积分因子及其应用
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第２ 卷 第 ２ ４ 期 ２１ ０ ０年 ３月
湖
南
工
业
大
学
学
报
Ｖｏ ．４ＮＯ ２ １ ． ２ Ｍ ａ ．２ ０ ｒ ０１
Ｊ ｕ ａ ｆＨｕ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｆ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ ｒ ｌ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒｉ ｏ ｈ ｏ ｏ ｙ ｎ ｏ ｙ Ｔｅ
积分 因子及其 应用
存在唯一的连续解 （ ， ＝ 定义在区间 一 ，＋ ］ ） 【 ｈ ０ｈ， ｘ
且 满 足初 始条 件 ，这里
定理 ４ 设 函数Ｙ＝ 满 足如下微 分不等 式 ： （）
Ｙ＋ （） ０ （ ０ ， 口 ｘ ）
（） ２
＝ｎ 击， Ｉ， ｍ口 １ ＞ ｉ， Ｍ ｆ 。
分 必要 条件 是 （，） Ｙ 满足 一 阶偏 微 分方程 ：
Ⅳ 一 ＝
此形 式 称 为一 阶对 称形 式 的微 分 方程 。
ｆ 一
如果对称 形式 的方 程 （ １）的左 端恰好是某 个二元 函数 ｕｘ Ｙ 的全 微分 ，则称该 方程 为恰 当方 程 。 （， ）
定理 ３ １ ）方程 （ ）有只与 有关 的积 分因子的 １ 充 分必 要 条件 是 ：
Ｅ ｍａ１ ｉ ８ ８ ８ ＠ ｖ ｌ ｏｃ ｍ ．ｎ ． ｌ ：ｃｍ８ ８ ８ ８ ａ１ ．ｏ ｃ ｏ
１ ４
湖
பைடு நூலகம்
南
工
业
大
学
学 报
２１ ００钽
此 时 ，积分 因子 为 ：
（） ｅ ‘ 。 ＝
｛ ｆ ｙ 貔 （ ｘ
ｏ
）Ｙ ＝ｏ
㈩
３ 积 分 因 子 的应 用
３ １ 证 明微分 不等 式 ．
证 明 （ 理 ６的唯一性部分 ） 设 ＝ 和 定 （）
￣（－０ｐ （ｓ （ Ｕ ） （ｘ一 ）ｘＯ ９ － ） （口ｄ 。 ｘ９ ｏ ） ａ ）
陈 吉 美
（ 国防科 学技术大学 理学院 ，湖南 长沙 ４ ０ ７ １０ ３）
摘 要 ：在 介 绍 了恰 当方程 与积 分 因子的概 念 以及相 关定理 的基础 上 ，通过 对积分 因子 的研 究 ，给 出了一 类微 分 不等 式的证 明 ，并给 出了 Ｐ ｃ ｒ ｉａ ｄ定理唯 一性 的 另一种证 明 方法 。 关键 词 ：恰 当方 程 ；积 分 因子 ；不等 式 中图分类号 ： ７ ． Ｏ１５６ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： ６ ３ ９ ３ （０ ００ — ０ ３ ０ １７ — ８ ３２ １ ）２０ １— ２
２ 方程 （ 有只 有关的 ） ’ 与ｙ 积分因 充分必要 子的
如对方（在区内 ， 方 件： 一 ）（ 果于程１某域 ） ≠ 此 条是 ［ －＝ 时 ） ，
一
ｏ， ９
（ Ｍ
、
收稿 日期 ：２ ０ － ８ ２ ０９０－ １
通信 作者 ：陈吉美 （ ９ ３ ，男 ，湖南汉寿人 ，国防科学技 术大学副教授 ，主要从 事微 分动力系统方 面的教学与研 究 ， １ ６ －）
Ｋ ｅ ｗｏ ｄ ：ｅ ｃ ｑ ａｉ ｎ；ｉ ｔ ｇ ａｉ ｇｆ ｃ ｏ ；ｉ ｅ ｕ￣ｉ ｙ ｒｓ ｘａ ｔｅ ｕ ｔ ｏ ｎ ｅ ｒｔｎ ａ ｔｒ ｎ ｑ ｔ ｙ
积分 因子是一 阶微分 方程 的重 点与难点 Ｈ ，如果
程 （ １）就称 为非恰 当方程 。对 于非 恰 当方程 ，如果存
能 够灵 活运 用 积 分 因子 ，就会 求 解 一类 非恰 当方 程 。 本 文讨论 积分 因子 的另外 ２种应用 与积分 因子的概 念 。
在 某连 续可 微 的 函数 （，） Ｙ ≠０，使 得
（，） ｘｙｄ ＋ ｙＮ ｘ ） ＝ 为恰当方程， ｙ Ｍ（ ） （ ） （， ０ ， ｘ ，
Ｉ ｔ ｇ ａ ｉ ｇ Ｆａ ｔ ｒ ｎ ｔ ｐ ｉ ａｉ ｎｓ ｎ ｅ ｒ ｔｎ ｃ ｏ ｓａ ｄ ＩｓＡｐ ｌｃ ｔ ｏ
Ｃｈ ｎＪｍ ｅ ｅ ｉ ｉ
（ ｃ ｏ ｌ ｆＳ ｉｎ ｅ Ｓ ｈ ｏ ｃｅ ｃ ，Ｎａｉｎ ｌ ｉｅｓｔ ｆ ｆｎ ｅＴ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｔ ａ ｖ ｒｉ ｏ ｅ ｓ ｅ ｈ ｏｏ ｙ，Ｃｈ ｎ ｓａ４１ ０ ３，Ｃｈｎ ｏ Ｕｕ ｙ Ｄｅ ａｇｈ ０７ ｉａ）
Ａｂｓｒ ｃ ：Ｂａ ｅ ｎｉ ｔｏ ｕ ｔ ｎ ｏ ｅｃ ｎ ｅ ｓａ ｄ ｒ ｌｔｄｔ ｅ ｒ ｍ ｆｅ ａ ｔ ｑ ａ ｉ ｎ ｎ ｔ ｇ ａｉ ｇｆ ｃｏ ｓ ｔｒ ｕ ｈ ｔａ ｔ ｓ ｄ ｏ ｎｒ ｄ ｃｉ ｆ ｈ ｏ ｃ ｐｔ ｎ ｅａｅ ｏ ｅ ｏ ｘ ｃ ｕ ｔｏ ｓａ ｄ ｉ ｅ ｒｔｎ ａ ｔ ｒ ，ｈ ｏ ｇ ｏ ｔ ｈ ｅ ｎ
定理 １ 假设 函数 Ｍ（ ， ） Ｎ（ ，） ｘＹ 和 ｘ Ｙ 在某 区域 内连
续可微 ，则方程 （ 是恰 当方程 的充分必要 条件是在 １）
ＩＯ Ｍ一 （
此 时 ，积分 因子 为． ＝ｅ ¨ 。 “ ） （
此 域 恒 ｄ 立 区 内 有ｃ兰 。 『 掣成 Ｖ
２ 积 分 因 子
ａ ｓｕ ｙ ｏ ｔ ｇ ａ ｉ ｇ ｆ ｃ ｏ ｓ ｐ ｏｖ ｓａ ｃａ ｓｏ ｆｅ ｅ ｔａ ｎ ｑ ｌｔｅ ｎ ｒ ｓ ｎ ｓａｎｅ ｕ ｉ ｅ ｓ ｒ ｏ ｏ ｉ ａ ｄＳ ｔ ｄ ｆｉ ｅ ｒ ｔｎ ａ ｔ ｒ ， ｒ ｅ ｌ ｓ ｆｄｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌｉ ｅ ｕａｉｉ ｓａ ｄ ｐ ｅ ｅ ｔ ｗ ｎ ｑｕ ｎｅ ｓｐ ｏ ｆｆ ｒＰ ｃ ｒ ’ ｎ ｈ ｏｅ ｔｅ ｒｍ．
则称 ｕ ｘＹ 为方 程 （ （，） １）的 １ 个积分 因子 。
定 理 ２ 函数 ｕ ｘ Ｙ 是方程 （ （， ） １）的积分 因子的充
１ 恰 当方 程 的 概 念 与 判 定
若将 一 阶显 式 微分 方 程写 成 微分 形式
Ｍ（， ）ｘ Ｎ（， ）ｙ ０， ｘ ｙｄ ＋ ｘ ｙｄ ＝ （ １）
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积分 因子及其 应用
存在唯一的连续解 （ ， ＝ 定义在区间 一 ，＋ ］ ） 【 ｈ ０ｈ， ｘ
且 满 足初 始条 件 ，这里
定理 ４ 设 函数Ｙ＝ 满 足如下微 分不等 式 ： （）
Ｙ＋ （） ０ （ ０ ， 口 ｘ ）
（） ２
＝ｎ 击， Ｉ， ｍ口 １ ＞ ｉ， Ｍ ｆ 。
分 必要 条件 是 （，） Ｙ 满足 一 阶偏 微 分方程 ：
Ⅳ 一 ＝
此形 式 称 为一 阶对 称形 式 的微 分 方程 。
ｆ 一
如果对称 形式 的方 程 （ １）的左 端恰好是某 个二元 函数 ｕｘ Ｙ 的全 微分 ，则称该 方程 为恰 当方 程 。 （， ）
定理 ３ １ ）方程 （ ）有只与 有关 的积 分因子的 １ 充 分必 要 条件 是 ：
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此 时 ，积分 因子 为 ：
（） ｅ ‘ 。 ＝
｛ ｆ ｙ 貔 （ ｘ
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３ 积 分 因 子 的应 用
３ １ 证 明微分 不等 式 ．
证 明 （ 理 ６的唯一性部分 ） 设 ＝ 和 定 （）
￣（－０ｐ （ｓ （ Ｕ ） （ｘ一 ）ｘＯ ９ － ） （口ｄ 。 ｘ９ ｏ ） ａ ）
陈 吉 美
（ 国防科 学技术大学 理学院 ，湖南 长沙 ４ ０ ７ １０ ３）
摘 要 ：在 介 绍 了恰 当方程 与积 分 因子的概 念 以及相 关定理 的基础 上 ，通过 对积分 因子 的研 究 ，给 出了一 类微 分 不等 式的证 明 ，并给 出了 Ｐ ｃ ｒ ｉａ ｄ定理唯 一性 的 另一种证 明 方法 。 关键 词 ：恰 当方 程 ；积 分 因子 ；不等 式 中图分类号 ： ７ ． Ｏ１５６ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： ６ ３ ９ ３ （０ ００ — ０ ３ ０ １７ — ８ ３２ １ ）２０ １— ２
２ 方程 （ 有只 有关的 ） ’ 与ｙ 积分因 充分必要 子的
如对方（在区内 ， 方 件： 一 ）（ 果于程１某域 ） ≠ 此 条是 ［ －＝ 时 ） ，
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收稿 日期 ：２ ０ － ８ ２ ０９０－ １
通信 作者 ：陈吉美 （ ９ ３ ，男 ，湖南汉寿人 ，国防科学技 术大学副教授 ，主要从 事微 分动力系统方 面的教学与研 究 ， １ ６ －）
Ｋ ｅ ｗｏ ｄ ：ｅ ｃ ｑ ａｉ ｎ；ｉ ｔ ｇ ａｉ ｇｆ ｃ ｏ ；ｉ ｅ ｕ￣ｉ ｙ ｒｓ ｘａ ｔｅ ｕ ｔ ｏ ｎ ｅ ｒｔｎ ａ ｔｒ ｎ ｑ ｔ ｙ
积分 因子是一 阶微分 方程 的重 点与难点 Ｈ ，如果
程 （ １）就称 为非恰 当方程 。对 于非 恰 当方程 ，如果存
能 够灵 活运 用 积 分 因子 ，就会 求 解 一类 非恰 当方 程 。 本 文讨论 积分 因子 的另外 ２种应用 与积分 因子的概 念 。
在 某连 续可 微 的 函数 （，） Ｙ ≠０，使 得
（，） ｘｙｄ ＋ ｙＮ ｘ ） ＝ 为恰当方程， ｙ Ｍ（ ） （ ） （， ０ ， ｘ ，
Ｉ ｔ ｇ ａ ｉ ｇ Ｆａ ｔ ｒ ｎ ｔ ｐ ｉ ａｉ ｎｓ ｎ ｅ ｒ ｔｎ ｃ ｏ ｓａ ｄ ＩｓＡｐ ｌｃ ｔ ｏ
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Ａｂｓｒ ｃ ：Ｂａ ｅ ｎｉ ｔｏ ｕ ｔ ｎ ｏ ｅｃ ｎ ｅ ｓａ ｄ ｒ ｌｔｄｔ ｅ ｒ ｍ ｆｅ ａ ｔ ｑ ａ ｉ ｎ ｎ ｔ ｇ ａｉ ｇｆ ｃｏ ｓ ｔｒ ｕ ｈ ｔａ ｔ ｓ ｄ ｏ ｎｒ ｄ ｃｉ ｆ ｈ ｏ ｃ ｐｔ ｎ ｅａｅ ｏ ｅ ｏ ｘ ｃ ｕ ｔｏ ｓａ ｄ ｉ ｅ ｒｔｎ ａ ｔ ｒ ，ｈ ｏ ｇ ｏ ｔ ｈ ｅ ｎ
定理 １ 假设 函数 Ｍ（ ， ） Ｎ（ ，） ｘＹ 和 ｘ Ｙ 在某 区域 内连
续可微 ，则方程 （ 是恰 当方程 的充分必要 条件是在 １）
ＩＯ Ｍ一 （
此 时 ，积分 因子 为． ＝ｅ ¨ 。 “ ） （
此 域 恒 ｄ 立 区 内 有ｃ兰 。 『 掣成 Ｖ
２ 积 分 因 子
ａ ｓｕ ｙ ｏ ｔ ｇ ａ ｉ ｇ ｆ ｃ ｏ ｓ ｐ ｏｖ ｓａ ｃａ ｓｏ ｆｅ ｅ ｔａ ｎ ｑ ｌｔｅ ｎ ｒ ｓ ｎ ｓａｎｅ ｕ ｉ ｅ ｓ ｒ ｏ ｏ ｉ ａ ｄＳ ｔ ｄ ｆｉ ｅ ｒ ｔｎ ａ ｔ ｒ ， ｒ ｅ ｌ ｓ ｆｄｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌｉ ｅ ｕａｉｉ ｓａ ｄ ｐ ｅ ｅ ｔ ｗ ｎ ｑｕ ｎｅ ｓｐ ｏ ｆｆ ｒＰ ｃ ｒ ’ ｎ ｈ ｏｅ ｔｅ ｒｍ．
则称 ｕ ｘＹ 为方 程 （ （，） １）的 １ 个积分 因子 。
定 理 ２ 函数 ｕ ｘ Ｙ 是方程 （ （， ） １）的积分 因子的充
１ 恰 当方 程 的 概 念 与 判 定
若将 一 阶显 式 微分 方 程写 成 微分 形式
Ｍ（， ）ｘ Ｎ（， ）ｙ ０， ｘ ｙｄ ＋ ｘ ｙｄ ＝ （ １）