《二次函数》中考总复习PPT课件(用)

三、求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三个普通点，通常设解析 y=ax2+bx+c(a≠0) 式为________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k）和一个普 通点，通常设抛物线解析式为 y=a(x-h)2+k(a≠0) _______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0)和另一个普通点,通常设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) _____________
各种形式的特 征
（4)y=a(x-h)2 (a≠0)
(5)y=a(x-h)2 +k(a≠ 0)
2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最 高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
二次函数的三种解析式
解析式
一般式
使用范围
y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2)
二、二次函数的图象及性质
y
(0,c)
y
b 4ac b 2 2a , 4a
0
(0,c)
x
b 4ac b 2 2a , 4a
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
与x轴交点个数 令x=1，看纵坐标 令x=-1，看纵坐标 令x=2，看纵坐标
令x=-2，看纵坐标
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
2
y
ax c(a 0) 2 ③、 y a ( x h) ( a 0)
②、 y
④、 y ⑤、 y
2
o
x
a( x h) k (a 0)
2
(顶点式) (一般式)
ax bx c(a 0)
2
图象性质:
抛物线 y=ax2+bx+c 的符号问题： （1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a >0 a <0
2
( 7 ) y ( x 2) 3
2
(8) y 0.5 x 2 1
(10) x y 5
2 2
2 (9 ) y x 1 x
1，函数 y ax bx c （其中a、b、c为常 数），当a、b、c满足什么条件时，
2
（1）它是二次函数； （2）它是一次函数； （3）它是正比例函数；
已知任意 三个点
已知顶点（h,k) 及另一点 已知与x轴的 两个交点及另 一个点
顶点式 交点式
巩固训练
求下列条件下的二次函数的解析式: 1.已知一个二次函数的图象经过点 （-2，2），（1，﹣3），（2，﹣8）。 2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3）， 且图象过点（－3，－2）。 3.已知二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(6,0), 并且经过点(2,12)
一、二次函数的定义
定义：一般地，形如y=ax² ＋bx＋c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）的函数叫做______. 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x² ，y=2x² -2/x，y=100-5x² ，y=3x² 2x³ +5,其中是二次函数的有____个。 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ 是二次函数？
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 , 2a 4a b 直线x 2a
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
（2）c 的符号： 由抛物线与 y 轴的交点位置确定:
交点在 x 轴上方 交点在 x 轴下方 经过坐标原点
c>0
c<0
c=0
图象性质:
抛物线 y=ax2+bx+c 的符号问题：
（3）b的符号：由开口方向及对称轴的位置确定： a、b同号 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧 对称轴是 y 轴 a、b异号 b=0 简记为：左同右异 （4）b2-4ac的符号： 由抛物线与 x 轴的交点个数确定: 与 x 轴有两个交点 与 x 轴有一个交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
∴当 m 2 时，是二次函数。
m2 2 1 且 2 m 2 0 m （2）若是反比例函数，则
∴当 m 1 时，是反比例函数。
驶向胜利的彼 岸
小结：
1. 二次函数y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几 种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0).
a 0 时，是二次函数； 当 a 0, b 0 时，是一次函数； 当 a 0, b 0, c 0 时，是正比例函数；
当
驶向胜利的彼 岸
2，函数 y (m m 2) x
2
m2 2
当m取何值时，
（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？ m2 2 2 且 2 m 2 0 m （1）若是二次函数，则
典型例题2. 已知a<0，b>0，c>0，那么抛物线 y=ax2+bx+c的顶点在（A ） A. 第一象限 C. 第三象限 B. 第二象限 D. 第四象限
点击中考:
1.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( B )
2.(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值 y＜0时，对应的x取值范围 是 -3＜x＜1 .
向 下
( h,0 ) x=h
y=a (x-h)+k
( h,k )
当 | a | 的值越大时，抛物线开口越小，函数值 y 变化越快。
当 | a | 的值越小时，抛物线开口越大，函数值 y 变化越慢。
只要a相同，抛物线的形状（开口大小和开口方向）就相同。
点评：二次函数的几种表现形式及图像
①、 y ax ( a 0)
b 4ac b 2 当x 时, y最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
小结：
抛物线 y=ax 2 y=ax 2 +k y=a(x- h)
2 2 开口方向
对称轴
a>0 开 口 向 上
a<0
顶点 坐标
( 0,0 ) 开 y轴(x=0) ( 0,k ) 口
特别注意：在实际问题中画函数的图像时要注意自变量的取值范围，若图像是直线， 则 画图像时只取两个界点坐标来画（包括该点用实心点，不包括该点用空心圈);若是二次 函数的图像，则除了要体现两个界点坐标外，还要取上能体现图像特征的其它一些点
25 1 （—，-—） 3、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________ 4 2 1 x=— 对称轴是_________。 2 1 x=— y 2
练习
1 2 1、二次函数y= 2 x +2x+1写成顶点式为： 1 y= 2 (x+2)2-1 x=-2 (-2，-1) __________，对称轴为_____，顶点为______
2、已知二次函数y= 0 顶点在y轴上，则b=___。
1 2 2 x +bx-5的图象的
3、根据下列条件，求二次函数的解析式。
增减性: 1 当 x 时,y随x的增大而减小
(-2,0) 0
x (3,0) 最值: 1 x 时,y有最 小值,是 25 当 2 4 (1,-6) 函数值y的正负性: 25 1 (0,- （—，-—） 当 x<-2或x>3 时,y>0 4 2 6)
2 1 x 时,y随x的增大而增大 当 2
四、有关a，b，c及b2-4ac符号的确定
a b c 2a+b
开口方向、大小: 向上a>0 向下a<o 对称轴与y轴比较 : 左侧ab同号 右侧ab异号
与y轴交点 : 交于正半轴c>o 负半轴c<0，过原点c=0. -
2a-b
b2-4ac a+b+c a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c
b 与1比较 2a b 与-1比较 2a
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
典型例题1. 如图,是抛物线y=ax 2 +bx+c的图像， 则①a < 0;②b < 0;c > 0;a+b+c < 0; a-b+c > 0;b2-4ac > 0;2a-b = 0;
当 x=-2或x=3
时,y=0
当 -2<x<3
时,y<0
2+bx+c(a≠0)与一 4、二次函数y=ax
次函数y=ax+c在同一坐标系内的大 致图象是（ C ）
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
5、
1 2 3 已知二次函数 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两 点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时， y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
与 x 轴无交点
基础演练
1. 如图,抛物线 y=ax2+bx+c,请判断下列 各式的符号： ①a 0; ②c 0; ③b2 - 4ac 0; ④ b 0;
y
C
O
A
B
x
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
yax22 4 x 3 的图象如图，则 变式2：若抛物线 变式1：若抛物线 y x 3x a 2 1的图象如图，
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值 是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图 象经过点（3，-6）。求a、b、c。
m2 m
- 2χ+1
巩固一下吧！
3、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次 函数？
(3) y 1 2 x
(5) y x x 1
2
3 (1) y x 4
( 2) y x 2
1 ( 4) y 2 x 3 x 2 2 (6) y ( x 1) ( x 1)
△ABC的面积是 则a= .
。
2、下列各图中可能是函数y ax c a 与 y ( a 0, c 0 )的图象的是( ) x
2
A
B
C
√
D
小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得 出字母的取值范围，再去检验这个字母的符号是否适合另一个 图象
25 1 （—，-—） 3、画二次函数y=x2-x-6的图象，顶点坐标是__________ 4 2 1 x=— 对称轴是_________。 2 画二次函数的大致图象:先配成顶点式， 再按照以下步骤画： 1 x=— y 2 ①画对称轴 ②确定顶点 ③确定与y轴的交点 ④确定与x轴的交点 x (-2,0) 0 (3,0) ⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点 ⑥连线 当然，细画抛物线应该按照：列表（在 (1,-6) 自变量的取值范围内列）、描点（要 25 1 (0,- （—，-—） 准）、连线（用平滑的曲线）三步骤来 4 2 6) 画。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x