??=∈D
dxdy y x f D Y X P ,),(}),{(
则称ξ为连续型随机向量；并称f(x,y)为ξ=（X ，Y ）的分布密度或称为X 和Y 的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≥0; （2）
??
+∞∞-+∞
∞
-=.1),(dxdy y x f
（2）二维随机变量的本质 )(),(y Y x X y Y x X =====I ξξ
（3）联合分布函数
设（X ，Y ）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
},{),(y Y x X P y x F ≤≤=
称为二维随机向量（X ，Y ）的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件
})(,)(|),{(2121y Y x X ≤<-∞≤<-∞ωωωω的概率为函数值的一个实值函
数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1）;1),(0≤≤y x F
（2）F （x,y ）分别对x 和y 是非减的，即
当x 2>x 1时，有F （x 2,y ）≥F(x 1,y);当y 2>y 1时，有F(x,y 2) ≥F(x,y 1); （3）F （x,y ）分别对x 和y 是右连续的，即
);0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F
（4）.1),(,0),(),(),(=+∞+∞=-∞=-∞=-∞-∞F x F y F F （5）对于，，2121y y x x <<
0)()()()(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F ，，，，.
（4）离散
型与连续型的关系
dxdy y x f dy y Y y dx x X x P y Y x X P )()()(，，，≈+≤<+≤<≈==
（5）边缘分布
离散型 X 的边缘分布为
),2,1,()(Λ====∑?j i p x X P P ij j
i i ；
Y 的边缘分布为
),2,1,()(Λ====∑?j i p y Y P P ij i
j j 。
连续型 X 的边缘分布密度为
?+∞
∞
-=；dy y x f x f X ),()(
Y 的边缘分布密度为
.),()(?
+∞∞
-=dx y x f y f Y
（6）条件分布
离散型
在已知X=x i 的条件下，Y 取值的条件分布为
；
?=
==i ij i j p p x X y Y P )|( 在已知Y=y j 的条件下，X 取值的条件分布为
,)|(j
ij j i p p y Y x X P ?=
==
连续型
在已知Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为
)
()
,()|(y f y x f y x f Y =
； 在已知X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为
)
()
,()|(x f y x f x y f X =
（7）独立性
一般型 F(X,Y)=F X (x)F Y (y)
离散型
j i ij p p p ??=
有零不独立
连续型
f(x,y)=f X (x)f Y (y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
,121
),(2222121211221))((2)1(21
2
???
?
???????
?
?
?-+---???? ??---
-=
σμ
σσμμρσμρρ
σπσy y x x e
y x f
ρ＝0
随机变量的函数
若X 1,X 2,…X m ,X m+1,…X n 相互独立， h,g 为连续函数，则： h （X 1，X 2,…X m ）和g （X m+1,…X n ）相互独立。
特例：若X 与Y 独立，则：h （X ）和g （Y ）独立。 例如：若X 与Y 独立，则：3X+1和5Y-2独立。
均匀分布
???
???
?∈=其他
,0),(1),(D
y x S y x f D
其中S D 为区域D 的面积，则称（X ，Y ）服从D 上的均匀分布，记为（X ，Y ）～U （D ）。
例如图3.1、图3.2和图3.3。
y
1
D 1 O 1
x
图3.1
y
1
O
2 x
图3.2
y d
c
O a b x
图3.3
D 2
1
D 3
正态分布
,121
),(2222121211221))((2)1(21
2
???
?
???????
?
?
?-+---???? ??---
-=
σμ
σσμμρσμρρ
σπσy y x x e
y x f
其中1||,0,0,21,21<>>ρσσμμ是5个参数，则称（X ，Y ）服从二维正态分布，
记为（X ，Y ）～N （).,,,2
221,21ρσσμμ
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即X ～N （).(~),,2
2,2211σμσμN Y
但是若X ～N （)(~),,22,2211σμσμN Y ，(X ，Y)未必是二维正态分布。
（10）函数
分布
Z=X+Y
根据定义计算：)()()(z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=
对于连续型，f Z (z)＝
dx x z x f ?+∞
∞
--),(
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（2
22
121,σσμμ++）。 n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
∑=i
i i C μμ， ∑=i
i i C 222σσ
Z=max,min(
X 1,X 2,…X n )
若n X X X Λ21,相互独立，其分布函数分别为
)()()(21x F x F x F n x x x Λ，，则Z=max,min(X 1,X 2,…X n )的分布
函数为：
)()()()(21max x F x F x F x F n x x x Λ?=
)](1[)](1[)](1[1)(21min x F x F x F x F n x x x --?--=Λ
2χ分布 设n 个随机变量n X X X ,,,21Λ相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和
∑==n
i i X W 1
2
的分布密度为
???????<≥??? ??Γ=--.
0,
0,
0221
)(2122u u e u n u f u n n
我们称随机变量W 服从自由度为n 的2
χ分布，记为W ～)(2
n χ，
其中
.20
12dx e x n x
n
-∞+-?=??? ??Γ 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
2χ分布满足可加性：设
),(2i i n Y χ-
则
).(~211
2k k
i i n n n Y Z +++=∑=Λχ
t 分布 设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，且
),(~),1,0(~2n Y N X χ
可以证明函数
n
Y X T /=
的概率密度为
2
121221)(+-
???
? ?
?+??
?
??Γ?
?? ??+Γ=n n t n n n t f π
).(+∞<<-∞t
我们称随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，记为T ～t(n)。
)()(1n t n t αα-=-
F 分布
设)(~),(~22
12n Y n X χχ，且X 与Y 独立，可以证明
2
1
//n Y n X F =
的概率密度函数为 ???
?
?
????<≥???
? ??+???
?
????? ??Γ??? ??Γ???
??+Γ=+-
-0
,00
,1222)(2
2112
2
2
121212
111y y y n n y n n n n n n y f n n n n
我们称随机变量F 服从第一个自由度为n 1，第二个自由度为n 2的F 分布，记为F ～f(n 1, n 2).
)
,(1
),(12211n n F n n F αα=
-
第四章 随机变量的数字特征
（1）一维随机变量的数字特征
离散型
连续型
期望
期望就是平均值
设X 是离散型随机变量，其分布律为P(k x X =)＝p k ，k=1,2,…,n ，
∑==n
k k k p x X E 1
)(
（要求绝对收敛）
设X 是连续型随机变量，其概率密
度为f(x)，
?+∞
∞
-=
dx x xf X E )()(
（要求绝对收敛）
函数的期望
Y=g(X)
∑==n
k k k p x g Y E 1
)()(
Y=g(X)
?+∞
∞
-=
dx x f x g Y E )()()(
方差
D(X)=E[X-E(X)]2
， 标准差
)()(X D X =σ，
∑-=k
k k p X E x X D 2)]([)(
?+∞
∞
--=dx x f X E x X D )()]([)(2
矩
①对于正整数k ，称随机变量X 的k 次幂的数学期望为X 的k 阶原点矩，记为v k ,即
νk =E(X k
)=
∑i
i k i
p x
,
k=1,2, ….
②对于正整数k ，称随机变量X 与E （X ）差的k 次幂的数学期望为X 的k 阶中心矩，记为k μ，即
.
))((k
k X E X E -=μ
=
∑-i
i
k i
p X E x
))((，
k=1,2, ….
①对于正整数k ，称随机变量X 的k 次幂的数学期望为X 的k 阶原点矩，记为v k ,即 νk =E(X k
)=
?
+∞
∞
-,)(dx x f x k
k=1,2, ….
②对于正整数k ，称随机变量X 与E （X ）差的k 次幂的数学期望为X
的k 阶中心矩，记为k μ，即 .
))((k
k X E X E -=μ
=
?
+∞
∞
--,)())((dx x f X E x k
k=1,2, ….
切比雪夫不等式
设随机变量X 具有数学期望E （X ）=μ，方差D （X ）=σ2
，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式
22
)(ε
σεμ≤≥-X P
切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下，对概率
)(εμ≥-X P
的一种估计，它在理论上有重要意义。
（2）期望的性质
（1） E(C)=C
（2） E(CX)=CE(X)
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，∑∑===n
i n
i i i i
i X E C X
C E 1
1
)()(
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和Y 独立； 充要条件：X 和Y 不相关。
（3）方差的性质
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a 2
D(X)； E(aX)=aE(X)
（3） D(aX+b)= a 2
D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X 2)-E 2
(X)
（5） D(X ±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和Y 独立； 充要条件：X 和Y 不相关。
D(X ±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 （4）常见分布
期望
方差
0-1分布),1(p B
p
)1(p p -
的期望和方差
二项分布)
,
(p
n
B np )
1(p
np-泊松分布)
(λ
Pλλ几何分布)
(p
G
p
1
2
1
p
p
-
超几何分布)
,
,
(N
M
n
H
N
nM
?
?
?
?
?
-
-
?
?
?
?
?
-
1
1
N
n
N
N
M
N
nM 均匀分布)
,
(b
a
U
2
b
a+
12
)
(2
a
b-指数分布)
(λ
e
λ
1
2
1
λ
正态分布)
,
(2
σ
μ
Nμ2σ
分布
2
χn 2n
t分布0
2
-
n
n
(n>2)
（5）二维随机变量的数字特征期望
∑
=
?
=
n
i
i
i
p
x
X
E
1
)
(
∑
=
?
=
n
j
j
j
p
y
Y
E
1
)
(
?+∞
∞
-
=dx
x
xf
X
E
X
)
(
)
(
?+∞
∞
-
=dy
y
yf
Y
E
Y
)
(
)
(
函数的期望
)]
,
(
[Y
X
G
E＝
∑∑
i j
ij
j
i
p
y
x
G)
,
(
)]
,
(
[Y
X
G
E＝
??
+∞
∞
+∞
∞
－－
dxdy
y
x
f
y
x
G)
,
(
)
,
(
方差
∑?
-
=
i
i
i
p
X
E
x
X
D2)]
(
[
)
(
∑?
-
=
j
j
j
p
Y
E
x
Y
D2)]
(
[
)
(
?+∞
∞
-
-
=dx
x
f
X
E
x
X
D
X
)
(
)]
(
[
)
(2
?+∞
∞
-
-
=dy
y
f
Y
E
y
Y
D
Y
)
(
)]
(
[
)
(2
协方差
对于随机变量X 与Y ，称它们的二阶混合中心矩11μ为X 与Y 的协方差或相关矩，记为),cov(Y X XY 或σ，即
))].())(([(11Y E Y X E X E XY --==μσ
与记号XY σ相对应，X 与Y 的方差D （X ）与D （Y ）也可分别记为XX σ与YY σ。
相关系数
对于随机变量X 与Y ，如果D （X ）>0, D(Y)>0，则称
)
()(Y D X D XY
σ
为X 与Y 的相关系数，记作XY ρ（有时可简记为ρ）。
|ρ|≤1，当|ρ|=1时，称X 与Y 完全相关：1)(=+=b aY X P
完全相关??
?<-=>=，
时负相关，当，
时正相关，当)0(1)0(1a a ρρ
而当0=ρ时，称X 与Y 不相关。 以下五个命题是等价的： ①0=XY ρ； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
协方差矩阵
???
?
??YY YX XY XX σσσσ 混合矩
对于随机变量X 与Y ，如果有)(l
k
Y X E 存在，则称之为X 与Y 的
k+l 阶混合原点矩，记为kl ν；k+l 阶混合中心矩记为：
].))(())([(l k kl Y E Y X E X E u --=
（6）
协方差的性质
(i) cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X 1+X 2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y); (iv)
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
（7）独立和不相关（i）若随机变量X与Y相互独立，则0
=
XY
ρ；反之不真。（ii）若（X，Y）～N（ρ
σ
σ
μ
μ,
,
,
,2
2
2
1
2
1
），
则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。
第五章大数定律和中心极限定理
（1）大数定律
μ
→
X 切比雪
夫大数
定律
设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一
常数C所界：D（X i）.1
)
(
1
1
lim
1
1
=
??
?
?
?
?
<
-∑
∑
=
=
∞
→
ε
n
i
i
n
i
i
n
X
E
n
X
n
P
特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（X I）=μ，则上式成为
.1
1
lim
1
=
??
?
?
?
?
<
-
∑
=
∞
→
ε
μ
n
i
i
n
X
n
P
伯努利
大数定
律
设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有
.1
lim=
??
?
?
?
?
<
-
∞
→
ε
μ
p
n
P
n
伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即
.0
lim=
??
?
?
?
?
≥
-
∞
→
ε
μ
p
n
P
n
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
辛钦大
数定律
设X1，X2，…，X n，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E
（X n）=μ，则对于任意的正数ε有
.1
1
lim
1
=
??
?
?
?
?
<
-
∑
=
∞
→
ε
μ
n
i
i
n
X
n
P
（2）中心极限定理
),
(2
n
N X σμ→
列维－林德伯格定理
设随机变量X 1，X 2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：),2,1(0)(,)(2Λ=≠==k X D X E k k σμ，则随机变量
σ
μ
n n X
Y n
k k
n ∑=-=
1
的分布函数F n (x )对任意的实数x ，有
?
∑∞
--
=∞
→∞→=???
?
???
???????≤-=x
t n k k n n n dt e
x n n X P x F .21lim )(lim 2
12πσμ
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
棣莫弗
－拉普拉斯定理
设随机变量n X 为具有参数n, p(0?
∞
--
∞
→=??
?
???????≤--=x
t n n dt e
x p np np X P .21)1(lim 2
2
π
（3）二项定理
若当),(,
不变时k n p N
M
N →∞→，则 k n k k n n
N
k n M
N k M p p C C C C ----→)1( ).(∞→N
超几何分布的极限分布为二项分布。
（4）泊松定理
若当0,>→∞→λnp n 时，则
λλ--→
-e k p p C k
k
n k k n
!
)
1(
).(∞→n
其中k=0，1，2，…，n ，…。 二项分布的极限分布为泊松分布。
第六章 样本及抽样分布
（1）数理统计的基本概念
总体
在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 个体
总体中的每一个单元称为样品（或个体）。
样本
我们把从总体中抽取的部分样品n x x x ,,,21Λ称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，n x x x ,,,21Λ表示n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，n x x x ,,,21Λ表示n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。
样本函数和
统计量
设n x x x ,,,21Λ为总体的一个样本，称
??= （n x x x ,,,21Λ）
为样本函数，其中?为一个连续函数。如果?中不包含任何未知参数，则称?（n x x x ,,,21Λ）为一个统计量。
常见统计量及其性质
样本均值
.11
∑==n
i i x n x
样本方差
∑=--=n
i i
x x n S 1
2
2.)(11 样本标准差
.)(111
2∑=--=n
i i x x n S 样本k 阶原点矩
∑===n i k
i k k x n M 1
.,2,1,1Λ
样本k 阶中心矩
∑==-='n
i k i k
k x x n M 1.,3,2,)(1Λ μ=)(X E ，n
X D 2
)(σ=
，
22)(σ=S E ，2
21)*(σn
n S E -=
, 其中∑=-=n i i X X n S 1
2
2
)(1*，为二阶中心矩。
（2）正态总体下的四大分布正态分布
设
n
x
x
x,
,
,
2
1
Λ为来自正态总体)
,
(2
σ
μ
N的一个样本，则样本函数
).1,0(
~
/
N
n
x
u def
σ
μ
-
t分布
设
n
x
x
x,
,
,
2
1
Λ为来自正态总体)
,
(2
σ
μ
N的一个样本，则样本函数
),1
(
~
/
-
-
n
t
n
s
x
t def
μ
其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。
分布
2
χ设
n
x
x
x,
,
,
2
1
Λ为来自正态总体)
,
(2
σ
μ
N的一个样本，则样本函数
),1
(
~
)1
(
2
2
2
-
-
n
S
n
w defχ
σ
其中)1
(2-
n
χ表示自由度为n-1的2χ分布。
F分布
设
n
x
x
x,
,
,
2
1
Λ为来自正态总体)
,
(2
1
σ
μ
N的一个样本，而
n
y
y
y,
,
,
2
1
Λ为来自正态总体)
,
(2
2
σ
μ
N的一个样本，则样本函数
),1
,1
(
~
/
/
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1-
-n
n
F
S
S
F def
σ
σ
其中
,
)
(
1
1
2
1
1
2
1
1
∑
=
-
-
=
n
i
i
x
x
n
S;
)
(
1
1
2
1
2
2
2
2
∑
=
-
-
=
n
i
i
y
y
n
S
)1
,1
(
2
1
-
-n
n
F表示第一自由度为1
1
-
n，第二自由度为
1
2
-
n的F分布。
（3）正态
总体下分
布的性质
X与2S独立。
第七章参数估计
（1）点估计矩估计
设总体X的分布中包含有未知数
m
θ
θ
θ,
,
,
2
1
Λ，则其分布函数可以表成
).
,
,
,
;
(
2
1m
x
Fθ
θ
θΛ它的k阶原点矩)
,
,2,1
)(
(m
k
X
E
v k
k
Λ
=
=中也
包含了未知参数
m
θ
θ
θ,
,
,
2
1
Λ，即)
,
,
,
(
2
1m
k
k
v
vθ
θ
θΛ
=。又设
n
x
x
x,
,
,
2
1
Λ为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为
∑
=
n
i
k
i
x
n1
1
).
,
,2,1
(m
kΛ
=
这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”
的原则建立方程，即有
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
=
=
=
∑
∑
∑
=
∧
∧
∧
=
∧
∧
∧
=
∧
∧
∧
n
i
m
i
m
m
n
i
i
m
n
i
i
m
x
n
v
x
n
v
x
n
v
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
.
1
)
,
,
,
(
,
1
)
,
,
,
(
,
1
)
,
,
,
(
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
由上面的m个方程中，解出的m个未知参数)
,
,
,
(
2
1
∧
∧
∧
m
θ
θ
θΛ即为参数
（
m
θ
θ
θ,
,
,
2
1
Λ）的矩估计量。
若
∧
θ为θ的矩估计，)
(x
g为连续函数，则)?(θ
g为)
(θ
g的矩估计。
极大似然估计
当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为
)
,
,
,
;
(2
1m
x
fθ
θ
θΛ，其中
m
θ
θ
θ,
,
,2
1
Λ为未知参数。又设n
x
x
x,
,
,2
1
Λ为总体的一个样本，称
)
,
,
,
;
(
)
,
,
,
(
1
1
12
2∏==
n
i
m
i
m
x
f
Lθ
θ
θ
θ
θ
θΛ
Λ
为样本的似然函数，简记为L n.
当总体X为离型随机变量时，设其分布律为
)
,
,
,
;
(
}
{2
1m
x
p
x
X
Pθ
θ
θΛ
=
=，则称
)
,
,
,
;
(
)
,
,
,
;
,
,
,
(
1
1
1
12
2
2∏==
n
i
m
i
m
n
x
p
x
x
x
Lθ
θ
θ
θ
θ
θΛ
Λ
Λ
为样本的似然函数。
若似然函数)
,
,
,
;
,
,
,
(
2
21
1m
n
x
x
x
Lθ
θ
θΛ
Λ在m
∧
∧
∧
θ
θ
θ,
,
,2
1Λ处取到最大值，则称m
∧
∧
∧
θ
θ
θ,
,
,2
1Λ分别为mθ
θ
θ,
,
,2
1
Λ的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。
m
i
L
i
i
i
n,
,2,1
,0
ln
Λ
=
=
?
?
∧
=θ
θ
θ
若
∧
θ为θ的极大似然估计，)
(x
g为单调函数，则)?(θ
g为)
(θ
g的极大似然估计。
（2）估计量的评选标准无偏性
设)
,
,
,
(
2
1n
x
x
xΛ
∧
∧
=θ
θ为未知参数θ的估计量。若E （∧θ）=θ，则称
∧
θ为θ的无偏估计量。
E（X）=E（X）， E（S2）=D（X）
有效性
设)
,
,
,
,
(
2
1
1
1n
x
x
xΛ
∧
∧
=θ
θ和)
,
,
,
,
(
2
1
2
2n
x
x
xΛ
∧
∧
=θ
θ是未知参数θ的两个无偏估计量。若)
(
)
(2
1
∧
∧
<θ
θD
D，则称2
1
∧
∧
θ
θ比有效。
概率论与数理统计总复习 公式概念定理
概率论与数理统计总复习 第一章 概率论的基本概念 1. 事件的关系及运算 互不相容事件：AB =Φ 即A,B 不能同时发生。 对立事件：A B =ΩU 且AB =Φ 即A B B ==Ω- 差事件：A B - 即 A 发生但B 不发生的事件 切记： ()A B AB A AB A B B -==-=-U 2. 概率的性质 单 调 性 ： 若 B A ?，则 )()()(A P B P A B P -=- 加法定理：)()()() (AB P B P A P B A P -+=Y )()()()()(AB P C P B P A P C B A P -++=Y Y )()()(ABC P CA P BC P +-- 例1 设 ,,()0.7,()0.4,A C B C P A P A C ??=-= ()0.5P AB =，求()P AB C -。 解：()()()P A C P A P AC -=- ()()P A P C =- （AC C =Q ） 故 ()()()0.70.40.3P C P A P A C =--=-= 由此 ()()()P AB C P AB P ABC -= - ()()P AB P C =- （ABC C =Q ） 0.50.30.2=-=
注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质 计算。 3. 条件概率与三个重要公式 乘法公式 全概率公式 1()()(/)n i i i P A P B P A B ==∑ 贝叶斯公式（求事后概率） 例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。 解：设A i ——第2次摸出i 个新球(i =0,1,2), B ——第3次摸出两个新球 ∵ A 0，A 1，A 2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式 其中 故 ; )/()()(A B P A P AB P =()(/) (/)() i i i P B P A B P B A P A = 2 ()()(|) k k k P B P A P B A ==∑201102 244224012222 666186(),()()151515C C C C C C P A P A P A C C C ======202002 334242012222 666631 (|)(|)(|)151515 C C C C C C P B A P B A P B A C C C ======4 ()0.16 25 P B ==
常用形体体积面积计算公式大全
图形 常用形体的体积、表面积计算公式 尺寸符号 a-棱於-对角 线S-表両积 K-侧表面积 讥h-边长 0-底面对角线的交点 a上川-边畏 力-高 F-JK S积 0 ■底両中线的交点 y-一个组合三角老的両积 左-组合三角形的个数 0-锻底答对角线交点 此凤-两平行底面的面积 力■底面间更离 。-一个组合梯形的面积 和-组合梯形数 卫-外半径一內 半径 ￡-柱壁厚度 P-平均半径勺= 内外侧面积 仿积（卩）底面积 （F）表面积（小侧表 面积（仓） /= Q?決h S = 2(c? ? E +a ? % +E ? %) 百度文库?让每个人平等地捉升口我 夙一球半径 ①巳-底面半径 /腰高 兔-球心o 至帝底圆心q 的距 离 对于抛物线形桶体 y = ^-（2D 2+Dd + -d 2） 15 4 对于回形桶仿 7略（仃+八） a,b,c ■半轴 交 叉 柱 体 卩=加（屮一些 心3-下底边长 上底边长 h_上、下底边距离（高） V = -[(2a +勺加+(2甸诃如 6 =—[ab+(a +(?})(& 十劣十 ? 如 6 、 常用图形求面积公式 图形 尺寸符号 而积（F ）表而积（S ） Q ■中间断面直径 H -底直径 I-桶高 ￥ r U :
高中数学公式大全(必备版)
高中数学公式大全（必备版） 高中数学公式大全（必备版） 篇一 篇二 篇三 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变)，然后在前面加上把α看成锐
声学计算公式大全
当声波碰到室内某一界面后（如天花、墙），一部分声能被反射， 一部分被吸收（主要是转化成热能），一部分穿透到另一空间。 透射系数： 反射系数： 吸声系数： 声压和声强有密切的关系，在自由声场中，测得声压和已知测点到声源的距离，就可计算出该测点之声强和声源的声功率。 声压级Lp 取参考声压为Po=2*10-5N/m2为基准声压，任一声压P的Lp为：
听觉下限： p=2*10-5N/m2 为0dB 能量提高100倍的 P=2*10-3N/m2 为20dB 听觉上限： P=20N/m2 为120dB 1、声压级Lp 取参考声压为Po=2*10-5N/m2为基准声压，任一声压P的Lp为： 听觉下限： p=2*10-5N/m2 为0dB 能量提高100倍的 P=2*10-3N/m2 为20dB 听觉上限： P=20N/m2 为120dB 2、声功率级Lw 取Wo为10-12W,基准声功率级 任一声功率W的声功率级Lw为： 3、声强级： 3、声压级的叠加 10dB+10dB=? 0dB+0dB=? 0dB+10dB=? 答案分别是：13dB,3dB,10dB.
几个声源同时作用时，某点的声能是各个声源贡献的能量的代数和。因此其声压是各声源贡献的声压平方和的开根号。 即： 声压级为： 声压级的叠加 ?两个数值相等的声压级叠加后，总声压级只比原来增加3dB，而不是增加一倍。这个结论对于声强级和声功率级同样适用。 ?此外，两个声压级分别为不同的值时，其总的声压级为
两个声强级获声功率级的叠加公式与上式相同 在建筑声学中，频带划分的方式通常不是在线性标度的频率轴上等距离的划分频带，而是以各频率的频程数n都相等来划分。 声波在室内的反射与几何声学 3.2.1 反射界面的平均吸声系数 （1）吸声系数：用以表征材料和结构吸声能力的基本参量通常采用吸声系数，以α表示，定义式： 材料和结构的吸声特性和声波入射角度有关。
概率论与数理统计公式表
第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ∞ = ∞ = = 1 1i i i i A A B A B A =，B A B A =
高三数学必背公式总结
高三数学必背公式总结 高三数学必背公式总结汇总 一、对数函数 log.a(MN)=logaM+logN loga(M/N)=logaM-logaN logaM^n=nlogaM(n=R) logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1) 二、简单几何体的面积与体积 S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高) S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半) 设正棱台上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*h S圆柱侧=c*l S圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*l S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l S球=4*兀*R^3 V柱体=S*h V锥体=(1/3)*S*h V球=(4/3)*兀*R^3 三、两直线的位置关系及距离公式 (1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1| (2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式 |AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2] (3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr (A^2+B^2) (4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1- C2|/sqr(A^2+B^2) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 sin(2*k*兀+a)=sin(a)
tan(2*兀+a)=tana sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana sin(兀+a)=-sina sin(兀-a)=sina cos(兀+a)=-cosa cos(兀-a)=-cosa tan(兀+a)=tana 四、二倍角公式及其变形使用 1、二倍角公式 sin2a=2*sina*cosa cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2 tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2] 2、二倍角公式的变形 (cosa)^2=(1+cos2a)/2 (sina)^2=(1-cos2a)/2 tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina 五、正弦定理和余弦定理 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC 余弦定理: a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosB c^2=a^2+b^2-2abcosC cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab tan(兀-a)=-tana sin(兀/2+a)=cosa sin(兀/2-a)=cosa
常用面积体积计算公式大全
电如_边長 馬-高 F-底面积 0-底両申銭的交点 卩=FJ — (c -+i H - c) * b+2F 禺="+6+c)*ft ，-一个粗合三箱我的両积 71 -组合三角形的惱 O-锥底备对角護交点 年店-两平行底面的面积 力L 底面间歴畫 "-一个爼舍梯戒的面积 R-组合梯形数 多面体的体积和表面积 体积（茁）庭百积（F ） 表面瞅门侧恚面积（鬲） 图形 尺寸符号 d-刘角爲 表 面积 覇-侧表面积 长 方 扩=Q S=6a 2 CS 血为-边拴 0-底面对角线的交点 V = a*h* h S = 2(a ? b 4-(j ? h +i * ft) ￡l-2Ma+&) 圆 柱 和 空 心 圆 柱 A 管 去-外宰径 —内半径 ￡-柱壁區度 p -平均半径 心=内外側面祝 B&- $=2滋?/! +2JC ￡^ E\ = 2/rR ? h 空心言圆柱: F =凤疋7勺=2叭伤 S=X?4F ）JU2/I （用-沔 场=2品第卄） 5=n?/ + F
h -盘小高度 怒-毘大高度F-属面举径 尸-廐面半径巾-高卜母爼长 E工-虧面半径巾-高 ”母緩g ■制血+吩2*卩+—!_：cos a 禺F偽十吗) & = + F — ttri y-^^2+ ^+^) 禺■忒迎肝) 卩十押 十试疋■!■/) 球扇r-*e 4宜径 尸■兰直玉■輕：?口」 石6沪 3 6 S =血2 - 夙-球半径 ①巳-底面半径 S ■ 4nJ -2J &, ■ ￡戊■矽一4了*彷 V a,b,c-半轴 交 叉 圆 柱 体 球 缺 椭 球 体 A 胎 D-中间斷面苴狂 说 -廐直径 『-桶高 = 2冲丘= ST ⑷-Q 护=佩乃 -町 十山2 y~—(3R^3^+h^ $■2鈕 g= 2fviih 十牙叶 4-^) 卫-風总儒平旳半径 0-同环体平均半径 川-凰环体截面言径 r-回环体茁両半径 .—— 圆 环 体 为-球鎂的高 r- 瑋岐半栓 日-平切厨言径 业=曲面"5^ 球破表面积 用于抛物线我桶徘 卩=竺口“+戊4丄护） 15 4 对于园飛确体 卩皤用十吗
高考数学必背公式大全
高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多，同学们复习的时候不方便查阅，下面是我给大家带来的高考必背数学公式，希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积
1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为： an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
高中数学必背公式
高中数学必背公式、常用结论 一．二次函数和一元二次方程、一元二次不等式 1． 二次函数 y ax 2 bx c 的图象的对称轴方程是 x b b 4a c b 2 ，顶点坐标是 2a ， 。 2a 4a 2. 实系数一元二次方程 ax 2 bx c 0的解： ①若 b 2 4ac 0, 则 x 1,2 b b 2 4a c ; 2a ②若 b 2 4ac 0, 则 x 1 x 2 b ; 2a ③ 若 b 2 4a c 0，它在实数集 R 内没有实数根；在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根 x b(b 2 4ac)i (b 2 4ac 0) . 2a 3. 一元二次不等式 ax 2 bx c 0(a 0) 解的讨论 : 二次函数 y ax 2 bx c （ a 0 ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax 2 bx c 0 x 1, x 2 ( x 1 x 2 ) x 1 x 2 b 无实根 a 0 的根 2a ax 2 bx c 0 x x 1 x 2 x x b (a 的解集 x 或x 2a R 0) ax 2 bx c 0 x x 1 x x 2 (a 0)的解集 二、指数、对数函数 1．运算公式 m n m m 1 ⑴分数指数幂： a n ； a n （以上 a 0, m,n N ，且 n 1 ） . a m a n ⑵ . 指数计算公式： a m a n a m n ； (a m )n a mn ；（ a b)m a m b m ⑶对数公式：① a b N log a N b ； ② log a MN log a M log a N ； ③ log a M log a M log a N ； ④ log a m b n n log a b . N m
概率论与数理统计公式集合
概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ) )(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A A B += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 ) (1)(A P A P -= 加法公式 ) ()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 ) ()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相 应公式 ) ()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P
二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1 ,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 泊松分布)(λP ,2,1,0,! )(===-k k e k X P k λλ 几何分布)(p G ,2,1,0, )1()(1=-==-k p p k X P k 超几何分布),,(n M N H ) ,min(,,1,,)(M n l l k C C C k X P n N k n M N k M +== =-- 3、连续型随机变量 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布),(b a U ?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ?? ? ????≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)( 指数分布)(λE ???? ?>=-其他, 00 ,)(x e x f x λλ ? ??≥-<=-0,10, 0)(x e x x F x λ 正态分布),(2σμN +∞<<∞-= -- x e x f x 2 2 2)(21)(σμσ π ?∞ --- = x t t e x F d 21 )(2 22)(σμσπ 标准正态分布)1,0(N +∞<<∞-=- x e x x 2 221)(π ? ?∞ --- = x t t e x F d 21)(2 22)(σμσπ
高中数学必修2公式
高中数学必修2知识点 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0声学参数理论
1.A 计权声压级 声压有效值定义为一定时间间隔中，瞬时声压对时间的均方根值，用p e表示： 将声压有效值p e与基准量p0之比的对数乘以20 便可以得到声压pe的声压级，用L p表示： A 计权声压级（简称 A 声级）用以模拟55dB以下低强度噪声特性，对 1000Hz 以下的低中频段衰减，其结果与人对声音的感知相近。 2.响度 响度（Loudness）是基于人耳对声音频谱掩蔽特性的反映人耳对声音强弱感知程度的心理声学参数，单位为宋（sone），规定1000Hz纯音的声压级为40dB时的响度为1宋。国际标准 ISO532 规定了 A、B 两种计算稳态噪声响度的计算方法： a)Stevens方法（ISO532A）： 详细内容参见标准 ISO532-A-1975 和。其数学表达式为： b)Zwicker方法（ISO532B）（本文所采用方法）： Zwicker 法适用于自由声场或混响声场的计算，在通常情况下一般采用Zwicker 法的响度计算模型。 Zwicker 法以1/3倍频程频谱为依据，引入了特征频带和特征响
度的概念，首先计算每个特征频带特征响度，再由此来得到总响度值。 根据 Zwicker 的响度理论，通过激励E可以计算得到特征响度，其计算公式： 式中：E TQ为绝对听阈下的激励（安静状况下），E0为基准声强下的激励，被计算声音的特征频带声压级作为激励级E。 对特征响度在0-24 Bark域上积分，即可得到总响度： 注： 掩蔽效应是指由于一个声音的存在而使另一个声音听阈提高的现象。 人类的听觉系统具有滤波特性，即频率选择性。为了描述人耳的频率选择特性和掩蔽效应，Zwicker假设人的听觉系统将声音信号分量分成24个频带，当确定了一个声音的频率时，能够产生掩蔽效应的另外一个声音的频率范围称为“特征频带”，单位是Bark。在 Zwicker 模型中，特征频带Bark 数z和频率 f(Hz)的对应关系可近似表达为： 3.尖锐度 尖锐度（Sharpness）是描述高频成分在声音频谱中所占比例的物理量，主要反映人们主观上对高频段声音刺耳程度的感受，单位为 acum。规定中心频率为1000 Hz、带宽为160 Hz的60分贝窄带噪声的尖锐度为1 acum。 尖锐度的计算目前尚没有统一的标准，但国际上较为通用的计算模型有两种，分别是Zwicker模型和Aures模型。两种计算模型都能较为准确地计算尖锐度，但由Aures模型对响度有很大依赖，所以在已包含响度的情况下，通常采用Zwicker计算模型。 a)Zwicker尖锐度模型（本文所采用方法）
概率论与数理统计 重要公式
一、随机事件与概率 公式名称 公式表达式 德摩根公式 B A B A =，B A B A = 古典概型 ()m A P A n = =包含的基本事件数基本事件总数 几何概型 () ()()A P A μμ= Ω，其中μ为几何度量（长度、面积、体积） 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 P(A ∪B)= P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0（A 、B 互斥）时，P(A ∪B)=P(A)+P(B) 减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)，B A ?时P(A-B)=P(A)-P(B) 条件概率公式 乘法公式 )() ()(A P AB P A B P = ()()()()()P AB P A P B A P B P A B == ()()()()P ABC P A P B A P C AB = 全概率公式 1 ()()()n i i i P A P B P A B ==∑ 从原因计算结果 贝叶斯公式 （逆概率公式） 1 ()() ()()() i i i n i i i P B P A B P B A P B P A B == ∑ 从结果找原因 两个事件 相互独立 ()()()P AB P A P B =；()()P B A P B =；)()(A B P A B P =；
二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ?=?=≤=<≤=-???∑? 概率密度函数 计算概率： 2、离散型随机变量及其分布 分布名称 分布律 0-1分布 X ～b(1,p) 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布(贝努利分布) X ～B(n,p) n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 泊松分布 X ～p(λ) (),0,1,2,! k P X k e k k λλ-== = 3、续型型随机变量及其分布 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布 x ～U(a,b) ?? ?? ?<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f 0, (),1, =-0 , 00,)(x x e x f x λλ ???? ?≤>-=-0 , 00 , 1)(x x e x F x λ 正态分布 x ～N(2,σμ) 2 2 ()21()2μσπσ -- = -∞<<+∞ x f x e x 22 ()21 ()d 2μσπσ -- -∞ = ?t x F x e t 标准正态分布 x ～N(0,1) 2 2 1()2?π - = -∞<<+∞ x x e x 212 1 ()2t x x e dt π --∞ Φ= ? 1 )(=? +∞ ∞ -dx x f ?=≤≤b a dx x f b X a P )()(
图形各面积、体积计算公式大全
长方形的周长=（长+ 宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+ 下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径 圆的周长=圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽长×高＋宽×高）×2 长方体的体积 =长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高
平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a b c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 S＝ah ＝absinα 菱形 a－边长
α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长 S＝(a b)h/2 ＝mh 圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形 l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数 S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2
高中数学学业水平必背公式定理知识点默写
高中数学学业水平测试必背公式定理知识点 1、空集定义：_____________________________________； 空集是任何集合的______________。 N ____________ Z __________ Q ___________ R ___________（常用集合字母表示） 2、含n 个元素的集合其子集个数为_____________________。 3、函数定义：对定义域内任意x ，都有___________y 值与之对应，称y 是x 的函数。 4、求函数定义域三种基本形式： ①分式要求：__________________； ②根式，开偶次方根，则_______________________； ③对数式则要求__________________________。 5、①指数函数定义：__________________________________________； 其定义域为_____________；值域为_________________； 当_______________时函数单调递增；当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ②对数函数定义：__________________________________。 其定义域为_____________；值域为_________________； 当_______________时函数单调递增；当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ③幂函数定义：_______________________________________。 当0>α时，图像恒过______________和_______________；在第一象限内单调_________； 当0<α时，图像恒过______________；在第一象限内单调_________； 6、如果函数是奇偶函数，其定义域一定关于_______________对称； 如果对定义域内任意x ，当________________时，函数为奇函数； 如果对定义域内任意x ，当________________时，函数为偶函数； 7、函数单调性定义：在区间D 内任取两个值1x 、2x ，设21x x <， 如果______________，则函数在此区间内单调递增； 如果______________，则函数在此区间内单调递减。 8、空间两直线位置关系：_____________、________________、_________________； 空间两平面位置关系：________________、______________； 空间直线与平面位置关系_____________、_____________、___________________； 9、空间两直线所成角的范围：____________________； 直线与平面所成角的范围：____________________； 两异面直线所成角的范围：_____________________； 10、线面平行判定定理：_________________________________________________________； 线面平行性质定理：_________________________________________________________； 线面垂直判定定理：_________________________________________________________； 线面垂直性质定理：_________________________________________________________； 面面平行判定定理：_________________________________________________________； 面面平行性质定理：_________________________________________________________； 面面垂直判定定理：_________________________________________________________；
(新)高中三角函数公式大全-必背知识点
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式
空间几何体表面积与体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全 一、全（表）面积（含侧面积） 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥： ②圆锥： 3、台体 ①棱台： ②圆台： 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 二、体积 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥 ②圆锥
3、台体 ①棱台 ②圆台 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线计算。 三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的。
分析：圆柱体积： 圆柱侧面积： 因此：球体体积： 球体表面积： 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） += 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式 公式： 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。 延长两侧棱相交于一点。 设台体上底面积为，下底面积为 高为。 易知：∽，设， 则 由相似三角形的性质得：
即：(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得： 又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴ 代入：得： 即： ∴ 4、球体体积公式推导 分析：将半球平行分成相同高度的若干层（），越大，每一层越近似于圆柱，时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为，则：每个圆柱的体积= 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 ……
