三角形的内切圆和外接圆

三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h)

三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。

AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°.

∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ，

∴AC

AE AD

AB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD

方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边

在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE

∴AE ＝AB/SinC

∴2R ＝AB/SinC

若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ）

应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。

例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.

分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E.

设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2

∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8

A

B

C

O

D

E

∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为

8

65. 例 2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R.

分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。

应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。

例3 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径R. 分析：考虑求出角的对边长AB ，然后用方法一或方法二解题.

解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E.

则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°， ∠CAE ＝∠DAB ＝ 90°－ 60°＝30° CE ＝2

1AC ＝1，AE ＝

3

，AB=√7∴R=AC ·AB/2AE=2x √7/(2x 3

)

应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。

用方法二

例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径 解 从A 作AM ⊥BC 于M ，则

AD 2－MD 2＝A M 2 ＝AC 2－(MD ＋CD)2．即 52－MD 2＝72－(MD ＋3)2．

得R ＝14， 则△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝196π．

例5 如图3，已知抛物线y ＝x 2－4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上，

求①抛物线的顶点坐标；

②抛物线与x 轴的交点B 、C 的坐标；

③△ABC 的外接圆的面积．

解 ①A(2，－9)；

A

B

C

O

D E

②B(－1，0)； C(5， 0)．

③从A 作AM ⊥x 轴交于M 点， 则BM ＝MC ＝3．AM ＝9．

∴R ＝5

△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝25π

三角形内切圆半径r 的求法

1 ∵S △ABC =1/2(a+b+c)r

∴r=2S △ABC /(a+b+c) 2 Rt △ABC 中,r=(a+b-c)/2

三角形的内切圆和外接圆【知识要点】

1、三角形的外接圆

（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等．

（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形

的外心在斜边中点，外接圆半径2

c

R =(c 为斜边长)．

2、三角形的内切圆

（1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部． （2）若三角形的面积为ABC S ∆，周长为a+b+c,则内切圆半径为:c

b a S r ABC

++=

∆2，当b a ,为

直角三角形的直角边，c 为斜边时，内切圆半径c b a ab r ++=或2

c

b a r -+=.

3、圆内接四边形的性质

（1）圆内接四边形的对角互补；

（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．

注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形． 4、两个结论：

圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．

【典型例题】 一、填空和选择

（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 （2）如右图，I 是ABC ∆的内心，则下列式子正确的是（ ）

A 、∠BIC=︒180-2∠A

B 、∠BIC=2∠A

C 、∠BIC=︒90+∠A/2

D 、∠BIC=︒90-∠A/2 （3）ABC ∆外切于⊙O ，

E 、

F 、

G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ∆的外心是ABC ∆的 。 （4）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ．

（5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为R r ,，则R r := ． （6）圆外切等腰梯形底角为︒60，腰长为10，则圆的半径长为 ． （7）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于 ．

（8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 ．

（9）ABC ∆的内切圆⊙I 与AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F 点，且∠FID=∠EID=︒135，则ABC ∆为 ．

例2．如图，△ABC 中，I 是内心，AI 交BC 于D ，交△ABC 的外接圆于E 。 求证：（1）IE=EC ，（2）IE 2=ED ·EA 。

·

I

A B

C