平面向量中三点共线定理的扩展及其应用

平面向量中三点共线定理的扩展及其应用

广东省云浮市邓发纪念中学 杨再华

一、问题的提出及证明。

1、向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是：

.OA xOB yOC =+

（O 为平面内任意一点）

，其中1x y +=。 那么1x y +<、1x y +>时分别有什么结证？并给予证明。 结论扩展如下：1、如果O 为平面内直线BC 外任意一点，则 当1x y +<时 A 与O 点在直线BC 同侧，1x y +>时， A 与O 点在直线BC 的异侧，证明如下：

设 OA xOB yOC =+

且 A 与B 、C 不共线，延长OA 与直线BC 交于A 1点

设 1

OA OA λ= （λ≠0、λ≠1）A 1与B 、C 共线 则 存在两个不全为零的实数m 、n 1

O A m O B n O

C =+ 且1m n += 则

OA mOB nOC λ=+

m n OA OB OC λ

λ

⇒=+ m

x λ

∴=

、n

y λ

=

1

m n

x y λ

λ

++=

=

（1）1λ> 则 1x y +< 则

1

11OA OA OA λ

=<

∴A 与O 点在直线BC 的同侧（如图[1]） （2）0λ<,则1

01x y λ

+=<<，此时OA 与1OA 反向

A 与O 在直线BC 的同侧（如图[2]） 图[2]

B C

A 1

O

A O

A

1

B

C

A

图[1]

（3）1o λ<<，则1x y +>

此时 11

1OA OA OA λ=>

∴ A 与O 在直线BC 的异侧（如图[3]）

图[3]

2、如图[4]过O 作直线 平行AB ，

延长BO 、AO 、将AB 的O 侧区

域划分为6个部分，并设OP xOA yOB =+

,

则点P 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：

（Ⅰ）区：0001x y x y <⎧⎪>⎨⎪<+<⎩ （Ⅱ）区：0001x y x y >⎧⎪>⎨⎪<+<⎩ （Ⅲ）区：0001x y x y >⎧⎪

<⎨⎪<+<⎩

（Ⅳ）区：0011x y x y >⎧⎪<⎨⎪-<+<⎩ （Ⅴ）区：00x y <⎧⎨<⎩ （Ⅵ）区：0

010

x y x y <⎧⎪

>⎨⎪-<+<⎩

（证明略）

二、用扩展定理解高考题。

（1）[2006年湖南（文）10] 如图[5] OM AB ，点P 在由射线OM ,线段OB 及AB

的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP xOA yOB =+

，则实数对（x 、y ）可以是……（ ） A.（14，34） B.（23-，23） C.（14-，34） D.（15-，7

5）

解：根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则 0x <，且1O x y <+<，则选C

（2）[2006年湖南（理）15] 如图[5]OM AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB

的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+

，则x 的取值

范围是 。当1

2

x =-时，y 的取值范围是 。

解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有：

0x <，且当12x =-，有：1O x y <+<，即113

1222O y y <-+<⇒<<

答案为：0x <，（12，32） A B C A 1

O A

B

O Ⅲ Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅰ Ⅱ M

B A

O

P

图[4]

图[5]