考点16 三角函数性质(讲解)(解析版)

sin(x ) 3 cos(x ) sin(x ) 3 cos(x ) ，
考点五：奇偶性
1．已知函数 f x sin 2x ， 0, 是偶函数，则 ______.
【答案】
2
【解析】因为 f x 为偶函数,故当 x 0 时, f x 取得最大或最小值.即 2 0 k , k Z .
2
即 k , k Z .又 0, ,故 .故答案为：
1 4k 5 2k, k Z ， 0 ， 1 5 ．
2
4
2
4
5．若 f x cos x 3 sin x 在 a, a上是减函数,则实数 a 的取值范围是
。
【答案】
0,
π 3
【解析】
f
x
2
cos
x
3
，令
2k
x
3
2k
，解得函数的单调减区间为
2k
3
, 2k
2 3
2
4
4
6．已知 f x
2
cos
x
3 4
且
1 2
，
xR
，若
f
x 的任何一条对称轴与
x
轴交点的横坐标都
不属于区间 3 , 4 ，则 的取值范围是
。
【答案】[ 7 , 11][11 ,15] 12 16 12 16
【解析】 f x
2
cos
x
3 4
2
cos
2
x
4
2
sin
x
4
cosx
1
sin2 x cos2 x
sinxcosx cos2 x sin2 x
1 2
sin2x
1
tan 2 x
，
cos2x 2
f x 的最小正周期为
2
考点二：定义域
1．函数 y 2 cos 2x 1 的定义域是
。
【答案】 x
k
x
k
,k
Z
3
3
【解析】由题意可得 2 cos 2x 1 0 cos 2x 1 2k 2 2x 2k 2 k Z ，
2
sin
2x
4
2
sin
2x
4
2
sin
2
x
4
f
x ，所以，函数 y
sin 2x cos 2x
的最小正周期不是
.
因此，（1）（2）中的函数的最小正周期为 .
6．已知函数
f
x
tanx 1 tan2 x
，则函数
f
x 的最小正周期为
。
【答案】
2
sinx
【解析】
f
x
tanx 1 tan2 x
6
,
0
k
Z
，对称轴为直线
x
12
k 2
k Z ，令 k
1，可知函数
y
sin
2x
3
图象的一个对称中心坐标为
3
,
0
，故选
A.
2．函数 f (x) sin 2x 3 cos 2x 的对称中心坐标为
。
【答案】
6
k 2
,
0
(k
Z
)
【解析】 f (x) sin 2x
3
cos
2x
②函数 y cos 2 x 的图像是将 y cos 2x 的图像在 x 轴下方的全部对称到 x 轴上方，而函数 y cos 2x 的
周期为
，故函数
y
cos 2 x
的最小正周期为
，故②不满足题意；
2
③函数
y
2
sin
2x
3
的周期为 T
2 2
，故③满足题意；
④函数
y
2
tan
x
10
的周期为
f
3
2
4．已知 f x sin x 3 cos x 是偶函数,则所有满足条件的 的值组成的集合为______
【答案】
k
,
k
Z
6
【解析】∵ f (x) 是偶函数，∴ f (x) f (x) ，
即 sin(x ) 3 cos(x ) sin(x ) 3 cos(x ) sin(x ) 3 cos(x ) ，
6
3．已函数
y
f
(x) cos x 是奇函数，且
f
3
1，则
f
3
。
【答案】-2
【解析】根据题意，设 g(x) f (x) cos x ，则 g(x)奇函数，所以 g(x)+g(-x)=0，
则：
g( )
3
g(
3
)
0, 则f
() 3
cos 3
f
(
3
)
cos(
3
)
0
，即
。
1
【答案】
2
【解析】由 y
tan x
的最小正周期为 ，所以 y
tan x
的最小正周期为 T
2 ，所以 1 . 2
3．在下列四个函数，① y
sin x
②
y
cos 2 x
③
y
2
sin
2
x
3
④
y
2
tan
x
10
中，最小正周
期为 的所有函数为
。
【答案】①③④
【解析】①函数 y sin x 的图像是将 y sin x 的图像在 x 轴下方的全部对称到 x 轴上方，故函数 y sin x 的最小正周期为 ，故①满足题意；
T
，故④满足题意；
4．函数
y
cos
2
x
4
sin
2
x
4
的最小正周期为
。
【答案】
2
【解析】因为 y
cos2
x
4
sin
2
x
4
cos
2x
2
sin 2x
，
又 y sin 2x 的最小正周期为 T 2 ，函数 y sin 2x 的图像是将 y sin 2x 图像在 x 轴下方的部分翻
2
sin
2x
3
令2x
3
k , x
6
k 2
,k
Z
.故对称中心为
6
k 2
,
0
(k
Z)
3．若函数
f
(x)
sin(2x
)(
0)
的图象关于点 3
,
0
对称，则
的最小值为
。
【答案】
3
【解析】由 f(x)＝sin（2x+φ），令 2 +φ＝kπ，（k∈z）得：φ k 2 ，（k∈z）
Z
．
3．求函数 y | sin x | cos x 的定义域
。
【答案】 4
2k , 7 4
2k
，kZ
【解析】由题
|
sin
x
|
cos
x
0
即
sin sin
x x
0 cos
x
0
或
sin x sin
x
0
cos
x
0
，
解得 2k x 2k 7 , k Z
4
4
4．函数 f (x) x ln(sin x cos x) x 2 的定义域为
（3）sin 4
2 ， sin
2
4
sin
4
sin
4
2 ，sin
2
4
sin ， 4
所以，函数 y sin x 不是以 为最小正周期的函数；
（4） y sin 2x cos 2x
2 sin
2x
4
，设
f
x
2
sin
2x
4
，
f
x
2
Leabharlann Baidu
2
sin
2
x
2
4
2
折到 x 轴上方，因此函数
y
sin 2x
的最小正周期为：
.
2
5．给出四个函数（1） y 3 sin x cos x 3 cos x sin x ；（2） y sin4 x cos4 x ；（3） y sin x ；
（4） y sin 2x cos 2x .其中最小正周期为 的函数个数为 。
3 4
,
4
，
2．函数
y
sin
4
2x
的单调递减区间为
。
【答案】
k
8
, k
3 8
(k
Z)
【解析】
y
sin
4
2x
sin
2x
4
，
令 2k 2x 2k ， k Z ，解得 k x 3 k ， k Z ．
2
42
8
8
故函数的单调递减区间为：
k
8
, k
3 8
,
π 2
,又
y
cos
x
在[π,0] 上单调递增,且
π 3
[π, 0],
所以
π 3
π 3
,
π 2
π 3
[π, 0]
,则
π 2
π 3
π 3
π 3
0
π
,即
2 2 3
,故
0
2 3
.
0
0
考点四：对称性
1．函数
y
sin
2
x
3
的图象
。
A．关于点
3
,
0
对称
B．关于直线 x 对称 4
【答案】2
【解析】（1） y 3 sin x cos x
3 cos x sin x
2 sin
x
6
2
cos
x
6
2 sin
2x
3
，
该函数的最小正周期为 2 ； 2
（2） y sin4 x cos4 x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x cos 2x ，该函数的最小正周期为 2 ； 2
C．关于点
4
,
0
对称
D．关于直线 x 对称 3
【答案】A
【解析】对于函数
y
sin
2
x
3
，令 2x 3
k
k
Z ，得
x
k 2
6
，kZ ，
令 2x k k Z ，得 x k ， k Z ，
32
12 2
所以，函数
y
sin
2
x
3
的图象的对称中心坐标为
k 2
故
2
k
x
2
k
,k
Z
，解得：
4
k
x
2
k , k
Z
，
所以函数 y
tan
x
1
的单调递增区间是
k
4
,
k
2
k
Z
，
4．已知
0
，函数
f
(x)
sin(
x
)
在
(
,
)
上单调递减，则
的取值范围是
。
42
【答案】[ 1 , 5 ] 24
【解析】由题意可得,
2k
3
2k , k Z
，
2
24
42
2
2
2
2．已知 f (x) sin(2x ),
,
2
2
，且
f
x
6
为偶函数，则φ=________.
【答案】 6
【解析】
f
(x)
sin(2x
)
f
x
6
sin
2
x
6
s in 2x
3
又因为
f
x
6
为偶函数
3
k
2
，kZ
k
5 6
，kZ
2
,
2
6
故答案为：
(k
Z)
3．函数 y tan x 1 的单调递增区间是
。
【答案】
k
4
,
k
2
k
Z
【解析】根据复合函数单调性的判断规律， y t 在其定义域内是单调增函数，且 t tan x 1在其定义域
内也只有单调递增区间，故转化为求 y tan x 1的单调增区间并且 tan x 1 0 ，
tan x 1 0
3
3
又φ＞0，所以 k=1 时则φmin ， 3
4．已知函数 f x 2
3 cos2
2
x
7 12
sin
4x
6
，则
f
x 的图象的对称中心为
。
【答案】
k 4
8
,
3
k
Z
【解析】 f x
3
1
cos
4
x
7 6
sin
4
x
6
3
3
cos
4x
6
sin
4x
6
3
2
cos
2
11 11
可得函数 f x 的图像的对称轴为： x 16 k 12 k Z ，
11 11
当 k 1时，对称轴为 x 16 12 2 ， 11 11
当 k 2 时，对称轴为 x 44 4 ， 11
满足条件： 任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间 3 , 4 .
，（
1 2
，
x
R
），
若 f x 的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间 3 , 4 ，
T
则
2
4
3
，
1 ，即
1 2
1，故排除
A、C，
当 11 时， f x
16
2
sin
11 16
x
4
，
令 11 x k ，求得 x 16 k 12 k Z ，
16 4
。
【答案】
7 4
,
3 4
4
,
sin x cos x 【解析】由 x 0,
x 2 0,
0, 2k 得4 2 x
x ,
5 4
2k
,
k
Z,
故
x
7 4
, 3 4
4
,
.
考点三：单调性
1．函数
y
sin
x
4
的一个单调递减区间是
。
A．
2
,
3 2
B．
4
,
5 4
C．
2
,
2
D．
3 4
,
4
【答案】D
【解析】函数
y
sin
x
4
的单调递减区间，与
y
sin
x
4
单调递增区间相同
所以 2k x 2k ， k Z ，解得 3 2k x 2k ， k Z ，
2
42
4
4
k
0 时， 3 4
x
4
，所以
y
sin
x
4
的一个单调递减区间是
4
x
6
6
3 2 cos 4x
令 4x k k Z ，得 x k k Z
2
48
则
f
x
的图象的对称中心为
k 4
8
,
3
k
Z
.
5．函数
f
x
cos x sin x 1 2 cos2 x
的一个对称中心为
。
【答案】 ( k , 0) k Z
4
【解析】由 2x k k Z , x k k Z ，对称中心为 ( k , 0) k Z .
2
3
3
解得 k x k k Z .
3
3
2．函数
y
3tan
2x
π 4
的定义域是
。
【答案】
x
|
x
k 2
π
π 8
,k
Z
【解析】要使函数有意义，则 2x π kπ π ， k Z ，即： x k π π ， k Z ，
4
2
28
则函数的定义域为
x
|
x
k 2
π
π 8
,k
,k
Z
,由题意知
3
a
a
2 3
, 0
a
3
6．已知函数
f
(x)
2
cos
x
3
(
0)
在
3
,
2
上单调递增，则
的取值范围
。
【答案】
0,
2 3
【解析】由 π x π ,可得 π π x π π π ,
3
2
33
32 3
x
0
时,
f
(0)
2 cos
π 3
,而
0
π 3
【思维导图】
考点 16 三角函数性质
【常见考法】
考点一：周期
1．函数
f
(x)
cos2
x
3
的最小正周期为
。
【答案】
【解析】因为
f
(x)
cos2
x
3
cos
2
x
2
2 3
1
1 2
cos
2x
2 3
1 2
，所以最小正周期为
.
2．函数 y tanx （其中 0 ）的最小正周期是 2 ，则