等腰三角形的性质

13.3.1 等腰三角形

第1课时等腰三角形的性质

教学目标

（一）教学知识点

1．等腰三角形的概念．

2．等腰三角形的性质．

3．等腰三角形的概念及性质的应用．

（二）能力训练要求

1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．

2．探索并掌握等腰三角形的性质．

教学重点

1．等腰三角形的概念及性质．

2．等腰三角形性质的应用．

教学难点

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．

教学过程

提出问题，创设情境

在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？

导入新课

同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．

A

I

C

A

B

I

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．

提问：

1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．

2．等腰三角形的两底角有什么关系？

3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？

等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，

求：△ABC各角的度数．

分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到

∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•

再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．

[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，

所以∠ABC=∠C=∠BDC．

∠A=∠ABD（等边对等角）．

设∠A=x，则

∠BDC=∠A+∠ABD=2x，

从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

于是在△ABC中，有

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，

解得x=36°．

在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．

[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．

随堂练习

练习

1．如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．

(2)

120︒

36︒

(1)

答案：（1）72° （2）30°

2．如右图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？

D C

A

B

答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．

3．如右图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数．

D C

A

B

答：∠B=77°，∠C=38.5°．

课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴

是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高． 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．

活动与探究

如右图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．

求证：AE=CE ．

E

D

C

A

B

过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：

证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如右图，在△ADP 和△A DC 中

12,

,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．

同理可证：AE=DE ． ∴AE=CE ． 板书设计

等腰三角形

一、设计方案作出一个等腰三角形

E

D

C

A

B

P

二、等腰三角形性质

1．等边对等角

2．三线合一

第2课时含30°角的直角三角形的性质

1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)

2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)

一、情境导入 问题：

1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？ 2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？ 今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．

二、合作探究

探究点：含30°角的直角三角形的性质

【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长

如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3cm ，

则AB 的长度是( )

A ．3cm

B ．6cm

C ．9cm

D ．12cm

解析：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ＝30°.在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝6cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.

方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．

【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用

如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC ＝3，则PD

等于( )

A ．3

B ．2

C ．1.5

D ．1

解析：如图，过点P 作PE ⊥OB 于E ，∵PC ∥OA ，∴∠AOP ＝∠CPO ，∴∠PCE ＝∠BOP ＋∠CPO ＝∠BOP ＋∠AOP ＝∠AOB ＝30°.又∵PC ＝3，∴PE ＝12PC ＝1

2

×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP ，

PD ⊥OA ，∴PD ＝PE ＝1.5.故选C.