最新高考数学解题方法探讨+数学破题36计(10-18计)-高中生家园优秀名师资料

第10计聋子开门慧眼识钟

●计名释义

一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.

上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？

其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方.

聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.

为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.

●典例示范

【例1】若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+…+a

x2008(x∈R), 则

2008

(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)= (用数字作答)

【思考】显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+…+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008=2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008.

【点评】本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.

【例2】对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：①若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(x)是偶函数；④函数f(1+x)与f(1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .

【思考】奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f(x-1)的图象关于点A（1，0）对称，①正确；f (x)= f［(x+1)-1］= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，②不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.

【点评】本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.

【例3】关于函数f (x)=2x-2-x (x∈R).有下列三个结论：①f (x)的值域为R; ②f (x)是R上的增函数；③对任意x∈R, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是(注：把你认为正确命题的序号都填

上).

【解答】 由y ⇒-

=x x

2

1

2(2x )2-y ·2x -1=0. 关于2x 的方程中，恒有Δ=y 2+4>0. ∴y ∈R ①真. ∵y 1=2x , y 2=x 2

1-

都是R 上的增函数，∴y =y 1+y 2=2x

-2x -也是R 上的增函数，②真. ∵f (-x )=2x --2x = -(2x -2x -)=-f (x ),

∴当x ∈R 时，恒有f (x )+f (-x )=0（即f (x )为R 上的奇函数) ③真.

【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.

正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选. 本例是“全选”（即“都是”）的题型.

●对应训练

1.设F 是椭圆16

72

2=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|，|FP 2|,|FP 3|,…,组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是 .

●参考答案

1.椭圆中：a =7, b =6, c =1. ∴e =

7

1,设P i 的横坐标为x i , 则|FP i |=

7

1(7-x i ), 其中右准线x =7.

∵|FP n |=|FP 1|+(n -1)d . ∴d =

.)

1(71||||11--=--n x x n FP FP n n

∵|x 1-x n |≤27, ∴|d |≤

12-n . 已知n ≥21, ∴|d |≤10

1

, 但d ≠0. ∴d ∈［-101，0)∪(0，10

1

］.

点评：本题有两处陷沟，一是d ≠0, 二是可以d <0, 解题时考生切勿疏忽.

第11计 耗子开门 就地打洞

●计名释义

《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.

结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.

庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.

数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.

●典例示范

【例1】 已知f (x )=321x -，判定其单调区间.

【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.

【解答】 设x 1

3

21x - - 321x -.

【插语】 x 1，x 2都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”. 【续解】

323

12121x x --- [KF （S]3[]1-2x 1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x 2[KF)]

=

3

2

23

213

213223213213231)

21()21)(21()21()

)21()21)(21()21()(2121(x x x x x x x x x x -+--+--+--+----

易知322321321)21()21)(21()21(x x x x -+--+-=△>0. 故有原式=

∆

-)

(221x x <0. 故f (x )=

3

21x -的增区间为（-∞,+∞).

【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.

【例2】 （04·天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.

（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望； （Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.

【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.

【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P （ξ=0）=5

1C C 3634

=;P (ξ

=1)=53C C C 361224=；P (ξ=2)=51C C C 3

6

2

2

14=•，故ξ的分布列是：