密度泛函理论

密度泛函理论-定理介绍

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Density functional theory (DFT)

密度泛函理论是一种研究多电子体系电子结构的量子力学方法。密度泛函理论在物理和化学上都有广泛的应用，特别是用来研究分子和凝聚态的性质，是凝聚态物理和计算化学领域最常用的方法之一。

电子结构理论的经典方法，特别是Hartree-Fock方法和后Hartree-Fock 方法，是基于复杂的多电子波函数的。密度泛函理论的主要目标就是用电子密度取代波函数做为研究的基本量。因为多电子波函数有 3N 个变量（N 为电子数，每个电子包含三个空间变量），而电子密度仅是三个变量的函数，无论在概念上还是实际上都更方便处理。

虽然密度泛函理论的概念起源于Thomas-Fermi模型，但直到Hohenberg-Kohn定理提出之后才有了坚实的理论依据。Hohenberg-Kohn第一定理指出体系的基态能量仅仅是电子密度的泛函。

Hohenberg-Kohn第二定理证明了以基态密度为变量，将体系能量最小化之后就得到了基态能量。

最初的HK理论只适用于没有磁场存在的基态，虽然现在已经被推广了。最初的Hohenberg-Kohn定理仅仅指出了一一对应关系的存在，但是没有提供任何这种精确的对应关系。正是在这些精确的对应关系中存在着近似（这个理论可以被推广到时间相关领域，从而用来计算激发态的性质[6]）。

密度泛函理论最普遍的应用是通过Kohn-Sham方法实现的。在Kohn-Sham DFT的框架中，最难处理的多体问题（由于处在一个外部静电势中的电子相互作用而产生的）被简化成了一个没有相互作用的电子在有效势场中运动的问题。这个有效势场包括了外部势场以及电子间库仑相互作用的影响，例如，交换和相关作用。处理交换相关作用是KS DFT中的难点。目前并没有精确求解交换相关能 EXC 的方法。最简单的近似求解方法为局域密度近似(LDA)。LDA近似使用均匀电子气来计算体系的交换能（均匀电子气的交换能是可以精确求解的），而相关能部分则采用对自由电子气进行拟合的方法来处理。

GW近似用于计算多体系统中的自能。利用Green函数G与含屏蔽的相互作用W 对体系自能做展开：

GW近似就是截取该展开式的首项：

或者说，利用W的Taylor级数对自能进行展开，GW近似保存了W的最低阶项。

如果把含屏蔽效应的相互作用W替换为纯Coulomb相互作用可以得到一般的自能展开式，这样就是Hartree-Fock交换势，这在涉及多体问题的教材中多有涉及。所以，不严格的说，GW近似描述了一类含屏蔽作用的Hartree-Fock自能。

在固态系统中，含W的展开式比只含纯Coulomb相互作用的体系展开式收敛要快。这是由于媒质的屏蔽作用削弱了Coulomb相互作用，例如，如果把电子放在介质中，由于介质中其他电子的极化，介质中其他点所感受的作用要比纯电子的Coulomb相互作用要小，所以，W和纯Coulomb相互作用比是一个小量，以W

展开的级数收敛应当更快。

[编辑] 支持GW近似的计算软件

•ABINIT - 平面波赝势方法

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•SaX - 平面波赝势方法

•YAMOB - 平面波赝势方法

Hubbard模型

Hubbard模型是使用的一個近似模型，特別固態物理學描述轉折之間舉辦并且绝緣的系統. Hubbard模型，以後名為約翰Hubbard只是互動的微粒最簡單的模型在一個格子，以二個期限在漢密爾頓 (參見例子如下) ：一個運動期限考慮到挖洞 (『賣力』)微粒在格子的站點和包括本地互作用的一個潛在的期限之間。微粒可能二者之一是費米子和在Hubbard的原始的工作或者玻色子，當模型指的二者之一『Bose-Hubbard模型『或『玻色子Hubbard模型』。

Hubbard模型是好略計為微粒在週期性潛力在充足地低溫所有微粒在最低

Bloch帶，只要微粒之間的所有遠程互作用可以被忽略。如果微粒之間的互作用在格子的不同的站點是包括的，模型經常指『延長的Hubbard模型』。

模型在固體最初提議描述電子和從那以後是特別的好處焦點作為一個模型為高溫超導性. 最近， Bose-Hubbard模型用於描述行為ultracold原子設陷井光學格子.

為電子在固體， Hubbard模型在可以被考慮作為改善緊束縛的模型包括仅賣力期限。為強相互作用，它可能給定性地另外行為從緊束縛的模型和正確地預言存在的所謂Mott绝緣體防止變舉辦由強的厭惡在微粒之間。

內容

• 1 理論

• 2 例子： 1D氫原子鏈子

• 3 複雜系統

• 4 參見

• 5 外部鏈接

理論

Hubbard模型根據緊束縛的略計從固態物理學。在緊束縛的略計，電子被觀看作為佔領標準軌道他們的構成原子，『然後跳躍』在原子之間在傳導期間。數學上，這代表，當『賣力缺一不可』或『調動積分式』在鄰居原子之間，可以被觀看作為物理原則創造電子帶水晶材料。然而，更加一般的能帶理論不要考慮電子之間的互作用. 然而，通過公式化傳導根據賣力積分式Hubbard模型能包括所謂的『onsite厭惡』，源於庫侖厭惡在電子之間。這設定了競爭在賣力積分式，是距離和角度的作用在鄰居原子之間和onsite厭惡之間，不是。因此Hubbard模型在確定可能解釋轉折從指揮到绝緣體過渡金屬氧化物當他們被在最近的附近間距的增量加熱，使『賣力積分式降低』到點onsite潛力是統治的。同樣，這在系統可能解釋轉折從指揮到绝緣體例如稀土元素pyrochlores 作為原子數稀土元素金屬增加，因為格子參量增加(或角度在原子之間可能也改變-看見晶體結構)，當稀土元素原子數增加，因而改變賣力積分式的相對重要性與onsite厭惡比較了。

例子： 1D氫原子鏈子

氫原子只有一個電子，在所謂s軌道，可能或者是旋轉()或轉動下來

(). 這條軌道可以被佔領至多二個電子，一與旋轉和一下來(參見Pauli 不相容原理).

現在，考慮氫原子一個1D鏈子。在能帶理論之下，我們會盼望1s軌道形成一條連續的帶，確切地是一半充分的。氫原子1-D鏈子因而被預言是指揮在常規能帶理論之下。

但現在考慮案件，在氫原子之間逐漸增加間距。我們期待鏈子必須成為绝緣體。

表達根據Hubbard模型，另一方面，漢密爾頓現在由二個組分做成。第一個組分是賣力積分式。因為它代表跳躍在原子之間的電子動能賣力積分式由信件t 典型地代表。因為它在電子，代表出現從充電的勢能第二個期限在Hubbard模型是然後本地厭惡，典型地代表由信件U。寫出第二量子化記法， Hubbard 漢密爾頓然後採取形式：