复变函数(第四版余家荣)知识课件

在闭区域上解析 如果函 f(z)数 在z0不解析z， 0的但 每在 个邻 内都有解析称 点 z0为 存 f(z在 )的， 一则 个 . 奇点
如果一个函数在一个点可导，则它在这个点连续. 证明 设 f(z) 在点 a 可导，则
注解1 “可微”有时也可以称为“单演”，而“解 析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则 ”等；
其中
满足条件
设
则
所以
其中
由于 所以
即
注：
定理 函f数 (z)u(x,y)iv (x,y)区D 域 内解析 条件是
(1) 实u部 (x,y)和虚 v(x,部 y)在区 D 内 域处处可 (2 )u (x,y)和 v(x,y)在 D 内 满足 -黎 柯 曼 :西 方程
u v u v
x y y x
推论 设函 f(z) 数 u(x,y)i(vx,y)在区 D 内 域 有 且满足
(1) 实部 u(x,y)和虚v(x部 ,y)在区D内 域存在一阶 导函数，
设函 f数 (z)在区 D 内 域 解析 wg ， ()在 函 区
域 G 内解f析 (D ) ， G ， 则 又 复合 wg(函 f(z)数 )h(z)
在 D内解析，并且有： h '( z ) [ g ( f ( z ) g ) '( f ( ] z ) f '' ( z ) )
反函数求导法则
设w 函 f(z)在 数D 区 内域 解 f'(z 析 ) 0 ， ， 又 且 反
所以, 当
时
时，
f(z)在区G中 域每一点连f(续 z)在 ， G内 则 连 称 续
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数 连续函数的复合函数为连续函数
例 求证 f(z)： arzg (z0)在整个复平 和面 负除 实去 数
域上连续， 上在 不负 连实 续数 。轴
解： 当z0 在负实数轴上时,有
lim f(z0z)f(z0)
z 0
z
存在（为,并 有且 限等 的 A， 于 复则 复 数称 f数 ） (z)在 函 z0可 数微
或可 , A称 导为函 f(z数 )在z0的导数，记为
f '(z0)，或ddwzzz0,
即
f'(z0) lz i0m f(z0 zz)f(z0)，
定义 对任意 0， 的可以找到 一 ()使 个 , 得 正 0|zz0|时，有
| f(z)f(z0)A|,
zz0 则称函f(数 z)在z0可微或.可导
如果 f(z)在区 D内 域处处可f(导 z)在 D ， 内则 解
析，我f们 (z)是 也 D内 说 解析函 在区域数 内解； 析
如果 f(z)在z0的邻域内处处 称可 f(z)导 在， 点
z0处解. 析
在一点解析
如果f(z)在区域 G内处处解析，而D上 闭区域 每一点都G属 ,那于么称 f (z)在闭区D域 上解.析
若 u ( x ,y ) 和 v ( x ,y ) 在 D 上 区 ,那 可 f( 域 z ) u 么 ( x ,y 微 ) i( x v ,y ) 在 D 内 ? 解析吗
设
可微，则
首先设 h 为实数，得
令
得
再令
t 为实数，得
令
得
由
得
Cauchy-Riemann方程
定设 理函 f(z) u ( 数 x ,y ) i(v x ,y )在D 区 内域 有 定义 z ， x i yD 在 可点 导，则
lim arzg ,lim arzg
z z0 Im z0
z z0 Im z0
故 arg z在负实数轴上不连续；
再 z 0 C 设 \{z R 0 ,Ie z m 0 } .
0 0,使得角状域 argz0 0 argz0 0
与负实数轴不相交。
y
z0•
0 argz0
x
00, 取|z0|sin)(， 则当|zz0|时，
(1 )实u(部 x,y)和虚 v(x,y)在 部(x点 ,y)处可微
(2)u(x,y)和 v(x,y)满足 -黎 柯曼 西 : 方程
u v u v
x y y x
C-R条件
证明 时，
设 在点 其中a 和 b为实数，当
处有导数
因此 u(x,， y)及 v(x,y)在 (x,y)处可微，且
反之 u(x， ,y)及 v设 (x,y)在 (x,y)处可微 CR ， 方并 程成立，则有
注解2 解析性与可导性的关系：在一个点的可导性 为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；
注解3 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻 域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的 可导不能得到在这个点解析；
注解4 闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的 一个更大的区域上解析；
四则运算法则
复合函数求导法则
zf1(w)(w)
存在且为连续， 则有：
'(w) 1
1
f'(z)z(w) f'((w))
注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式 以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结 论基本相同。
例证明f(z)z处处不可. 微
证明
因为
所以 lim z 不存在, f (z)处处不可微 .
z 0 z
Cauchy-Riemann 方程 问题
（ 1）实u(部 x,y)和虚v(x部 ,y)在点 (x,y)处存在一阶 (2)u(x,y)和 v(x,y)满足 -黎 柯 曼 西 方 C R 程 方（ :程
例 不可微.
证明
在 处满足上述定理中的条件，但 f (z)在
由于
所以
不存在. 所以 f(z)在 z0不可 . 导
定理 设函f(数 z)u(x,y)iv(x,y)在区D内 域有 定义，f(那 z)在 么点 zxiyD可导的充要 :
az r0 g az r g az r0 g
所以
|arzgarzg0|，
即f (z)在z0连续。
例设
证明 limf (z)不存.在 z0
证明 设
则
所以 所以limf (z)不存.在
z0
2. 导数·解析函数
定义 设函w 数 f(z)在点 z0的某邻域内有 值定 函义 数
z0z是邻域内任意 果一 极点 限，如
第二章 复函数
1. 极限与连续性
§1.解析函数
单值函数：
对于 G 中的每个 z ，有唯一的 w 与其对应。
多值函数：
至少存在一个 z0 属于 G，与 z0 对应的 w 有 两个或两个以上。
yz
o
x
vw
o
u
时，
当
当
时，当Βιβλιοθήκη 时，命题 设 当且仅当 证明 如果 则
使得当
则 时，
所以 反之，若
则
当