0

d


2
0

d
（7）
成立时，有吸收的Plancherel恒等式
1 C f x g x dx 0 2

2
k
,2
k
j

(20)
上的取值，因此，小波系数 k , j 实际上是 信号f(x)的离散小波变换。其实，这也是 小波变换迷人的风采之一： 连续变换和离散变换形式统一； 连续变换和离散变换都适合全体信号；
§2. 小波分析和时-频分析
(Time-Frequency Analysis ) 2.1 窗口Fourier变换和Gabor变换
其中 x 的Fourier变换满足
k
2 2 1
k k
（14）
称为二进小波 x 的重构小波，比如可取：

k
2
k
2
（15）
1.4. 正交小波和小波级数
(Orthonormal Wavelet)
(Windowed Fourier Transform and Gabor Transform)
D.Gabor在1946年开创时-频分析的先河提出
Gabor Transform
一般的时-频分析是
Windowed Fourier Transform Short-Time Fourier Transform
1.1
小波(Wavelet)
x dx
2
*
小波就是空间L2(R)中满足下述条 x 件的函数或者信号 :

R
Leabharlann Baidu
（1）
C
R
d
2
（2）
这时， x 也称为小波母函数，(2) 称为容 许性条件。
连续小波
函数：
a ,b x

1 a

R
xb f x dx a
（4）
性质
这样定义的小波变换具有下列性质： Plancherel恒等式：
C
R
dadb f x g x dx 2 W f a , b W g a , b 2 R a
（5）
小波变换的逆变换公式：
1 f x C
交小波。
小波级数
这时，逆变换公式就是小波级数
f x
k j



k, j
k, j x
(18)
其中小波系数 k , j 的算法是
k , j f , k , j f x k , j x dx
R
(19)
连续和离散统一
小波系数是信号f(x)的小波变换 W f a, b 在 二进离散点
F 0 S f x0 , 0 dx0
R
(23)
物理解释
Gabor变换S f x0 , 0 是信号f x L2 R在x=x0 点“附近”的频率为 0 的频率成分；
da Wf a, bWg a, bdb a 2


（ 8）
性质
吸收的逆变换公式
2 f x C


0
W a , b x db da a ,b f a2
（ 9）
(Dyadic Wavelet Transform)
g x dx 1
R
Gabor Transform
D.Gabor取
2 1 x g x e xp 4 2
(22)
是 Gaussian 函数，对应的变换称为 Gabor 变换 (1946) 。对于 Gabor 变换，存在如下 的频率再分割公式：
1 x W b k f x k dx 2 R 2 f 2k b 这时，逆变换公式是
k f


（12）
k k k f x W f b 2 2 x b db R k
（13）
重构小波
Windowed Fourier Transform
具体地
S f x0 , 0 f x g x x0 exp i 0 x dx
R
(21)
称为信号 f x L2 R 的窗口Fourier变换，其 中的函数 g x L2 R 称为窗口函数，一般要求 是：
R
这说明函数 x 有波动的特点，公式(1) 又说明函数 x 有衰减的特点，因此， 称函数 x 为“小波”。
1.2 小波变换(Wavelet
小波变换为
W f a , b f x a ,b x dx
R
Transform)
2 对于任意的函数或者信号 f x L R，其
1.3.二进小波和二进小波变换
如果小波函数 x 满足稳定性条件
A
j


B
2
(10)
则称 x 为二进小波，对于任意的整数k,记
1 x 2k x k k 2 2
(11)
逆变换
2 对于任意的 f x L R ，其二进小波变换为：
k , j x 2 2k x j
k 2
设小波为 x ，对于任意的整数k 和j，记 (16)
如果函数族
k k 2 k , j x 2 2 x j ; k , j Z Z


(17)
2 L 构成空间 R 的标准正交基，则称 x 是正
1
xb a a
（ 3）
为由小波母函数 x 生成的依赖 于参数（ a,b ）的连续小波，简 称为小波。
注释
注释：如果小波母函数 x 的Fourier 变换 在原点 0 是连续 的，那么公式(2)说明 0 0 ， 于是
x dx 0