华中科技大学硕士研究生矩阵论2012年试题
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矩陣論2012年試題
一、 填空題：（每個空3分，共27分）
1、設矩陣⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=i i i i i A 1013122131,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111X ,其中1-=i ，則
______,1=AX .______
1=A 2、設矩陣1000030012-⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P A ，則______;)(dim =A N .______)(λA m 3、矩陣⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000a a a a a a A ，則a 滿足條件______時，矩陣冪級數∑∞=0k k A 收斂. 4、論矩陣⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221132332211A ，則A 的LDV 分解為.______= 5、設⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3/10002/10001A ,)sin(A 的Jordan 矩陣______;)sin(=A J .______)sin(lim =∞>-n n A
6、設⎥⎦⎤⎢⎣⎡=201a A ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=1203B ，則矩陣方程0=+XB AX 有非零解的條件是.______≠a 二、（15分）設線性空間3R 上的線性變換T 在基},,{321e e e 下的變換矩陣為
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3332312322
211312
11a a a a a a a a a A ， （1） 求變換T 在基},3,{321e e e 下的變換矩陣.
（2） 求變換T 在基},,{3211e e e e +下的變換矩陣.
三、（15分）設矩陣⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000012A （1）求矩陣A 的奇異值分解.
（2）求矩陣A 的P M -廣義逆+A .
四、（15分）設⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111,011L W 是空間3R 的子空間， （1）求空間3R 上的正交投影變換P ，使得P 的象空間.)(W P R =
（2）求空間3R 的向量T
]3,2,1[=α在投影變換P 下的象. 五、（15分）設⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=502613803A ，計算矩陣函數.At e 六、證明題：
（1）（7分）設A 是可逆矩陣，n σ是矩陣A 的最小奇異值，證明
n A σ121
=-
（2）（6分）設矩陣A 和B 都是n 階方正，證明)()()(B rank A rank B A rank ⋅=⊗。