直线方程的几种形式教案
6.2.3直线方程的几种形式(教案)-【中职专用】高一数学同步精品课堂(人教版2021·基础模块下册
6.2.3直线方程的几种形式（教案）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（人教版2021·基础模块下册）一、主题《直线方程的几种形式》。
二、教学时间两课时。
三、教学目标1.了解直线的定义和性质，掌握常见直线的特征方程的表示方法；2.能根据点斜式或斜截式等特征方程求出直线；3.掌握一般式直线方程及斜率截距式直线方程，形象化理解斜率与直线的倾斜程度，灵活掌握直线方程的不同形式；4.能熟练地将不同形式的直线方程相互转化。
四、教学重点和难点重点：一般式和斜率截距式直线方程的理解和使用。
难点：不同形式的直线方程的相互转化。
五、教学过程1.导入（5分钟）询问学生对直线的认识和掌握情况，引入本节课的主题内容。
2.讲解直线的特征方程（15分钟）（1）点斜式（y-y1）=k(x-x1)。
重点讲解k的含义，解释该方程表示的直线与x轴和y轴的交点坐标和斜率之间的关系。
（2）斜截式y=kx+b。
重点讲解k和b的含义，解释该方程表示的直线与y轴的交点坐标和斜率之间的关系。
3.掌握一般式和斜率截距式直线方程（15分钟）（1）一般式Ax+By+C=0。
重点讲解A、B、C的含义，解释该方程表示的直线与x轴和y 轴的交点坐标和斜率之间的关系。
（2）斜率截距式y=kx+b。
重点讲解k和b的含义，解释该方程表示的直线与y轴的交点坐标和斜率之间的关系。
4.综合训练（20分钟）选取直线方程为y=2x+3和Ax-By+C=0，让学生将其转化为点斜式和一般式方程。
以实例演示不同情境下直线方程的应用。
5.作业布置（5分钟）布置练习题，让学生加深对不同形式直线方程的转化和应用。
六、教学后记本节课掌握不同形式的直线方程及其相互转化，是学习解析几何的关键点之一。
在讲解过程中，尽可能简明扼要，并使用实例让学生更好地理解。
在作业部分要求学生对于对应方程的意义进行梳理，以提高课程的深度和广度。
《直线方程的几种形式》教案7人教B版
《直线方程的几种形式》教案7（人教B
版必修2）
人教B版数学必修2：直线与平面垂直的概念
[适用章节]
数学②中1.2.3空间中的垂直关系之1直线与平面垂直
[使用目的]
使学生通过操作理解直线与平面垂直的概念，并结合图形理
解直线和平面垂直时也和平面内不过垂足的直线垂直，即与
平面内任何直线垂直。
[操作说明]
拖动绿色标尺，先观察图形再研究问题。
用按钮"转动"可以观察线段中垂线的轨迹，理解直线和平面
垂直的定义。
如图2124-1。
"隐藏"、按钮可以隐去中垂线。
图2124-1按钮"说明"、"隐藏"可以帮助
理解直线和平面内过交点的任意直线
垂直，与和平面内任意直线垂直的等
价的。
用两种方法描述直线与平面垂
直都是可以的。
按钮"变位"可以使学生熟悉不
同位置的线面垂直，"原位"用于回到
原来位置。
按钮"还原"可以还原初始
界面。
图2124-2是在其他位置时线、面垂直的图形。
2023年直线与方程教案高三【精选4篇】
2023年直线与方程教案高三【精选4篇】直线与方程教案高三篇一《直线的方程》教案一、教学目标知识与技能：理解直线方程的点斜式的特点和使用范围过程与方法：在知道直线上一点和直线斜率的基础上，通过师生探讨得出点斜式方程情感态度价值观：养成数形结合的思想，可以使用联系的观点看问题。
二、教学重难点教学重点：点斜式方程教学难点：会使用点斜式方程三、教学用具：直尺，多媒体四、教学过程1、复习导入，引入新知我们确定一条直线需要知道哪些条件呢？（直线上一点，直线的斜率）那么我们能不能用直线上这一点的坐标和直线的斜率把整条直线所有点的坐标应该满足的关系表达出来呢？这就是我们今天所要学习的课程《直线的方程》。
2、师生互动，探索新知探究一：在平面直角坐标系中，直线l过点p（0,3），斜率k=2，q(x,y)是直线l上不同于点p的任意一点，如ppt上图例所示。
通过上节课所学，我们可以得出什么？由于p,q都在这条直线上，我们就可以用这两点的坐标来表示直线l的斜率，可以得出公式：y-3x-0=2 那我们就可以的出方程y=2x+3 所以就有l上的任意一点坐标（x,y）都满足方程y=2x=3,满足方程y=2x+3的每一个（x,y）所对应的点都在直线l上。
因此我们可以的出结论：一般的如果一条直线l上任意一点的坐标(x,y)都满足一个方程，满足该方程的每一个数对（x,y）所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为l的直线方程，因此，当我们知道了直线上的一点p（x,y），和它的斜率，我们就可以求出直线方程。
3、知识剖析，深化理解我们刚刚知道了如何来求直线方程，那现在同学来做做这一个例子。
设q(x,y)是直线l上不同于点p的任意一点，由于点p,q都在l，求直线的方程。
设点p（x0，,y0），先表示出这个直线的额斜率是y-y0x-x0=k，然后可以推得公式y-y0=k(x-x0)那如果当x=x0，这个公式就没有意义，还有就是分母不能为零，所以这里要注意（x不能等于x0）1）过点，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？p(x0,y0)(x0,y0)，斜率为k的直线l上吗？2）坐标满足方程（1）的点都在经过p那么像这种由直线上一个点和一个斜率所求的方程，就称为直线方程的点斜式。
直线的方程教案
教学过程一、 复习预习1．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角,当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为直线倾斜角的取值范围是．2．直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用表示，即．倾斜角是的直线没有斜率；倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是．3．两条直线平行对于两条不重合的直线，其斜率分别为，有∥． 4．两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直．即．另外，要特别注意斜率不存在时的特殊情况．x x αα0︒0180α︒︒≤<α90︒k tan (90)k αα︒=≠90︒90︒(,)-∞+∞12,l l 12,k k 1l 212l k k ⇔=1-1-12121l l k k ⊥⇔⋅=-二、知识讲解考点1直线的五种形式点斜式：，不表示斜率不存在的直线 斜截式：，不表示斜率不存在的直线两点式：，不表示斜率为0和斜率不存在的直线截距式：，不表示斜率为0，斜率不存在和过原点的直线 一般式：（其中不同时为0）．)(00x x k y y -=-b kx y +=121121x x x x y y y y --=--1=+bya x 0=++C By Ax ,A B考点2两条直线的交点坐标将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解即是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．1112220,0.A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩考点3点到直线距离和两平行直线之间的距离 点到直线距离公式：点到直线的距离为：．两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为．),(00y x P 0:=++C By Ax l 2200BA CBy Ax d +++=1l 2l 1l 01=++C By Ax 2l 02=++C By Ax 1l 2l 2221BA C C d +-=三、 例题精析【例题1】【题干】若直线被两平行线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是（ ）① ② ③ ④ ⑤其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号） 【答案】：如下图正确答案①或⑤【解析】：本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离等知识，具有一定的综合性，突出考查数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，特别要注意平面几何知识的应用．m 1:10l x y -+=2:30l x y -+=m 15︒30︒45︒60︒75︒︒30【题干】：已知直线经过直线与的交点．若点到的距离为3，求的方程． 【答案】：解法一：由 得交点．若直线的斜率不存在，则的方程为，显然满足题意．若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为．由点到直线的距离公式得．解得．所以，直线的方程为．∴的方程为或．解法二：经过两已知直线交点的直线系方程为，即．，即，∴或． ∴的方程为或．【解析】：本题考查两直线的交点坐标及直线方程． 已知直线过一点求直线方程一般采用点斜式，但如果对直线斜率概念理解不清，容易忘记验证斜率不存在的直线． 本题也可用过两直线交点的直线系方程来解． 两种方法，都体现了先设后求的待定系数和方程思想．要注意提高解简单绝对值方程及无理方程的能力．l 250x y +-=20x y -=(5,0)A l l 250,20,x y x y +-=⎧⎨-=⎩(2,1)P l l 2x =l k l (12)y kx k =+-3d ==43k =l 4350x y --=l 2x =4350x y --=(25)(2)0x y x y λ+-+-=(2)(12)50x y λλ++--=3=22520λλ-+=2λ=12λ=l 2x =4350x y --=︒30【题干】：光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程．【答案】： ∵A （－3，4）关于x 轴的对称点A 1（－3，－4）在经x 轴反射的光线上，同样A 1（－3，－4）关于y 轴的对称点A 2（3，－4）在经过射入y 轴的反射线上， ∴264223A B k +==---． 故所求直线方程为y －6=－2（x +2）， 即2x +y －2=0． 【解析】：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称． 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题． 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透．【题干】：长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并说明自变量x 的取值范围；（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？【答案】：（1）一次函数的图象是直线，由直线过两点，，则直线的两点式方程为，整理得．由，解得． 所以y 与x 之间的函数关系式为，其中． （2）代入，得967551=-⨯=y ． 所以，该旅客应当购买9元行李票．【解析】：实际问题中两个变量之间的关系为线性关系，由图象上的两点即可写出直线的方程．(60,6)(80,10)6601068060y x --=--165y x =-1605y x =->30x >165y x =-30x >75x =165y x =-（千克）【题目】：求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.【答案】： 当在两轴上的截距，设所求直线，点代入得，解得． ∴ 所求直线为当在两轴上的截距，设所求直线，则，解得．∴ 所求直线方程为，即． 所以，所求直线方程为或．【解析】：直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程1x ya b+=，也可以用由图形性质，得到1k =-时截距相等，从而选用点斜式． 解题时特别要注意截距都是0的情况，这时选用函数y kx =．(3,2)P 0a b ==y kx =(3,2)P 23k=23k =23y x =0a b =≠1x ya b +=321a ba b=⎧⎪⎨+=⎪⎩5a b ==155x y +=50x y +-=23y x =50x y +-=四、课堂运用【基础】1.判断下列各对直线的位置关系． 如果相交，求出交点坐标． （1）直线1l ： 2x －3y +10=0 ， l 2： 3x +4y －2=0； （2）直线l 1： 1nx y n -=-， l 2： 2ny x n -=．解析：（1）解方程组231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ ， 得22x y =-⎧⎨=⎩． 所以，l 1与l 2相交，交点是（－2，2）．（2）解方程组12nx y n ny x n-=-⎧⎨-=⎩，消y 得 22(1)n x n n -=+．当1n =时，方程组无解，所以两直线无公共点，1l //2l ．当1n =-时，方程组有无数解，所以两直线有无数个公共点，l 1与l 2重合． 当1n ≠且1n ≠-，方程组有惟一解，得到1n x n =-，211n y n -=-， l 1与l 2相交． ∴当1n =时，1l //2l ；当1n =-时，l 1与l 2重合； 当1n ≠且1n ≠-，l 1与l 2相交，交点是21(,)11n n n n ---．2.在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为5，并求直线PM 的方程．解析：∵ 点P 在直线20x y -=上，∴ 可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即,解得3225a a ==或，∴3264(2,4)(,)55P 或． ∴直线PM 的方程为8585643248258555y x y x ----==----或， 即4340247640x y x y -+=--=或．【巩固】1．方程(2)=-表示（）．y k xA．通过点(2,0)-的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的直线D．通过点(2,0)且除去x轴的直线答案：C解析：已知的直线方程是点斜式，所以恒过的定点是（2,0），表示斜率存在的直线，所以正确答案是C。
2.2.2直线方程的几种形式1教案教师版(已打)
2.2.2 直线方程的几种形式(一)【学习要求】1．理解直线在坐标轴上的截距的概念．掌握直线方程的点斜式，斜截式，两点式，截距式，并理解它们存在的条件．2．能根据不同的条件，从直线方程的几种形式中选取适合的一种写出直线的方程．【学法指导】通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探研出直线的点斜式、斜截式、两点式方程；通过比较理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．方程y －y 0＝k(x －x 0)是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的，称为直线方程的 点斜式 ．2．方程y ＝kx ＋b 叫做直线方程的 斜截式 ．其中k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．3．经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ，称为直线方程的两点式． 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]给出一定点P 0和斜率k ，或给出两定点直线就可以唯一确定了．如果设直线上的任意一点P(x ，y)，那么，如何建立P 点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一 直线的点斜式方程问题1 已知两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)，如何求直线AB 的斜率？答： k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1. 问题2 在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？答： 已知直线上的一个点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线；已知两点也可以确定一条直线．问题3 已知直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，如何来求直线l 的方程？答： 设点P(x ，y)为直线l 上不同于P 0(x 0，y 0)的任意一点，则直线l 的斜率k 可由P 和P 0两点的坐标表示为k ＝y －y 0x －x 0，即y －y 0＝k(x －x 0)．小结： 方程y －y 0＝k(x －x 0)是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程．问题4 方程y －y 0＝k(x －x 0)，当k ＝0时，对应怎样的直线？答： 当k ＝0时，直线方程为y ＝y 0.这时，直线平行于x 轴或与x 轴重合．例1 求下列直线的方程：(1)直线l 1：过点(2,1)，k ＝－1；(2)直线l 2：过点(－2,1)和点(3，－3)．解： (1)直线l 1过点(2,1)，斜率k ＝－1.由直线的点斜式方程，得y －1＝－1(x －2)， 整理，得l 1的方程为x ＋y －3＝0.(2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程．直线l 2的斜率k ＝－3－13－(－2)＝－45，又因为过点(－2,1)，由直线的点斜式方程，得y －1＝－45[x －(－2)]， 整理，得l 2的方程为4x ＋5y ＋3＝0. 小结： 由点斜式写直线方程时，由于过P(x 0，y 0)的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜率存在时方程为y －y 0＝k(x －x 0)；(2)斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.跟踪训练1 求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x 轴平行；(3)过点P(5，－2)，且与y 轴平行； (4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解：(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k ＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0(x －3)，即y ＝－4.(3)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x ＝5.(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.探究点二 直线的斜截式方程问题1 如果一条直线通过点(0，b)，且斜率为k ，你能写出直线的点斜式方程吗？答： 由点斜式方程，得y －b ＝k(x －0)．整理，得y ＝kx ＋b.小结：方程y ＝kx ＋b 叫做直线的斜截式方程．k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．问题2 直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是什么？它是直线与x 轴的交点到原点的距离吗？截距的值一定是正数吗？ 答：直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是直线与x 轴交点的横坐标，不是直线与x 轴的交点到原点的距离，截距的值可能是正数也可能是零或者负数．问题3 观察方程y ＝kx ＋b ，它的形式具有什么特点？答：左端y 的系数恒为1右端x 的系数k 和常数项b 均有明显的几何意义：k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距．例2 求过点(0,1)，斜率为－12的直线的方程． 解：直线过点(0,1)，表明直线在y 轴上的截距为1，又直线斜率为－12，由直线的斜截式方程， 得y ＝－12x ＋1，即x ＋2y －2＝0. 小结： 已知直线的斜率求直线的方程，往往设直线方程的斜截式．跟踪训练2 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程． 解：设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b. 由已知可得12·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1， 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 探究点三 直线的两点式方程导引 已知直线上两点P 1(x 1，y 1), P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2, y 1≠y 2)，如何求出过这两点的直线方程呢？问题1 能不能把上述问题转化成已经解决的问题呢？怎样转化？答：能．可以把已知两点求直线方程问题转化成用点斜式方程来求直线方程的问题，先求出直线的斜率，再选两点中的一个点，这样就具备了用点斜式求方程的条件．问题2 已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，如何求直线的点斜式方程？ 如果将求出的点斜式方程写成比例式可化为怎样的形式？答：由于x 1≠x 2，所求直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 取P 1(x 1，y 1)和k ，由点斜式方程， 得y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)． 由y 1≠y 2，方程两边同除y 2－y 1， 得y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 小结：经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1叫做直线的两点式方程，简称两点式．问题3 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适用求什么样的直线方程？答： 两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．问题4 若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)中有x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线P 1P 2有没有两点式方程？如何求直线P 1P 2的方程？ 答： 没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线P 1P 2平行于y 轴，直线方程为x －x 1＝0，或x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线P 1P 2平行于x 轴，直线方程为y －y 1＝0，或y ＝y 1.例3 已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0，b)，其中a ≠0，b ≠0，求l 的方程．解： 将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a，即x a ＋y b ＝1. 小结：我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程x a ＋y b＝1由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程． 跟踪训练3 已知△ABC 的顶点A(1，－1)，线段BC 中点D ⎝⎛⎭⎫3，32，求BC 边上的中线所在直线的方程． 解：线段BC 中点D ⎝⎛⎭⎫3，32△ABC 的顶点A(1，－1) ∴由两点式可得直线AD 的方程：y ＋132＋1＝x －13－1， 即5x －4y －9＝0.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．经过点(－2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是 ( )A ．y ＋2＝33(x －2)B ．y ＋2＝3(x －2)C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y －2＝3(x ＋2) 解析：由题意直线的斜率k ＝tan 30°＝33， 又因直线经过点(－2，2)， 所以直线方程为y －2＝33(x ＋2)． 2．直线l 经过点P 0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l 的方程，并画出直线l.解： 直线l 经过点P 0(－2,3)，斜率是k ＝tan 45°＝1，代入点斜式方程得y －3＝x ＋2. 整理，得x －y ＋5＝0，画出直线l ，如图．3．已知直线l 过点P(2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，求直线l 的方程．解： 由x －4y ＋3＝0，得y ＝14x ＋34，其斜率为14， 故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点P(2,1)， 所以直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 课堂小结：1．确定直线方程需要两个条件，如点斜式需要直线斜率与直线上一点坐标；斜截式需要直线斜率与直线在y 轴上截距；两点式需要直线上两点坐标；截距式需要直线在两坐标轴上的截距．无论使用哪一种直线方程形式，都应明确其限制条件，最后没有特殊说明，应将直线方程化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式．2．应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确．设直线方程的截距式时，应注意是否漏掉过原点的直线，设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线．。
第一章 直线教案 直线方程的点斜式、斜截式 教案
第一章直线教案直线方程的点斜式、斜截式教案教学目标1．通过教学，学生能掌握直线方程的两种表现形式，即点斜式、斜截式．2．通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题；尊重从特殊→一般→特殊的认识规律．3．培养学生的探索、概括能力，同时也培养学生思维的科学性与创造性．教学重点与难点引导学生根据直线这一结论探讨确定一直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程．教学过程师：在初中，我们学习过一次函数y=kx+b及其图象l(一条直线)，下面请同学们思考以下几个问题：1．对函数y=kx+b来说，当不区分自变量x和y时，我们可以将y=kx+b叫做什么？(二元一次方程) 2．对于直线l来说，k和b在l中表示什么？(“k”表示直线l的方向，其值满足k=tanθ，因此，把k 叫做直线l的斜率；“b”表示直线l与y轴交点的纵坐标，又叫做直线l在y轴上的纵截距．)3．方程y=kx+b与直线l之间存在着什么样的关系？(以这个方程的解为坐标的点都是这条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．)师：你怎么知道以方程y=kx+b的解为坐标的点都是直线l上的点呢？你都验证了吗？生：……师：事实上，可以证明证明：设P(x1，y1)在l上，则由相似三角形性质，所以y1=kx1+b，即(x1，y1)是方程y=kx+b的解．反之：设(x1，y1)是y=kx+b的解，则师：通过上述问题，我们弄清了方程y=kx+b的解和直线l上的点之间的关系，它们是一种什么关系呢？生：一一对应关系．师：很好！有了这种一一对应关系，那么我们在研究直线时，就可以通过方程来考虑，这也正是解析几何研究问题的基本思想．现在我们不妨考虑一下，如果把直线当做结论，那么，确定一条直线需要几个条件？生：两个条件．师：哪两个条件？生甲：需要知道k和b的值就可以了．生乙：因为两点确定一条直线，所以只要知道两个点就可以确定一条直线．师：两位同学说得都很好，还有其它条件吗？生：……师：好！大家提出了许多种，今天先讨论其中的两种．若已知k、b，求直线方程．生：设P(x，y)为l上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式得：师：推导过程很正确！我们能不能把题目再引申一下，使其更具有一般性？生：把条件改为：已知直线l的斜率为k，且经过点P1(x1，y1)，求直线l的方程．师：条件改得很好！能解决这个问题吗？生：设P(x，y)为l上任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得：师：在解决上面的两个问题中，大家都用到了k值，若k不存在的情况下其直线方程怎么表示？生：若k不存在，则直线方程为x=0或x=x1．师：很好！把上面的问题归纳一下，应分为几种情况加以考虑？生：两种．1)当k存在时，经过点P1(x1，y1)的直钱方程为y-y1=k(x-x1)；2)当k不存在时，经过点P1(x1，y1)的直线方程为x=x1．师：总结得不错！通过总结，大家注意到，在运用方程y=kx+b和y-y1=k(x-x1)解决问题时的前提条件是k 存在．另外要知道这两个方程之间的联系，即方程y=kx+b是方程y-y1=k(x-x1)的特殊形式，但两个方程表示的图形都是直线．为了以后应用起来方便，我们不妨给这两个方程分别取个名字．下面请大家集思广益，给这两个方程取个贴切、易记的名字．生：直线方程y-y1=k(x-x1)是由直线上一点和直线的斜率确定的，因此，可以叫做直线方程的点斜式；直线方程y=kx+b是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的，所以，可以叫做直线方程的斜截式．师：这两个名字都指出了方程存在的前提条件，因此，便于同学们理解和记忆，以后大家可以继续使用．下面请大家根据今天课上所讨论的内容解决有关问题．例1 已知直线l的倾斜角为0°，求直线l经过一点P1(x1，y1)的方程．(打投影仪)学生口答：利用点斜式得直线l的方程是y=y1．例2 已知直线l的倾斜角为90°时，求直线l经过一点P1(x1，y1)的方程．(打投影仪)学生口答：因为直线l的斜率不存在，所以经过点P1(x1，y1)的直线方程为x=x1．例3 一条直线经过点P1(-2，3)，倾斜角α=45°，求直线的方程，并画出图形．(打投影仪)师：这是课本的例题，解完后自行对照课本．(同时请一位同学板演)师：通过前面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立条件？生：两个．师：如果已知直线l过一点，能否确定直线在坐标系中的位置？生：不能确定，可以得到无数条经过这一点的直线．(教师可以用电脑演示)师：若只知道直线l的斜率呢？生：可以得到无数条斜率相同的直线．(教师用电脑演示)师：像这样的问题在我们今后学完有关直线的问题以后再做进一步探讨．本节课需要大家理解；确定一条直线必须具备两个独立条件，并且会根据所给条件求出直线的方程．下面，请大家回忆一下本节课所讨论的内容．生：知道了直线方程的两种表现形式：点斜式、斜截式．师：应用这两个方程时应注意什么？生：注意方程存在的条件是k存在．师：在今天这节课上，有的同学还提到了另外几种确定一条直线的条件，请同学们课下思考．作业：第20页，练习1，2，3．第26页，习题二：1，2(1)、(2)、(3)．设计说明本节课的教学过程主要有以下几个部分：1．复习引入，通过问题逐步引导学生发现方程y=kx+b与直线l的一一对应关系，从而为研究直线即可通过研究方程而得到．2．提出问题：1)确定一条直线需要具备几个独立条件？2)根据条件求出直线的方程．3．需猜想：1)确定一条直线需要知道k、b即可；2)确定一条直线需要知道直线l经过两个已知点；3)……4．根据猜想：已知k、b，求直线l的方程；已知k，点P1(x1，y1)，求经过点P1和斜率为k的直线方程．5．得到直线方程的点斜式、斜截式及方程存在的条件．6．已知一个条件，不能确定唯一的一条直线，进一步体会确定一条直线需要具备两个独立条件．7．例题、小结、作业．第一个环节的设计主要考虑了初、高中数学教材中相关知识点的衔接．因为搞好初、高中数学教学的衔接，从教学管理的角度看，适应学生的心理特征及认知规律．为此，从初中代数中的一次函数y=kx+b引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题，即求直线的方程的问题上去．在引入过程中，注意先帮助学生弄清直线与方程为一一对应关系，理解了要研究直线可从研究方程入手，以及要研究方程的特征，也可以从研究直线考虑，突出了解析几何研究问题的思想方法．第二、三、四环节的设计体现了解析法的基本思想在于把几何问题代数化，图形性质坐标化，其框图如下：考虑到传统的教学模式都是根据已知条件求结论，按照“MM教育方式”，应培养学生的探索性，因此在注重学生思维的科学性上，设计了根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件是什么？然后再根据猜想得到的条件求直线的方程．从教学内容上没有脱离教材，但从教法上比较注重创设问题情境，揭示知识的形成发展过程，不仅要让学生知其然，更应让学生知其所以然，帮助学生把研究的对象从复杂的背景中分离出来，突出知识的本质特点，讲清知识的来龙去脉，揭示新知识(根据已知条件，求出直线的方程)的提出过程，使学生对所学知识理解得更加深刻．关于直线的许多问题中，都要涉及到斜率和截距的问题，用斜率和截距来解决有关问题也是高中学生学习的需要．另外，在学生得出直线方程的点斜式和斜截式之后，教师要有意识地引导学生注意这两个方程的存在条件是k存在，若k不存在时应作为特殊情况加以考虑，在此涉及到了分类讨论的思想．在高中数学中，用斜率和截距来解决直线及其方程的问题，其中以下两种题型必不可少．1．已知直线方程研究其几何性质的问题例1 如果AC＜0且BC＜0，那么Ax+By+C=0不通过[ ]．分析由AC＜0且BC＜0可得AB＞0，直线Ax+By+C=0的限，故选(C)．显然，直线的斜率和截距是刻画直线几何性质的，是研究这类问题的关键．2．求直线方程例2 在平面直角坐标系xoy中，过点P(-3，4)且与直线OP夹角例3 过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是____．分析两坐标轴截距相等包含了两种情况：截距不为零，截距为直线过原点和点(5，2)，可求得直线方程为2x-5y=0，所以所求直线方程为x+y-7=0或2x-5y=0．例4 求过点P(0，1)的直线l的方程，使l夹在两直线l1∶x-3y+10=0与l2∶2x+y-8=0之间的线段恰被P 点平分．解设过点P(O，1)的直线方程为y=kx+1(斜率k不存在时，显然不满足条件)，与直线l1、l2分别交于A、B两点(如图1-19)上述几例是用待定系数法求直线方程，解这类题的要点是：通过对已知条件的分析，寻求满足直线方程的两个独立条件，列出直线方程求待定系数．在使用直线方程时要注意，方程成立的条件，如点斜式、斜截式要求斜率存在，截距式要求截距不为零等．为了使学生理解求一条直线的方程需要具备两个独立条件，在本节课的最后部分我们强调直线若满足一个条件，那么这条直线是不能唯一确定的，所以在直线这一章学完以后，还要准备适当地补充直线系的概念及直线系的基本类型题．一般地，我们把满足一个共同条件的直线的集合(直线的系列)称为一个直线系，把满足直线系的方程叫做直线系方程．直线系的基本类型有：平行直线系(直线系中的所有直线的斜率k是同一个常数)；共点直线系(直线系中的直线都过同一个点)．引理若两相交曲线为C1∶f(x，y)= 0，C2∶g(x，y)=0，则曲线系C∶f(x，y) +λg(x，y)=0(参数λ∈R)，必通过C1与C2的所有的交点．定理已知两条相交直线l1∶a1x+b1y+c1=0和l2∶a2x+b2y+c2=0，则a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0是过l1和l2交点的直线系(不包括l2)，式中的λ是一个任意实数．例1 填写满足下列条件的直线系方程(1)斜率为-2的直线系方程是(y=-2x+b)．(3)经过点(-2，-3)的直线系方程是(y+3=k(x+2)或x=-2)．例2 应用上述定理，求经过l1∶2x-3y+2=0与l2∶3x-4y-2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程．(1)过原点；(2)平行于直线2x-y-6=0；(3)垂直于直线4x+3y-4=0．解过l1、l2交点的直线系是：l∶2x-3y+2+λ( 3x- 4y- 2)= 0，①即：(2+3λ)x+(-3-4λ)y+(2-2λ)=0，②(1)因为l过原点，所以2-2λ=0，λ=1代入②得：5x-7y=0．(2)因为l平行于直线2x-y-6=0，2x-y-18=0．(3)因为l垂直于4x+3y-4=0，所以4(2+3λ)-3(3+4λ)=0，即-1=0，此方程无解．这说明①中不存在与直线4x+3y-4=0相垂直的直线，事实上，①不含l2，而l2恰恰是过l1，l2交点且与4x+3y-4=0垂直的直线，所以所求直线就是l2∶3x-4y-2=0．例3 不论m取什么值，直线(2m-1) x+(m+3) y-m+11=0必过一定点，试证明之，并求此定点．x=2，y=-3．将x=2，y=-3代入直线系方程左边，则(2m-1)·2+(m+ 3)·(-3)- m+ 11= 0，即证明直线系过定点( 2，- 3)．解法二将原方程变形为：(-x+3y+11)+m(2x+y-1)=0，这是经过以下两直线交点的直线系解方程组，得这两条直线交点坐标为(2，-3)，不论m取何值时，已知直线必过点(2，-3)．以上是教案设计过程中的几点说明，此外，在教学过程中还应重视数学思想方法和数学语言的教学．因为数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为解决问题能力的桥梁．数学语言是进行数学思维和数学交流的工具，注重数学语言训练，有助于理解数学知识和方法，有助于数学交流，有助于学生的数学应用意识的培养．为此，本教案中涉及到了由特殊→一般→特殊的认知规律，运用了归纳、猜想等合情推理方法，在每个环节的设计中，要求学生对每一个问题都要独立思考，在学生遭遇挫折后，要引导他们进行正确归因，帮助他们找出症结，加强个别指导，激发不同层次的学生的学习兴趣．。
直线方程的一般式教案
直线方程的一般式教学目标：1、知识目标：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵理解直线方程五种形式之间的内在联系，掌握直线方程几种形式的互化，从整体上把握直线方程；2、能力目标：⑴通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析问题、讨论问题的能力。
⑵学会分类讨论思想解决数学问题。
3、情感目标：(1) 通过直线方程几种形式互化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点(2)体验数学发现和探索的历程，培养创新意识教学重点、难点：1、重点：(1)掌握直线方程的一般形式，以及点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化;(2)让学生明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线;2、难点：(1)对直线方程一般式的理解与应用,进一步体会解析几何学科的特点。
(2)理解直线方程几种形式之间的内在联系，能从整体上把握直线的方程．教学方法引导探究法、讨论法教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑。
教学过程一、创设情境，引入新课练习：由下列条件，写出直线的方程：（1）经过点A （8,2），斜率是-2 Y-2=-2(x-8) ⇒ 2x+y-18=0 （2）经过点B （0,-2），倾角为4π； y=x-2 ⇒x-y-2=0 （3）经过点P 1（3,2），P 2（5,4） 242353--=--y x ⇒x-y-1=0 （4）在x 轴，y 轴上的截距分别为 2， 3.132=+yx ⇒2x+3y-6=0 师生活动：通过解题和讨论，总结前面学过的直线方程的几种特殊形式的条件、方程和使用范围如下：[设计意图]：由实例得出：直线方程的这几种特殊形式都具有局限性，我们需要找到一种形式的直线方程，能够表示坐标平面内的所有直线。
复习旧知识，为新知识的引入做好铺垫。
问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？ （这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程） 猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。
直线系方程和圆系方程教案
直线系方程和圆系方程教案一、直线系方程。
1. 直线的一般方程。
在平面直角坐标系中，一条直线可以用一般方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数且A和B不全为零。
这种形式的方程称为直线的一般方程。
2. 直线的斜截式方程。
直线的斜截式方程是直线方程的一种特殊形式，它可以表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点。
3. 直线的点斜式方程。
直线的点斜式方程是直线方程的另一种特殊形式，它可以表示为y y1 = k(x x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，k为直线的斜率。
4. 直线的两点式方程。
直线的两点式方程是直线方程的另一种特殊形式，它可以表示为(y y1)/(y2 y1) = (x x1)/(x2 x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的两点。
二、圆系方程。
1. 圆的标准方程。
在平面直角坐标系中，一个圆可以用标准方程表示为(x h)² + (y k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
2. 圆的一般方程。
圆的一般方程是圆方程的一种特殊形式，它可以表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数且D² + E² 4F > 0。
3. 圆的参数方程。
圆的参数方程是圆方程的另一种特殊形式，它可以表示为x =h + rcosθ，y = k + rsinθ，其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径，θ为参数。
4. 圆的直径式方程。
圆的直径式方程是圆方程的另一种特殊形式，它可以表示为(x x1)(x x2) + (y y1)(y y2) = 0，其中(x1, y1)和(x2, y2)为圆上的两个点。
三、教学内容。
1. 直线系方程的基本概念和性质。
直线的一般方程、斜截式方程、点斜式方程和两点式方程的概念和表示方法。
直线的斜率和截距的概念和计算方法。
高中数学直线的方程教案
高中数学直线的方程教案高中数学直线的方程教案1教学目标：（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程（、不同时为0）的对应关系及其证明．教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：下面给出教学实施过程设计的简要思路：教学设计思路：（一）引入的设计前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：问：说出过点（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”．启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”（二）本节主体内容教学的设计这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案：思路一：…思路二：………教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率存在或不存在．当存在时，直线的截距也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程．当不存在时，直线的方程可表示为形式的方程，它是二元一次方程吗？学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的．综合两种情况，我们得出如下结论：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程．至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成或的形式，准确地说应该是“要么形如这样，要么形如这样的方程”．同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．这样上边的结论可以表述如下：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如（其中、不同时为0）的二元一次方程．启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？【问题2】任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程（其中、不同时为0）系数是否为0恰好对应斜率是否存在，即（1）当时，方程可化为这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线．（2）当时，由于、不同时为0，必有，方程可化为这表示一条与轴垂直的直线．因此，得到结论：在平面直角坐标系中，任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．为方便，我们把（其中、不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．【动画演示】演示“直线各参数”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线．至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的'抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系．（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计略高中数学直线的方程教案2一、教学目标【知识与技能】进一步掌握直线方程的各种形式，会根据条件求直线的方程。
直线方程优质课教案
直线方程优质课教案一、教学目标。
1. 知识目标，学生能够掌握直线方程的基本概念、一般形式、斜截式和点斜式，并能够灵活运用直线方程解决实际问题。
2. 能力目标，培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力，提高学生的数学思维和分析问题的能力。
3. 情感目标，激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，培养学生的合作精神和团队意识。
二、教学重点和难点。
1. 教学重点，直线方程的一般形式、斜截式和点斜式的转化和应用。
2. 教学难点，如何根据实际问题建立直线方程，并求解相关问题。
三、教学过程。
1. 导入新课。
教师通过提问和引入实际问题，引起学生的兴趣，激发学生的思维，引出直线方程的概念和应用场景。
2. 概念讲解。
首先，教师向学生介绍直线的定义和性质，然后引入直线方程的一般形式、斜截式和点斜式的概念，通过具体的例子向学生解释这三种形式的含义和应用场景。
3. 例题讲解。
教师通过几个具体的例题，向学生展示如何根据实际问题建立直线方程，并求解相关问题。
重点讲解如何根据直线的斜率和截距求解直线方程，以及如何根据直线上的一点和斜率求解直线方程。
4. 练习与巩固。
教师设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，并在课后完成相关的作业。
通过练习，巩固学生对直线方程的掌握程度，培养学生的解决问题的能力。
5. 拓展与应用。
教师引导学生通过实际问题，拓展直线方程的应用，让学生在实际问题中运用直线方程解决相关问题，培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
6. 总结与反思。
教师对本节课的内容进行总结，让学生对直线方程的相关知识有一个清晰的概念，引导学生对本节课的学习进行反思，提出问题和建议。
四、教学反馈。
教师通过课堂练习、作业和课堂表现等多种方式对学生的学习情况进行反馈，及时发现学生的问题和困惑，及时进行指导和帮助。
五、教学资源。
教师准备黑板、彩色粉笔、教学PPT等教学资源，让学生更直观地理解直线方程的相关概念和应用。
六、教学评价。
2.2.2直线方程的几种形式2教案教师版
2.2.2 直线方程的几种形式(二)【学习要求】1．理解直线方程的一般式的特点及与方程其它形式的区别与联系．2．会进行直线方程的一般式与其它几种形式之间的相互转化，进一步掌握求直线方程的方法． 【学法指导】通过探究二元一次方程与直线的关系，掌握直线方程的一般式；通过直线方程五种形式间的相互转化，学会用分类讨论的思想方法解决问题，认识事物之间的普遍联系与相互转化. 填一填：知识要点、记下疑难点1.直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程；关于x ，y 的二元一次图象又都是一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式． 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x ，y 这两个变量，并且x ，y 的次数都是一次的，即它们都是关于x ，y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？本节我们就来研究这个问题． 探究点 直线与二元一次方程的关系问题1 前面我们学习了直线方程哪几种形式？分别写出其方程？答： 点斜式：已知直线上一点P 1(x 1，y 1)的坐标，和直线的斜率k ，则直线的方程是y －y 1＝k(x －x 1)； 斜截式：已知直线的斜率k ，和直线在y 轴上的截距b ，则直线方程是y ＝kx ＋b ；两点式：已知直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则直线的方程是y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1；截距式：已知直线在x 轴、y 轴上的截距为a 、b ，则直线的方程是x a ＋yb＝1.问题2 上述四种直线方程，能否写成 Ax ＋By ＋C ＝0的统一形式？答： 都能写成Ax ＋By ＋C ＝0的形式，点斜式：y －y 1＝k(x －x 1)，可化为kx ＋(－1)y ＋y 1－kx 1＝0；斜截式：y ＝kx ＋b ，可化为kx ＋(－1)y ＋b ＝0；当k 不存在时，直线为y 轴或平行于y 轴的直线，方程为x ＝x 1， 它可化为x ＋0·y －x 1＝0，此方程也是关于x ，y 的二元一次方程； y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1可化为(y 2－y 1)x ＋(x 1－x 2)y ＋x 1(y 1－y 2)＋y 1(x 2－x 1)＝0； x a ＋yb＝1可化为bx ＋ay －ab ＝0. 小结：直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程． 问题3 关于x ，y 的二元一次方程的一般形式是什么？答：关于x ，y 的二元一次方程的一般形式是Ax ＋By ＋C ＝0，其中A ，B 不同时为零．问题4 每一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？ 答： 都表示一条直线，原因如下：当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A B x －C B ，它表示过点(0，－C B )，斜率为－AB的直线．当B ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＋C ＝0，即x ＝－CA，它表示与y 轴平行或重合的一条直线．小结：关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 问题5 直线与二元一次方程具有什么样的关系？答：直线方程都是关于x ，y 的二元一次方程；关于x ，y 的二元一次方程又都表示一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 问题6 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？答：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x 轴垂直的直线． 问题7 在方程Ax ＋By ＋C ＝ 0(A ，B 不同时为零)中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线(1)平行于x 轴；(2)平行于y 轴；(3)与x 轴重合；(4)与y 轴重合．答：当A ＝0时，方程变为y ＝－CB ，当C ≠0时表示的直线为平行于x 轴，当C ＝0时与x 轴重合；当B ＝0时，方程变为x ＝－CA，当C ≠0时表示的直线为平行于y 轴，当C ＝0时与y 轴重合．例1 已知直线通过点(－2,5)，且斜率为－34，求此直线的一般式方程．解：由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理，得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.小结：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列；x 项的系数为正；x ，y 的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．跟踪训练1 若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y －4m ＋1＝0表示一条直线，求实数m 的取值范围．解：方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3＝0与m 2－m ＝0不能同时成立．解⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0， 得m ＝1. 故m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，＋∞)． 例2 求直线l ：2x －3y ＋6＝0的斜率及在y 轴上的截距．解：已知直线方程可化为y ＝23x ＋2，所以直线l 的斜率k ＝23，在y 轴上的截距是2.小结：求直线方程，表面上需求A 、B 、C 三个系数，由于A 、B 不同时为零，若A≠0，则方程化为x ＋B A y ＋CA＝0，只需确定B A 、C A 的值；若B≠0，则方程化为A B x ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B 、CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．这样在以后求直线方程时会有章可循．跟踪训练2 利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程．解：设直线为Ax ＋By ＋C ＝0，∵直线过点(0,3)代入直线方程得3B ＝－C ，B ＝－C 3，由三角形面积为6，得⎪⎪⎪⎪C 2AB ＝12，∴A ＝±C 4，∴方程为±C 4x －C3y ＋C ＝0， 所求直线方程为3x －4y ＋12＝0或3x ＋4y －12＝0.例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 恒过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)证明：将直线l 的方程整理得y －35＝a(x －15)， ∴l 的斜率为a ，且过定点A(15，35)，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故直线l 恒过第一象限．(2)解：直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.而直线l 的方程整理得y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， ∵l 不经过第二象限，∴k ＝a ≥3. 小结： 针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．跟踪训练3 已知直线mx ＋ny ＋12＝0在x 轴，y 轴上的截距分别是－3和4，求m ，n.解：方法一：将方程mx ＋ny ＋12＝0化为截距式得：x －12m ＋y－12n ＝1，因此有⎩⎨⎧－12m ＝－3－12n ＝4，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝－3.方法二 由截距意义知，直线经过A(－3,0)和B(0,4)两点，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ m·(－3)＋n·0＋12＝0m·0＋n·4＋12＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝－3. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1．如果方程Ax ＋By ＋C ＝0表示的直线是y 轴，则A 、B 、C 满足 ( D ) A ．B·C ＝0 B ．A ≠0 C ．B·C ＝0且A ≠0 D ．A ≠0且B ＝C ＝0 2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则 ( D ) A ．C ＝0，B>0 B ．A>0，B>0，C ＝0 C ．AB<0，C ＝0 D ．AB>0，C ＝0 解析： 通过直线的斜率和截距进行判断．3．直线x ＋2y －1＝0在x 轴上的截距为________． 解析： 令y ＝0，得x ＝1. 课堂小结：1．直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：(1)移项，By ＝－Ax －C ；(2)当B≠0时，得y ＝－A B x －CB.2．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－CB，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－CA，它表示一条与x 轴垂直的直线．。
高中数学必修二教案-2.2.2 直线方程的几种形式1-人教B版
（4）过点（1，2），倾斜角为30；
（5）截距为－3，倾斜角为45．
解 (1)直线的方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x；
(2)直线的方程为y－5＝1(x－4)，即y＝x+1；
(3)直线的斜率为k＝tan 0＝0，因此方程为y－5＝0(x－5)，即y＝5．
(4)直线的斜率为k＝tan 30＝ ，因此方程为y－2＝ (x－1)，即y＝ x＋2－ ；
教学难点
理解直线的点斜式方程的推导过程
教学方法
讲练结合、小组合作探究
教具
多媒体
教学过程
组织教学
导入新课
新课教学
练习
小结
作业
1．直线倾斜角的定义及范围是什么？
2．已知P1(x1，y1)和P2(x2，y2)且x1≠x2，则直线的斜率是多少？
3．观察下图．
探究一
如果直线的倾斜角为60（即斜率为 ），而且通过点（0，0），那么这样的直线是唯一的吗？
教学题目
2.2.2直线方程的几种形式
课型
新授课
教学目的
1. 掌握直线的点斜式、斜截式，能根据条件熟练地求出直线的点斜式和斜截式方程．
2. 了解根据直线上两点坐标求直线方程的方法．
3.让学生从学习中进一步体会用代数方法解决几何问题的优点，体会用数形结合的方法解决问题的魅力．
教学重点
直线的点斜式与斜截式方程．
解 （1）直线的斜率
k＝ ＝5，
所以直线方程为y－0＝5(x－0)，即
y＝5x；
（2）直线的斜率
k＝ ＝－ ，
所以由直线的斜截式方程得
y＝－ x＋6．
练习二
求过点（－2，2）和（0，－2）的直线方程．
2.2.2直线方程的几种形式1教案教师版(已打)
2.2.2 直线方程的几种形式(一)【学习要求】1．理解直线在坐标轴上的截距的概念．掌握直线方程的点斜式，斜截式，两点式，截距式，并理解它们存在的条件．2．能根据不同的条件，从直线方程的几种形式中选取适合的一种写出直线的方程．【学法指导】通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探研出直线的点斜式、斜截式、两点式方程；通过比较理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．方程y －y 0＝k(x －x 0)是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的，称为直线方程的 点斜式 ．2．方程y ＝kx ＋b 叫做直线方程的 斜截式 ．其中k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．3．经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ，称为直线方程的两点式． 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]给出一定点P 0和斜率k ，或给出两定点直线就可以唯一确定了．如果设直线上的任意一点P(x ，y)，那么，如何建立P 点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一 直线的点斜式方程问题1 已知两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)，如何求直线AB 的斜率？答： k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1. 问题2 在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？答： 已知直线上的一个点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线；已知两点也可以确定一条直线．问题3 已知直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，如何来求直线l 的方程？答： 设点P(x ，y)为直线l 上不同于P 0(x 0，y 0)的任意一点，则直线l 的斜率k 可由P 和P 0两点的坐标表示为k ＝y －y 0x －x 0，即y －y 0＝k(x －x 0)．小结： 方程y －y 0＝k(x －x 0)是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程．问题4 方程y －y 0＝k(x －x 0)，当k ＝0时，对应怎样的直线？答： 当k ＝0时，直线方程为y ＝y 0.这时，直线平行于x 轴或与x 轴重合．例1 求下列直线的方程：(1)直线l 1：过点(2,1)，k ＝－1；(2)直线l 2：过点(－2,1)和点(3，－3)．解： (1)直线l 1过点(2,1)，斜率k ＝－1.由直线的点斜式方程，得y －1＝－1(x －2)， 整理，得l 1的方程为x ＋y －3＝0.(2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程．直线l 2的斜率k ＝－3－13－(－2)＝－45，又因为过点(－2,1)，由直线的点斜式方程，得y －1＝－45[x －(－2)]， 整理，得l 2的方程为4x ＋5y ＋3＝0. 小结： 由点斜式写直线方程时，由于过P(x 0，y 0)的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜率存在时方程为y －y 0＝k(x －x 0)；(2)斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.跟踪训练1 求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x 轴平行；(3)过点P(5，－2)，且与y 轴平行； (4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解：(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k ＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0(x －3)，即y ＝－4.(3)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x ＝5.(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.探究点二 直线的斜截式方程问题1 如果一条直线通过点(0，b)，且斜率为k ，你能写出直线的点斜式方程吗？答： 由点斜式方程，得y －b ＝k(x －0)．整理，得y ＝kx ＋b.小结：方程y ＝kx ＋b 叫做直线的斜截式方程．k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．问题2 直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是什么？它是直线与x 轴的交点到原点的距离吗？截距的值一定是正数吗？ 答：直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是直线与x 轴交点的横坐标，不是直线与x 轴的交点到原点的距离，截距的值可能是正数也可能是零或者负数．问题3 观察方程y ＝kx ＋b ，它的形式具有什么特点？答：左端y 的系数恒为1右端x 的系数k 和常数项b 均有明显的几何意义：k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距．例2 求过点(0,1)，斜率为－12的直线的方程． 解：直线过点(0,1)，表明直线在y 轴上的截距为1，又直线斜率为－12，由直线的斜截式方程， 得y ＝－12x ＋1，即x ＋2y －2＝0. 小结： 已知直线的斜率求直线的方程，往往设直线方程的斜截式．跟踪训练2 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程． 解：设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b. 由已知可得12·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1， 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 探究点三 直线的两点式方程导引 已知直线上两点P 1(x 1，y 1), P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2, y 1≠y 2)，如何求出过这两点的直线方程呢？问题1 能不能把上述问题转化成已经解决的问题呢？怎样转化？答：能．可以把已知两点求直线方程问题转化成用点斜式方程来求直线方程的问题，先求出直线的斜率，再选两点中的一个点，这样就具备了用点斜式求方程的条件．问题2 已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，如何求直线的点斜式方程？ 如果将求出的点斜式方程写成比例式可化为怎样的形式？答：由于x 1≠x 2，所求直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 取P 1(x 1，y 1)和k ，由点斜式方程， 得y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)． 由y 1≠y 2，方程两边同除y 2－y 1， 得y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 小结：经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1叫做直线的两点式方程，简称两点式．问题3 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适用求什么样的直线方程？答： 两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．问题4 若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)中有x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线P 1P 2有没有两点式方程？如何求直线P 1P 2的方程？ 答： 没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线P 1P 2平行于y 轴，直线方程为x －x 1＝0，或x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线P 1P 2平行于x 轴，直线方程为y －y 1＝0，或y ＝y 1.例3 已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0，b)，其中a ≠0，b ≠0，求l 的方程．解： 将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a，即x a ＋y b ＝1. 小结：我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程x a ＋y b＝1由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程． 跟踪训练3 已知△ABC 的顶点A(1，－1)，线段BC 中点D ⎝⎛⎭⎫3，32，求BC 边上的中线所在直线的方程． 解：线段BC 中点D ⎝⎛⎭⎫3，32△ABC 的顶点A(1，－1) ∴由两点式可得直线AD 的方程：y ＋132＋1＝x －13－1， 即5x －4y －9＝0.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．经过点(－2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是 ( )A ．y ＋2＝33(x －2)B ．y ＋2＝3(x －2)C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y －2＝3(x ＋2) 解析：由题意直线的斜率k ＝tan 30°＝33， 又因直线经过点(－2，2)， 所以直线方程为y －2＝33(x ＋2)． 2．直线l 经过点P 0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l 的方程，并画出直线l.解： 直线l 经过点P 0(－2,3)，斜率是k ＝tan 45°＝1，代入点斜式方程得y －3＝x ＋2. 整理，得x －y ＋5＝0，画出直线l ，如图．3．已知直线l 过点P(2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，求直线l 的方程．解： 由x －4y ＋3＝0，得y ＝14x ＋34，其斜率为14， 故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点P(2,1)， 所以直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 课堂小结：1．确定直线方程需要两个条件，如点斜式需要直线斜率与直线上一点坐标；斜截式需要直线斜率与直线在y 轴上截距；两点式需要直线上两点坐标；截距式需要直线在两坐标轴上的截距．无论使用哪一种直线方程形式，都应明确其限制条件，最后没有特殊说明，应将直线方程化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式．2．应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确．设直线方程的截距式时，应注意是否漏掉过原点的直线，设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线．。
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式教案1
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x 轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．解：2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；3．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．解：(图略)六、板书设计。
《直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式》教案(公开课)
《直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式》教案(公开课)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式引言：本次公开课的教案将介绍直线方程的几种常用表示方法，包括点斜式、斜截式、两点式和截距式。
通过教学的方式，学生将学习如何将直线的几何特征与数学方程相对应，从而更好地理解和运用直线方程。
本教案分为四个部分，分别对应于不同的直线方程形式，每个部分包含示例和练习，以促进学生的理解和掌握。
一、点斜式点斜式是直线方程的一种常见表示方法，它用一点和直线的斜率来描述直线的位置和倾斜程度。
点斜式的一般形式为 y - y1 = k(x - x1)，其中 (x1, y1) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。
示例：假设直线上的一点为 A(2, 3)，斜率为 1/2。
我们可以使用点斜式来表示直线的方程：y - 3 = 1/2(x - 2)练习：请根据给定的点斜式方程，确定直线上的点和斜率，并画出直线。
1. y - 4 = 2(x - 1)2. y + 2 = -1/3(x - 5)二、斜截式斜截式是描述直线方程的常用形式之一，它用直线与 y 轴的交点和直线的斜率来表示直线的位置和倾斜程度。
斜截式的一般形式为 y = kx + b，其中 k 是直线的斜率，b 是直线与 y 轴的交点。
示例：设直线与 y 轴的交点为 B(0, -2)，斜率为 -3/4。
我们可以使用斜截式来表示直线的方程：y = -3/4x - 2练习：请根据给定的斜截式方程，确定直线与 y 轴的交点和斜率，并画出直线。
1. y = 2x + 32. y = -1/2x - 4三、两点式两点式是直线方程的另一种表示形式，它使用直线上的两个点来确定直线的位置。
两点式的一般形式为 (y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 -x1)，其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 是直线上的两个点。
示例：假设直线上的两个点为 A(1, 2) 和 B(3, 4)。
高中数学教案直线方程
高中数学教案直线方程
教学目标：
1. 理解直线的定义及直线方程的含义；
2. 掌握利用点斜式、截距式和一般式求解直线方程的方法；
3. 能够应用直线方程解决实际问题。
教学重点：
1. 点斜式、截距式和一般式的直线方程求解方法；
2. 直线方程应用题的解决能力。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过引入一个真实的例子引出直线的概念及方程的含义，让学生了解直线方程的基本概念。
二、讲解直线方程的表示方法（10分钟）
1. 点斜式：y - y1 = k(x - x1)；
2. 截距式：x/a + y/b = 1；
3. 一般式：Ax + By + C = 0。
三、练习及拓展（15分钟）
教师通过一些练习题让学生巩固以上三种表示方式的求解方法，并引导学生拓展到更复杂的题目中。
四、综合应用（15分钟）
教师出一些应用题，要求学生利用所学的知识解决实际问题，如求两直线的交点等。
五、总结（5分钟）
教师对本节课所学内容进行总结，强调重点，巩固学生的知识。
六、作业布置（5分钟）
布置相应的作业，用以巩固所学知识。
教学反思：
通过本节课的学习，学生可以掌握直线方程的基本概念及解题方法，从而提高解决实际问题的能力。
同时，教师要注意引导学生理解概念，注重实际应用，使学生学以致用。
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题目
2.2.2 直线方程的几种形式
姓名刘英杰学号201312000306
教学内容人教B版必修2
直线方程的几种
形式第83-87页
课型讲授新课
教学目标教学目标
（1）知识与技能
掌握直线方程的点斜式、斜截式
掌握直线方程的两点式
掌握直线的一般式
能够明确每种直线方程形式各自的特点
（2）过程与方法
通过比较，发现各种直线方程的优缺点，进而选择适当的直线方程形式
以点斜式为基础，对直线方程的其他形式，进行推导
（3）情感态度与价值观
通过合作学习，培养学生的合作精神
比较各种直线方程的优缺点，培养学生批判的辩证唯物主义精神
重点每种直线方程的各自特点
直线方程的点斜式、一般式
难点直线方程几种形式的比较
灵活选择适当的形式，求解直线方程
教学过程
教学环节教学内容设计意图复习引入
讲授新课
教1.直线的点斜式方程和两点式方程
（1）点斜式
直线l经过点)
,
(
y
x
P，且斜率为k。
设点)
,
(y
x
P是直
线l上的任意一点，请建立y
x,与
,
,y
x
k之间的关系。
y
x
O
P
P0
当
x
x≠时，
x
x
y
y
k
-
-
=，即
)
(
x
x
k
y
y-
=
-
例1．求下列直线的方程：
（1）直线l1：过点(2，1)，k=－1；
（2）直线l2：过点(－2，1)和点(3，－3).
（2）斜截式
已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为)
,0(b，求直线l的
方程。
理解二次函
数的定义
培养学生自
主探索的能
力，并体会
直线的方
程，就是直
线上任意一
点的坐标
)
,
(y
x满足
的关系式，
从而掌握根
据条件求直
线方程的方
法。
引入斜截
式方程，让
学生懂得斜
截式方程源
于点斜式方
学过程
此时直线l的方程：
b
kx
y+
=
例2
求过点(0，1)，斜率为-
2
1
的直线方程
（3）两点式
已知两点)
,
(
),
,
(
2
2
2
2
1
1
y
x
P
x
x
P其中)
(
2
1
x
x≠，求通过这两
点的直线方程。
)
(
1
1
2
1
2
1
x
x
x
x
y
y
y
y-
-
-
=
-
直线方程可以写成
)
,
(
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1y
y
x
x
x
x
x
x
y
y
y
y
≠
≠
-
-
=
-
-
2.直线方程的一般式
由于任何一条直线都可以用一个关于y
x,的二元一次方
程表示；同时，任何一个关于y
x,的二元一次方程都表示一
条直线。
我们把关于关于y
x,的二元一次方程
=
+
+C
By
Ax（A，B不同时为0）叫做直线的一般式
方程，简称一般式。
注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：
1、一般按含x项、含y项、常数项顺序排列
2、x项的系数为正；
3、x，y的系数和常数项一般不出现分数；
4、无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。
例 3 已知直线过点（-2,5），且斜率为-
4
3
，求此直线的一般
程，是点斜
式方程的一
种特殊情
形。
遵循由浅及
深，由特殊
到一般的认
知规律。
使
学生在已有
的知识基础
上获得新结
论，达到温
故知新的目
的。
使学生理解
直线和二元
一次方程的
关系。
使学生体会
把直线方程
教学过程式方程
例4 求直线l：2x-3y+6=0的斜率及在y轴上的截距。
的点斜式转
化为一般
式，把握直
线方程一般
式的特点。
使学生体会
直线方程的
一般式化为
斜截式，和
已知直线方
程的一般式
求直线的斜
率和截距的
方法。
巩固练习（1）求满足下列条件的直线方程
过点（3,2），斜率为
3
2
过点（-3,1），平行于x轴
（2）已知求下列直线方程，求直线的斜率及其在y轴上的截距。
2x-3y-6=0 3x-y-7=0
本课总结直线方程的点斜式、斜截式、两点式直线方程的一般式
直线不同形式的比较
布置
作业
课后习题练习题
教学
反思
板书设计
一．黑板布局
版左版中版右
二、板书内容 版左
直线l 经过点)
,(000y x P ，且斜率为k 当0x x ≠时，0
x x y y k --=
，即
)(00x x k y y -=-
例1．求下列直线的方程：
（1）直线l 1：过点(2，1)，k=－1；
（2）直线l 2：过点(－2，1)和点(3，－3).
版中
已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。
此时直线l 的方程：
b kx y +=
例2
求过点(0，1)，斜率为-
2
1
的直线方程
版右
我们把关于关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax
（A ，B 不同时为0）叫做直线的
一般式方程，简称一般式。
注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定： 1、一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列 2、x 项的系数为正；
3、x ，y 的系数和常数项一般不出现分数；
4、无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式
例3 已知直线过点（-2,5），且斜率为-
4
3
，求此直线的一般式方程
例4 求直线l ：2x-3y+6=0的斜率及在y 轴上的截距。
已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中)(21x x ≠，求通过这两点的直线方程。
)(11
21
21x x x x y y y y ---=
-
直线方程可以写成
),(21211
21
121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--。