第1讲 等差数列与等比数列

因为{an}是等差数列，且 a1＝1，d≠0， 所以(3d－1)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得 d＝3.
从而 am－an＝(m－n)d＝30.
答案：A
二、填空题
6．(2019·北京卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a2＝－3，
S5＝－10，则 a5＝________，Sn 的最小值为________． 解析：因为 a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10， 所以 a1＝－4，d＝1，
因为 a1，a2＋1，a3 是公差为－3 的等差数列，
a2＋1＝a1－3， 所以
a3＝（a2＋1）－3，
即
a1q－a1＝－4， 解得
a1q2－a1q＝－2，
a1＝8， q＝12.
1 n－1
所以 an＝a1qn－1＝8× 2
＝24－n.
(2)证明：因为bn＋1＝a2n＋2＝1， bn a2n 4
所以数列{bn}是以
C．210－1
D．1－210
解析：由题意得，an＋1＋2an＝0，则aan＋n 1＝－2，即数列是公比为 －2 的等比数列，又 a2＝2，所以 a1＝－1，所以{an}前 10 项的和等于 S10＝a1（11－－qq10）＝－1－3210.
答案：B
3．(2019·惠州一中月考)如果等差数列 a1，a2，…，a8 的各项都
A 级 基础通关
一、选择题
1．(2019·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝ 0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 C．Sn＝2n2－8n
B．an＝3n－10 D．Sn＝12n2－2n
解析：设首项为 a1，公差为 d.
a1＋4d＝5，
a1＝－3，
由
S4＝0，a5＝5
所以 a5＝a1＋4d＝0， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝n－5.
令 an＜0，则 n＜5，即数列{an}中前 4 项为负，a5＝0，第 6 项及 以后为正，
所以 Sn 的最小值为 S4＝S5＝－10.
答案：0 －10
7．数列{an}满足 an＋1＝2aan＋n 1，a3＝15，则 a1＝________．
∈N *)的最小值为( )
A．4
B．3
C．2 3－2
D.9
2
解析：依题意 a23＝a1a13，即(1＋2d)2＝1＋12d，
解得 d＝2.
因此 an＝2n－1，Sn＝n2.
解析：易知 an≠0，且 an＋1＝2aan＋n 1，
所以 1 － 1 ＝2，则 an＋1 an
1 an
是公差为
2
的等差数列．
由 a3＝15，知a13＝5，
所以 1 ＋2×2＝5，则 a1
a1＝1.
答案：1
8．(2019·雅礼中学调研)若数列{an}的首项 a1＝2，且 an＋1＝3an ＋2(n∈N*)．令 bn＝log3(an＋1)，则 b1＋b2＋b3＋…＋b100＝________．
答案：B
4．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0.若 a2，
a3，a6 成等比数列，则{an}的前 6 项和为( )
A．－24
B．－3
C．3
D．8
解析：由已知条件可得 a1＝1，d≠0，
由 a23＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，
解得 d＝－2 或 d＝0(舍去)．
可得
解得 4a1＋6d＝0，
d＝2.
所以 an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝n×(－3)＋n（n2－1）×2＝n2－4n.
答案：A
2．(2019·长郡中学联考)已知数列{an}满足，an＋1＋2an＝0，且 a2
＝2，则{an}前 10 项的和等于( )
A.1－210 3
B．－1－210 3
b1＝a2＝4
为首项，1为公比的等比数列． 4
所以
4 Sn＝
1 1－ 4 1－1
n
＝136·
1－
1 4
n
＜136.
4
B 级 能力提升
11．(2019·广州调研)已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1，a3，
a13
成等比数列，若
a1＝1，Sn
是数列{an}的前
n
பைடு நூலகம்
项和，则2Sn＋16(n an＋3
解析：由 an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知 an＋1＋1＝3(an＋1)， 所以{an＋1}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，
所以 an＋1＝3n，an＝3n－1. 所以 bn＝log3(an＋1)＝n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b100＝100（1＋ 2 100）＝5 050. 答案：5 050 三、解答题 9．(2019·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S9＝ －a5. (1)若 a3＝4，求{an}的通项公式； (2)若 a1＞0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围． 解：(1)设{an}的公差为 d. 由 S9＝－a5 得 a1＋4d＝0. 由 a3＝4 得 a1＋2d＝4. 于是 a1＝8，d＝－2. 因此{an}的通项公式为 an＝10－2n. (2)由(1)得 a1＝－4d，故 an＝(n－5)d， Sn＝n（n－2 9）d. 由 a1＞0 知 d＜0，故 Sn≥an 等价于 n2－11n＋10≤0， 解得 1≤n≤10，所以 n 的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}． 10．已知数列{an}是等比数列，并且 a1，a2＋1，a3 是公差为－3 的等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝a2n，记 Sn 为数列{bn}的前 n 项和，证明： Sn＜136. (1)解：设等比数列{an}的公比为 q，
大于零，公差 d≠0，则( )
A．a1＋a8＞a4＋a5
B．a1a8＜a4a5
C．a1＋a8＜a4＋a5
D．a1a8＞a4a5
解析：由 a1＋a8＝a4＋a5，所以排除 A、C. 又 a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a21＋7a1d， 所以 a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a21＋7a1d＋12d2＞a1·a8.
所以 S6＝6×1＋6×5×（ 2 －2）＝－24.
答案：A
5．(2019·佛山一中检测)已知公差 d≠0 的等差数列{an}满足 a1＝
1，且 a2，a4－2，a6 成等比数列，若正整数 m，n 满足 m－n＝10，
则 am－an＝( )
A．30
B．20
C．10
D．5 或 40
解析：由题设得(a4－2)2＝a2a6.